Analisi Strategica. BI & ENPS (Stackelberg) Prof. Bruno Chiarini

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1 4 Analisi Strategica B & ENPS (Stackelberg) Prof. Bruno Chiarini

2 Utilità Attese e Forma Estesa Entrante out (0,2) 1 2 Monopolista ρ 1-ρ F A F A (-1,-1) (3,0) (-1,-1) (2,1) F : p (1 p) 1 A : 0 (1 p) 1 p Non gioca mai F

3 C A (4,5) B (0,1) E D ρ 1-ρ g f g f (5,6) (0,3) (0,6) (0,0) l giocatore giocherà mai con f? Attenzione debolmente dominata!!! g: 5p-0(1-p)=5p f: 0p+0(1-p)=0

4 δ (1,2) β S D a b s d s d (4,3) (2,4) (3,1) (0,0) s: 3q+(1-q)=1+2q d: 4q+0=4q q=1/2

5 BACKWARD NDUCTON (NDUZONE A RTROSO) La tecnica di B. richiede di cominciare dai rami finali di un gioco in forma estesa Un insieme di strategie soddisfa il criterio di B.. se a partire da ogni stato informativo (nodo) identifica un comportamento dei giocatori compatibile con ipotesi di conoscenza comune della struttura del gioco e razionalità

6 A (50,50) E C (-50,-50) Se entra NE (100,0) è Accomodante (A) è Conflittuale (C) E NE A 50,50 100,0 C -50, ,0 E.N: (A,E), (C,NE): uno è eliminato da B.: secondo B. l unico equilibrio è (A,E).

7 nduzione a ritroso si applica bene ai giochi con nform. Perfetta. A volte anche con inform. imperfetta ma richiede più attenzione per gli stati informativi l (2,1) L r (-1,-1) B R l (1,1) A r (-2,0) (0,2) l gioc. non sa dove si trova. Se attribuisce una probab. (p) sul nodo alto e (1-p) sul nodo basso le sue utilità attese sono: l: 1 p + 1(1-p) = 1 r: -p + (0)(1-p) = -p Per ogni prob. p, preferisce l A ritroso, ora muove, che sa che è razionale e gioca l

8 B 2 Nodo iniziale A 0 l (2,1) L r (-1,-1) B R l (1,1) A r (-2,0) (0,2) (BL, l) (2,1) L induzione a ritroso è applicata ai giochi con informazione perfetta nfatti seguite con attenzione il caso della Figura 5.5 del libro di Colombo, dove la Backward nduction non permette una soluzione

9 ( ) L 1 R 1 (2,2) L 2 R 2 (1,0) L 1 1 R 1 1 (3,1) (0,-5) L 2 R 2 R 1, L 1 1 2,2 2,2 R 1, R 1 1 2,2 2,2 L 1, L 1 1 3,1 1,0 1 1 L L, L 1 2 L 1, R 1 1 0,-5 1,0 Nota: minacce non credibili degli altri eqilibri

10 C A (4,5) (0,1) E D ρ 1-ρ g f g f (5,6) (0,3) (0,6) (0,0) (E,g) e (C,f) f g A 0,1 0,1 D 0,0 0,6 E 0,3 5,6 C 4,5 4,5

11 ( ) ). δ (1,2) β S D a b s d s d (4,3) (2,4) (3,1) (0,0) D, ds D, ds giocatore giocatore Attenzione: δ termina il gioco, ma affinché sia scelto da, le strategie ottime devono essere D, d, s.

12 v (2,4) d L (-1,5) U R (0,4) D l (-2,6) r (4,4) Nodo Finale, gioca R, nel nodo in basso gioca l, nel nodo in alto gioca v Ripercorrendo all indietro l albero, -se gioca U, allora gioca v (con payoff 2, 4 ) mentre -se gioca D, allora gioca l (con payoff -2, 6). sceglie U: (UR, vl)

13 BACKWARD NDUCTON: PROBLEM L applicazione può comportare comunque alcuni risultati non logici ES. GOCO DEL CENTPEDE X P Y P X P Y P X P Y P X P Y P (5,5) C C C C C C C C (1,1) (0,3) (2,2) (1,4) (3,3) (2,5) (4,4) (3,6) n ogni nodo (n. arbitrario) il giocatore ha la possibilità di chiudere il gioco (C) o passare la mano (P) La sequenza è iniziata da X e chiusa da Y nodi dispari offrono lo stesso payoff Ultimo nodo Y chiude con C=(3,6) Allora X chiude nel penultimo a C=(4,4)

14 1 2 L R (1, 10) 3 L R (0, 2) L R (2, 4) (3, 1) Paradosso dell nduzione a Ritroso i nodi (singoletti) sono stati numerati da 1 a 3. Precedendo con l induzione a ritroso si nota che l unico ENPS è (RR, R). Logica: l giocatore gioca R nel primo nodo perché sa che il giocatore è razionale e, quindi, nel nodo 2, il giocatore gioca R perché, a sua volta, sa che il giocatore è razionale e nel terzo nodo giocherà R. Questo è un paradosso: l giocatore deve supporre che il giocatore al nodo 2, predice la mossa di al nodo 3 in quanto razionale, nonostante che arrivare al nodo 2 è possibile solo se il giocatore non è razionale!

15 ND D (0, 0) A NA (T-D, D) (0, 0) A NA D T-D, D 0, 0 ND 0, 0 0, 0 Due giocatori: dividere una torta T. l primo giocatore deve decidere di cedere D>0 di questa torta al giocatore. Se quest ultimo accetta l offerta, allora prende T-D e prende D, se invece rifiuta l offerta entrambi i giocatori non prendono niente. La strategia di risponde alla domanda, quanta torta dovrò cedere affinchè accetti? Ultimatum game

16 EQULBRO NASH PERFETTO NE SOTTOGOCH Un sottogioco è una parte del gioco in forma estesa che inzia con un singleton e contiene tutti i nodi che seguono l (3,1) L r (0,0) B R l (0,0) A r (1,3) (2,0) 4 SOTTOGOCH D CU 3 SOTTOGOCH PROPR Se non consideriamo il gioco stesso come un sottogioco: 3 sottogiochi propri

17 Attenzione al ruolo dell informazione b (3,1) B f (0,0) Quanti sottogiochi? NO: il sottogioco F b (0,0) coincide con il gioco A f (1,3) (2,0) Da non ci sono sottogiochi che iniziano con un singoletto b (3,1) L f (0,0) Quanti sottogiochi? B R b (0,0) Un sottogioco A f (1,3) (2,0)

18 SELTEN (1965) Un equilibrio perfetto nei sottogiochi di Nash deve essere: un equilibrio di Nash del gioco completo le prescrizioni di tale equilibrio, relativamente ad ogni sottogioco, devono essere un equilibrio di Nash di quel sottogioco Subgame Perfect Nash Equilibrium (SPNE) ENPS è: Un Nash del gioco completo le cui strategie sono Nash nei sottogiochi

19 SELTEN: ogni gioco ha sempre almeno un E.N. perfetto nei sottogiochi (in strat. pure o miste) l (2,1) L r (-1,-1) B R l (1,1) A r (-2,0) (0,2) 2 STEPS: 1) CALCOLAMO i Nash del gioco 2) ELMNAMO quelli che contengono prescrizioni relative a sottogiochi che non costituiscono E.N.

20 Nash del Gioco l r AL 0,2 0,2 AR 0,2 0,2 BL 2,1-1,-1 BR 1,1-2,0 3 E.N. in strategie pure (AL,r) (AR,r) (BL,l) Vedere se le prescrizioni di questi equilibri, relative ai sottogiochi che compongono il gioco, sono a loro volta Equilibri di Nash Primo punto: quanti sottogiochi?

21 1 sottogioco l (2,1) l r L 2,1-1,-1 L r (-1,-1) R 1,1-2,0 R l (1,1) Unico Nash (L,l) r (-2,0) Sia (AL,r) che (AR,r) non hanno come prescrizione del sottogioco (L,l): non sono E.N. perfetti nei sottogiochi! La prescrizione di (BL,l) è (L,l). (Bl,l) è un equilibrio di Nash perfettto nei sottogiochi.

22 (BL,l) è un E.N. perfetto nei sottogiochi: è un Nash del gioco completo e la sua prescrizione al sottogioco è un E.N. del sottogioco Con Blackward nduction? Unico equilibrio è (BL,l) con payoff (2,1) Quindi, la soluzione B è ENPS

23 GOCH APPARENTEMENTE SML Gioco già visto l (2,1) Equil. B L r (-1,-1) (BL,l) con Backward R l (1,1) duction A r (-2,0) (0,2) Modifica l (2,1) L r (-1,-1) (L,l) R l (1,1) l gioco ha caratteristiche A r (-2,0) simili (0,2)

24 Scriviamo la forma strategica l r A 0,2 0,2 L 2,1-1,-1 R 1,1-2,0 2 Nash (A,r) ; (L,l) Tuttavia questo gioco non possiede sottogiochi 2 E.N. sono perfetti nei sottogiochi L ENPS in questo caso non è un raffinamento dell EN utile per discriminare tra Equilibri Multipli

25 NOTA nduzione a ritroso indica un equilibrio dove gioca l e gioca L: (L,l) ENPS non è in grado in questo caso di eliminare l altro equilibrio (A,r) (dominato!) Un ulteriore raffinamento dell equilibrio di Nash (Equilibrio Bayesiano Perfetto) sarà in grado di eliminare l equilibrio (A,r)

26 ESEMPO b (3,1) B f (0,0) S F b (0,0) A f (1,3) (2,0) b f AB 2,0 2,0 AF 2,0 2,0 SB 3,1 0,0 SF 0,0 1,3 Gioco completo 3 Nash (AB,f) (AF,f) (SB,b) Sottogiochi?

27 1 sottogioco : Battaglia dei Sessi b f B 3,1 0,0 F 0,0 1,3 2 Eq. Nash (B,b) ; (F,f) (AB,f) B,f NO (AF,f) F,f S (SB,b) B,b S ENPS Con Backward nduction? Sia p la Probabilità di trovarsi sul nodo alto: b: p 1 + (1-p) 0= p f: 0+3(1-p) = 3(1-p) p = 3(1-p) p = ¾ Non possiamo dire molto su come procedere

28 Con informazione perfetta A (50,50) E C (-50,-50) 2 Nash NE (100,0) E NE A 50, ,0 C -50, ,0 A (50,50) E A 50, 50 C -50,-50 C (-50,-50) Unico equil. del sottogioco è A: ENPS è (A,E). L equilibrio (C,NE) si basa su una minaccia, C, non credibile

29 Con informazione perfetta, la Backwar nduction e il calcolo degli equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi conducono allo stesso risultato Eq. con nduzione a Ritroso: (A,E) unico equilibrio Nash

30 l concetto di E.N. incorpora a volte: MNACCE & PROMESSE (esplicite o implicite) CREDBL NON-CREDBL Eq. perfetto nei sottogiochi permette di eliminare quelle non credibili (C, NE) non è credibile!: Se Entra (E), minaccia di giocare C (-50,-50). Questa minaccia non è credibile e non può che giocare A e prendere 50.

31 GOCH SEQUENZAL Struttura del gioco. Sceglie un azione a 1. Osserva a 1 e poi seleziona a 2 Molti problemi economici hanno questa struttura (Stackelberg, sindacato-impresa, ecc.) Caratteristiche: Mosse in successione Tutte le mosse precedenti sono osservate Conoscenza comune

32 Soluzione si può ottenere con Backward nduction Si inizia dal 2 stadio: il giocatore data la mossa di (a 1 ) risolve: MAX u 2 (a 1,a 2 ) a 2 Soluzione è R 2 (a 1 ): reazione (o risposta) ottima di a NOTA: sia il giocatore che sono in grado di risolvere il problema di il giocatore prima di muovere anticipa la reazione del giocatore ad ogni mossa a 1 Problema di nel 1 stadio: Soluzione è a1 * MAX u 1 (a 1,R 2 (a 1 )) a 1 Esito di induzione a ritroso è (a 1* ;R 2 (a 1* ))

33 DUOPOLO D STACKELBERG MERCATO N CU LE MPRESE HANNO LVELL D PRODUZONE E PROFTT DVERS A CAUSA DEL FATTO CHE UNA D LORO (LEADER) HA L VANTAGGO DELLA PRMA MOSSA. L LEADER FSSA LA PROPRA VARABLE (PRODUZONE) ANTCPANDO L COMPORTAMENTO DEL FOLLOWER L FOLLOWER MASSMZZA PROFTT DATO (AVENDO OSSERVATO) L COMPORTAMENTO DEL LEADER. L LEADER MASSMZZA PROFTT SOTTO L VNCOLO DATO DALLA FUNZONE D REAZONE DEL FOLLOWER

34 DUOPOLO D STACKELBERG mpresa leader mpresa subordinata (follower) Le imprese scelgono la quantità sceglie q 1 0; osserva q 1 e sceglie q 2 0 payoff di è il profitto: Dove: π(q 1,q 2 ) = q 1 [(P(Q)-c] P(Q)=a-Q ; Q=q 1 +q 2 Con Backward nduction: calcolare la reazione di ad una quantità q 1 offerta da : MAX π 2 (q 1,q 2 ) = MAX q 2 [a-q 1 -q 2 -c] q 2 q 2 P(Q) (π 2 ) q 2 = R 2 (q 1 ) = ½ (a-q 1 -c) q 2 Dato (a) e (c), ci da i valori di q 2 per ogni q 1

35 MEMO! R 2 (q 1 ) = ½ (a-q 1 -c) È la stessa ottenuta per Cournot con mosse simultanee La differenza: n Stackelberg R 2 (q 1 ) è la rezione effettiva dell impresa 2 alla quantità offerta dall impresa 1 n Cournot R 2 (q 1 ) è la risposta ottima dell impresa 2 ad ogni quantità ipotizzata scelta simultaneamente dall impresa 1

36 l problema affrontato dall impresa subordinata () può essere risolto anche dall impresa leader (): Conoscenza Comune. nfatti, l impresa anticipa la reazione di, considerando nel suo problema di massimizzazione R 2 (q 1 ). MAX π 1 (q 1,R 2 (q 1 )) = MAX q 1 [a-q 1 -R 2 (q 1 )-c] q 1 q 1 (π 1 ) = q * 1 = ½ (a-c) q 1 q 1 [a-q 1 -½(a-q 1 -c)-c] nserisco q 1* in R 2 (q 1 ): R 2 (q 1* ) )= q 2* = ¼ (a-c) Esito di induzione a ritroso del duopolio di Stackelberg

37 Quantità aggregata prodotta in Stackelberg è: n Stackelberg l impresa (Leader) produce di più della seconda impresa: q 1* >q 2 * ) ( 4 3 : 4 ) ( ; 2 ) ( * 2 * 1 c a Q Aggregata Quantità c a q c a q S

38 COURNOT vs STACKELBERG Q S 3 4 ( a c); Q C 2 3 ( a c); Q * di Stackelberg > Q * di Cournot/Nash P S C ( Q) P ( Q) n Stackelberg l impresa ha un vantaggio sull impresa e produce di più dell impresa di Cournot; n Stackelberg, l impresa produce meno rispetto al Leader e all impresa di Cournot. l profitto del Leader è maggiore di quello di Cournot-Nash, mentre il profitto del follower è minore di quello di Corunot-Nash

39 Raffronto Quantità: mprese Cournot-Nash- Stackelberg 3 ) ( ; 3 ) ( 4 ) ( ; 2 ) ( c a q c a q Cournot c a q c a q Stackelberg C C SF SL 9 ) ( ; 9 ) ( 16 ) ( ; 8 ) ( c a c a Cournot c a c a Stackelberg C C SF SL Raffronto Profitti: mprese Cournot-Nash-Stackelberg

40 Perché il prezzo di equilibrio è inferiore in Stackelberg? Rispetto alla produzione di equilibrio di Cournot, l Leader espande la produzione più di quanto la contragga il Follower e, quindi, il prezzo e i profitti dell industria in equilibrio sono più bassi di quelli di Cournot. Quindi vale: SL C SF

41 potizziamo che le due imprese possano scegliere il timing per fissare le quantità, T1 e T2. Queste sono le loro strategie. La seguente forma strategica mostra chiaramente che: 1) Per le quantità, T1 è una strategia dominante per entrambi i giocatori 2) E che quindi l unico equilibrio di Nash è T1-T1

42 Entrambi le imprese giocheranno la quantità di equilibrio di Nash sin da subito, e quindi, simultaneamente. Muovendosi istantaneamente, eviteranno di diventare follower

43 Curva reazione impresa 2 (follower) q 2 Curva reazione impresa 1 Nash-Cournot Equilibrio di Stackelberg Leader sceglie sulla curva di reazione del follower (impresa 2) il punto di tangenza alla propria curva di isoprofitto più bassa, in modo da massimizzare il suo profitto q 1 mponendo la condizione di tangenza tra la mappa delle curve isoprofitto del Leader e la retta (funzione di reazione) dell impresa follower, si identifica il punto dove l impresa 1 ha il vantaggio della prima mossa.