Capitolo 10: Giochi dinamici. Ora l impresa 1 sceglie l output per massimizzare i propri profitti 1 8 = 122,5 Q 2 = 61,25

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Silvana Mazzoni
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1 Capitolo 10: Giochi dinamici Esercizio 1 a) L impresa 2 sceglie la sua quantità per massimizzare i profitti π 2 = Q Q 1 4Q 2 20Q 2 π 2 Q 2 = 10004Q 1 8Q 2 20 = 0 Q 2 = Q 1 Ora l impresa 1 sceglie l output per massimizzare i propri profitti π 1 = Q Q 1 4Q 2 20Q 1 = Q Q Q 1 = 1 2 Q Q 1 π 1 = 980 8Q Q 1 = 0 Q 1 = = 122,5 Q 2 = 61,25 b) Non esiste un c non negativo tale per cui leader e follower hanno le stesse quote di mercato. Per vedere il perché, considerate c = 0. Allora la quantità prodotta dal leader è 120, mentre la quantità del follower è inferiore a 120. Al crescere di c, la quota di mercato del leader cresce mentre quella del follower diminuisce. Esercizio 2 a) Definiamo p 1 il prezzo praticato da Gianni e p 2 il prezzo praticato da Oscar. Sia x la posizione di un consumatore indifferente tra raggiungere Gianni o Oscar. Ne segue che p 1 + x = p x x = 1 2 p 2 p Di conseguenza, la domanda affrontata da Gianni è D 1 p 1, p 2 = ( p 2 p = p 2 p 1 Dunque, i profitti di Gianni sono dati da Mentre i profitti di Oscar sono π 1 p 1, p 2 = p p 2 p 1 π 2 p 1, p 2 = p p 2 p 1 Dato che Oscar è il follower, per prima cosa massimizziamo π 2 rispetto a p 2 per ricavare la funzione di reazione di Oscar. π 2 p 1, p 2 p 2 = p p 2 p 1 = 0 p 2 = p 1 = p 1 1

2 Ora, sostituiamo la funzione di reazione di Oscar nella funzione di profitto di Gianni e otteniamo π 1 p 1, p 2 = p p 1 2 p 1 = p p 1 Massimizziamo ora π 1 rispetto a p 1, π 1 p 1, p 2 p 1 = p p 1 = 0 p 1 = = 16 Ora, dalla funzione di reazione di Oscar, otteniamo p 2 = p 1 = 13,5 b) p 2 p 1 = 13,5 16 = 2,5 Perciò, Gianni servirà una quota di mercato pari a D 1 p 1, p 2 = p 2 p 1 = = 375 Mentre Oscar avrà una quota di mercato pari a D 2 p 1, p 2 = p 2 p 1 = = 625 I profitti di Gianni sono = 375(16 1) 250 = 5375 I profitti di Oscar sono = 625(13,5 1) 250 = 7562,5 Esercizio 3 a) Il gioco del Millepiedi 2

3 b) La strategia di spartire il montepremi non è mai un equilibrio perché una volta che il gioco raggiunge il nodo P21, la strategia ottimale per il giocatore 2 è di prendere tutti i soldi. Dato che il giocatore 1 è consapevole del fatto che lasciando sul tavolo la monetina il giocatore 2 si terrà tutto il montepremi, allora egli sceglierà sempre di Prenderla (Grab) e il risultato sarà sempre T3 con il giocatore 1 che riceve 1 e il giocatore 2 che non riceve nulla. c) E chiaro che alla terza mossa il giocatore 1 sceglierà sempre di tenersi tutti i soldi. Perciò possiamo eliminare dall albero decisionale il nodo P12W e considerare il nuovo gioco senza tale possibilità di scelta. Ciò ci dà 3

4 E ovvio che il giocatore 2 sceglierà sempre di tenersi l intero montepremi al nodo P21W. Perciò possiamo eliminare tale nodo dall albero decisionale e sostituirlo con i payoff di entrambi i giocatori quando il giocatore 2 sceglie di tenersi il montepremi. Otteniamo dunque E ora chiaro che il giocatore 1 sceglierà di tenersi i soldi al nodo iniziale del gioco e che i payoff finali saranno (1,0). 4

5 Esercizio 4 Prezzo della Norda Prezzo della Pellegrino a) In questo caso possiamo utilizzare la funzione di reazione della Pellegrino per trovare la scelta ottimale. Chiamiamo la funzione di reazione della Pellegrino P ( Scelta di Norda). P( 3) = 4 dato che 25 è la prima cifra nelle parentesi più elevata della colonna 1. P( 4) = 4 dato che 32 è la prima cifra nelle parentesi più elevata della colonna 2. P( 5) = 4 dato che 41 è la prima cifra nelle parentesi più elevata della colonna 3. P( 6) = 5 dato che 50 è la prima cifra nelle parentesi più elevata della colonna 4. Ora considerate la funzione di reazione della Norda N(3 ) = 4 dato che 25 è la seconda cifra nelle parentesi più elevata della riga 1. N(4 ) = 4 dato che 32 è la seconda cifra nelle parentesi più elevata della riga 1. N(5 ) = 4 dato che 41 è la seconda cifra nelle parentesi più elevata della riga 1. N(6 ) = 5 dato che 50 è la seconda cifra nelle parentesi più elevata della riga 1. L equilibrio di Nash è ovviamente dove N(4 ) = 4 e S( 4) = 4 e cioè il punto (4,4). b) Se Norda dovesse scegliere per prima e fosse consapevole del fatto che Pellegrino è second mover allora la funzione di Payoff di Norda dipende dalla funzione di reazione della Pellegrino. I payoff di Norda sono i seguenti Payoff N (N=3)= Payoff N (P( 3)) = Payoff N quando Pellegrino sceglie 4, ovvero 30. Payoff N (N=4)= Payoff N (P( 4)) = Payoff N quando Pellegrino sceglie 4, ovvero 32. Payoff N (N=5)= Payoff N (P( 5)) = Payoff N quando Pellegrino sceglie 4, ovvero 30. Payoff N (N=6)= Payoff N (P( 6)) = Payoff N quando Pellegrino sceglie 5, ovvero 36. L equilibrio è ora al punto (5,6) dove Norda sceglie per prima 6. Entrambe le imprese stanno meglio in questo gioco perché, appena Norda sceglie 6 e non può tornare indietro, 5

6 la miglior risposta della Pellegrino è 5. Se ora la Norda potesse cambiare scelta, allora tornerebbe indietro e passerebbe a 4, ma a questo punto la Pellegrino cambierebbe andando a 4 tornando così all equilibrio di Cournot. c) Norda non ricava alcun beneficio dall essere first mover. In un gioco sui prezzi, l impresa che muove per prima è un bersaglio fermo per l impresa che muove seconda. Entrambe stanno meglio che nella scelta simultanea, ma il second mover è quello che ricava il maggior beneficio. Esercizio 5 Esercizio 6 a) Esiste un unico equilibrio di Nash, in cui l impresa 1 sceglie A e l impresa 2 sceglie C. b) Osservate che A è una strategia dominante per l impresa 1. Perciò, anche se l impresa 1 dovesse impegnarsi a produrre un certo bene prima dell impresa 2, la risposta non cambierebbe. c) A è strategia dominante per l impresa 1 e C è strategia dominante per l impresa 2. Per questo motivo, entrambe le due imprese sceglieranno sempre rispettivamente la strategia A e la strategia C. Pertanto, anche ipotizzando la possibilità di cambiare la propria scelta una volta aver osservato quella della rivale, non viene cambiata la propria strategia. Il gioco, quindi, non cambia. i. Rendere i prezzi esposti applicabili soltanto ai beni disponibili quando esiste un evidente lasso di tempo intercorrente tra quando un ordine viene inoltrato e i beni ordinati diventano disponibili; oppure, i beni disponibili sono di una varietà particolare tale per cui non è ragionevolmente possibile che ci siano ulteriori vendite di quella specifica varietà. ii. Annunciare il prezzo per una vendita straordinaria, dove però i beni in esposizione non sono i beni generalmente disponibili presso quel punto vendita e c è dunque un offerta realmente limitata. iii. Costruire col tempo una reputazione positiva. Esercizio 7 a) La funzione di domanda inversa è: P = ,08Q. Con C = 0, l esito di monopolio per la EosTech è: P = 1500; Q = 18750; Profitti = Interpretiamo l affermazione che il concorrente può appropriarsi del 50% del mercato nel senso che può competere in un duopolio simmetrico sulle quantità. In questo caso, l equilibrio post-entrata è: P = 1000; Q = Ciascuna impresa produce q i = unità e ottiene un risultato operativo pari a Dato che il costo di entrata è pari a , l entrata è profittevole. b) I profitti della EosTech scendono da a , ossia subiscono una riduzione di Se spendendo EosTech potesse scoraggiare l entrata della rivale ed evitare la perdita di , sicuramente sarebbe un ottimo investimento. Tuttavia, non è affatto evidente che l acquisto di capacità produttiva addizionale permetta di raggiungere questo risultato. La capacità attuale dell impresa è che è già superiore a ciò di cui abbisogna. 6

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