Oligopolio. Il duopolio di Cournot

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1 Oligopolio Nel capitolo precedente abbiamo considerato un mercato che rappresenta l estremo opposto di un mercato perfettamente concorrenziale, il monopolio. In questo capitolo analizzeremo invece il caso intermedio dell oligopolio. Un oligopolio è un mercato caratterizzato dalla presenza di poche imprese che si comportano in modo strategico. Il duopolio di Cournot Inizieremo la nostra analisi con lo studio di un modello di oligopolio molto semplice, il modello di Cournot. Le ipotesi fondamentali di questo modello sono: i) Ci sono due venditori (duopolio) i cui prodotti sono perfettamente omogenei. Entrambi questi venditori sono coscienti del fatto che il prezzo di mercato dipende dalla quantità prodotta da entrambe le imprese (il modello è facilmente generalizzabile al caso di N > 2 produttori). Oligopolio 1

2 ii) I due venditori si comportano in modo strategico. In particolare, le due imprese competono scegliendo le loro quantità di output (Y i, i = 1, 2) tenendo conto del comportamento dell altra impresa. iii) L accesso al mercato è bloccato (il modello potrebbe essere generalizzato al caso di libero ingresso al mercato). iv) I consumatori si comportano da price takers. Il modello di Cournot può essere interpretato come un gioco di informazione imperfetta (le imprese scelgono i loro livelli di output simultaneamente senza conoscere l output dell altra impresa). Le imprese assumono il ruolo dei giocatori; le loro azioni (che coincidono in questo caso con le strategie) sono livelli di produzione (Y i ); infine i profitti realizzati dalle due imprese definiscono i benefici/payoffs del gioco. Oligopolio 2

3 Il fatto che il modello di Cournot definisca un gioco suggerisce che il concetto d equilibrio appropriato per questo modello sia quello dell equilibrio di Nash. L equilibrio di questo mercato è costituito da una coppia di livelli di produzione per le due imprese, (Ŷ 1, Ŷ 2 ), tale che Ŷ 1 è la scelta ottimale (nel senso che massimizza il profitto) per la prima impresa se l altra impresa produce Ŷ 2 e vice versa. Per trovare l equilibrio seguiremo i seguenti passi: 1) Determineremo quali sono i profitti dei due giocatori per ogni possibile combinazione di strategie. 2) Dati i profitti saremo in grado di determinare la scelta ottimale del primo giocatore per ogni possibile livello di produzione del secondo giocatore (e vice versa per il secondo giocatore). Oligopolio 3

4 La funzione che descrive le scelte ottimali del primo giocatore per ogni livello di output del secondo giocatore viene chiamata funzione di reazione del giocatore uno; indicheremo questa funzione con Y 1 (Y 2). 3) Dopo aver calcolato le funzioni di reazione di entrambi i giocatori troviamo la coppia di strategie/livelli di produzione che risolve il sistema di equazioni Y 1 = Y 1 (Y 2) Y 2 = Y 2 (Y 1). Per prima cosa definiamo i profitti delle due imprese. Se le due imprese producono le quantità Y 1 e Y 2, allora il prezzo al quale potranno vendere il loro output sarà p(y 1 + Y 2 ). Conseguentemente, i profitti dei due giocatori saranno semplicemente Π 1 (Y 1, Y 2 ) = R 1 (Y 1, Y 2 ) C 1 (Y 1 ) = Y 1 p(y 1 + Y 2 ) C 1 (Y 1 ) Π 2 (Y 1, Y 2 ) = R 2 (Y 1, Y 2 ) C 2 (Y 2 ) = Y 2 p(y 1 + Y 2 ) C 2 (Y 2 ). Oligopolio 4

5 Ogni impresa deve tener conto della scelta del proprio avversario poichè il prezzo di mercato dipende dalla produzione di entrambi i giocatori. Passiamo ora al problema di determinare le funzioni di reazione delle due imprese. Se l impresa due produce un output pari a Y 2 unità la scelta ottimale della prima impresa Y1 (Y 2) consiste nel risolvere la condizione del primo ordine Π 1 (Y 1, Y 2 ) Y 1 = R(Y 1, Y 2 ) Y 1 MC 1 (Y 1 ) = p(y ) + dp(y ) dy Y 1 MC 1 (Y 1 ) = 0, dove Y = Y 1 + Y 2 indica l output totale. Per semplificare il calcolo delle curve di reazione è conveniente assumere che i) le funzioni dei costi delle due imprese siano lineari e abbiano la stessa pendenza: C i (Y i ) = cy i ; Oligopolio 5

6 ii) l inversa della domanda aggregata sia una funzione lineare: p(y ) = a by. In questo caso la funzione di profitto del primo giocatore prende la forma Π 1 (Y 1, Y 2 ) = Y 1 [a b(y 1 + Y 2 )] cy 1. Come condizione di ottimalità otteniamo Π 1 (Y 1, Y 2 ) Y 1 = a 2bY 1 by 2 c = 0. Conseguentemente la funzione di reazione del primo giocatore è (la troviamo risolvendo la precedente equazione per Y 1 ) Y1 (Y 2) = a c Y 2 2b 2. La funzione di reazione della seconda impresa può essere calcolata in modo analogo. Siccome le due imprese sono simmetriche, anche le loro funzioni di reazione devono esserlo (questo vale solo se le due imprese hanno la stessa funzione dei costi): Y 2 (Y 1) = a c 2b Y 1 2. Oligopolio 6

7 Come abbiamo già osservato sopra, l equilibrio del nostro duopolio (equilibrio Cournot-Nash) è una coppia di outputs (Ŷ 1, Ŷ 2 ) che risolve il sistema di equazioni Y 1 = Y 1 (Y 2) Y 2 = Y 2 (Y 1). Nel caso particolare di domanda e costi lineari (caso lineare) questo sistema ha la seguente forma Y 1 = a c 2b Y 2 = a c 2b Y 2 2 Y 1 2 la cui soluzione è (Ŷ 1, Ŷ 2 ) = (a c)/3b. Graficamente l equilibrio di Cournot-Nash corrisponde all intersezione delle due funzioni di reazione. La seguente figura mostra l equilibrio per il caso lineare. Oligopolio 7

8 Y 2 a c b a c 2b a c 3b Y1 (Y 2) Y2 (Y 1) a c 3b a c 2b a c b Y 1 È interessante notare che le intercette delle due curve di reazione corrispondono rispettivamente alla quantità di monopolio per questo mercato (Y i (0) = Y M ) e alla quantità efficiente (***) (Y i (Y c ) = 0). E ovvio che la risposta ottima del giocatore uno è Y M quando il suo avversario produce 0. Dobbiamo spiegare perchè produrre 0 è la risposta ottima quando l altro giocatore produce Y c. Oligopolio 8

9 Ricordiamo che la derivata del profitto del giocatore 1 è p(y 1 + Y 2 ) + dp(y 1 + Y 2 ) Y 1 c. dy Se Y 2 è tale che quest espressione è pari a zero nel punto Y 1 = 0 (cioè se il profitto del giocatore 1 non aumenterebbe se egli producesse una piccola quantità positiva), allora produrre un output pari a 0 è ottimale per il giocatore 1. Siccome nel punto Y 1 = 0 i ricavi marginali sono pari al prezzo p(y 2 ) (non essendoci unità inframarginali un aumento della quantità non può creare perdite su quelle unità; dp(y 1+Y 2 ) dy Y 1 0) all impresa uno conviene produrre una quantità positiva se e solo se p(y 2 ) > c. Siccome sappiamo che Y c soddisfa la condizione p(y c ) = c, possiamo concludere che il giocatore uno vorrà entrare nel mercato se e solo se Y 2 < Y c. Oligopolio 9

10 Cournot vs. concorrenza perfetta e monopolio Nell equilibrio del modello di Cournot, i giocatori i = 1, 2 producono una quantità tale che per entrambi la condizione p(y ) + dp(y ) dy Y i = c è verificata. Questa condizione può essere riscritta nella seguente forma [ ] s p(y ) 1 i = c. ε(p(y )) dove s i = Y i Y rappresenta il market share del giocatore i. Ovviamente se entrambi i giocatori producono quantità positive, s i deve essere un numero minore di uno (0 < s i < 1). Se il giocatore i fosse un monopolista allora la sua market share sarebbe 1, s i = 1. Quindi per un monopolista l espressione tra le parentesi nella condizione di ottimalità è minore di quella che otteniamo per un oligopolista. Conseguentemente, la differenza tra prezzo e costi marginali deve essere maggiore nel caso di un monopolio. p(y M ) > p(ŷ 1 + Ŷ 2 ) Y M < Ŷ 1 + Ŷ 2. Oligopolio 10

11 Notiamo infine che possiamo identificare una situazione di perfetta concorrenza con il caso s i = 0 (l impresa produce una quantità trascurabile in relazione con la quantità totale scambiata nel mercato). In questo caso costi marginali e prezzo coincidono p(y c ) < p(ŷ 1 + Ŷ 2 ) Y c > Ŷ 1 + Ŷ 2. Da queste osservazioni possiamo concludere che l oligopolio di Cournot costituisce un caso intermedio tra concorrenza perfetta e monopolio. Dalla seguente figura vediamo che in termini di surplus totale abbiamo (ˆp = p(ŷ 1 + Ŷ 2 )) e CS(p M ) + P S(p M ) < CS(ˆp) + P S(ˆp) CS(ˆp) + P S(ˆp) < CS(p c ) + P S(p c ). Oligopolio 11

12 p p M ˆp p c a e b f c g h i d MC(Y ) Y M Ŷ Y c p(y ) Y CS(p M ) + P S(p M ) = abe + ebhg, CS(ˆp) + P S(ˆp) = acf + fcig, CS(p c ) + P S(p c ) = adg + 0. Oligopolio 12

13 Il duopolio di Bertrand Il modello di Cournot si basa sull ipotesi che le imprese competano scegliendo (strategicamente) le proprie quantità di output. In questo paragrafo studieremo lo stesso modello, assumendo però che le imprese scelgano i loro prezzi. Manteniamo tutte le altre ipotesi del modello di Cournot; per quanto riguarda le funzioni di costo delle imprese consideriamo solo il caso di C i (Y i ) = cy i. Questa nuova versione di un modello di oligopolio viene chiamata modello di Bertrand. Cominciamo l analisi di questo nuovo gioco (nel quale l insieme delle azioni/strategie di un giocatore è l insieme dei prezzi) con la definizione dei profitti per ogni possibile combinazione di strategie (p 1, p 2 ). Se p 1 > p 2 a tutti i consumatori conviene comprare il bene dal secondo produttore (e vice versa). Nel caso p 1 = p 2 invece è ragionevole supporre che la domanda si divida equamente tra le due imprese. Quindi otteniamo Π(p 1, p 2 ) = Y d (p 1 )(p 1 c) se p 1 < p 2 Y d (p 1 )(p 1 c)/2 se p 1 = p 2 0 se p 1 > p 2. Oligopolio 13

14 Il profitto della seconda impresa è definito in modo analogo. Dalla funzione del profitto possiamo direttamente derivare la funzione di reazione del primo giocatore (e in modo perfettamente analogo anche quella del secondo giocatore). Supponiamo che il secondo produttore scelga il prezzo p 2 < c. Allora il primo giocatore farebbe perdite per ogni prezzo p 1 p 2, mentre per ogni prezzo p 1 > p 2 il profitto sarebbe 0; ergo, la risposta ottima del primo giocatore in questo caso è di scegliere un qualsiasi prezzo maggiore di quello del suo competitore. Nel caso p 2 > c invece il giocatore uno farebbe profitti positivi per ogni p 1 p 2. Perciò possiamo escludere che scelga un prezzo superiore a p 2. Scegliendo lo stesso prezzo dell altro produttore la prima impresa realizza un profitto di Y 1 (p 2 )(p 2 c)/2. Se invece chiede un prezzo inferiore, p 1 = p 2 ε, allora il profitto sarebbe Y d (p 2 ε)(p 2 ε c). Oligopolio 14

15 È evidente che per ε sufficientemente vicino a zero dobbiamo avere che Y d (p 2 ε)(p 2 ε c) > Y d (p 2 )(p 2 c)/2. Perciò, la risposta ottima dell impresa uno è quella di chiedere un prezzo inferiore a quello dell altro giocatore. Rimane il caso p 2 = c. In questo caso il profitto del primo giocatore sarebbe pari a zero per ogni p 1 p 2 e negativo per ogni p 1 < p 2. Quindi una delle risposte ottimali del primo giocatore è di chiedere lo stesso prezzo del suo concorrente. Quest ultima osservazione implica immediatamente che la coppia (ˆp 1, ˆp 2 ) = (c, c) deve essere un equilibrio di Nash del nostro modello (nel caso di un modello di Bertrand l equilibrio viene anche chiamato equilibrio Bertrand-Nash). Ci possono essere altri equilibri di Nash di questo gioco? La risposta è ovviamente NO! Fintanto che il prezzo di almeno uno dei giocatori è inferiore al costo marginale, uno dei due giocatori vorrà aumentare Oligopolio 15

16 il proprio prezzo. Se entrambi i prezzi sono superiori al costo marginale, allora le imprese vorranno offrire prezzi minori del concorrente. Infine se solo un giocatore chiede un prezzo superiore al costo marginale, allora anche all altro giocatore converrà alzare il prezzo sopra il costo marginale (rimanendo però sotto il livello del prezzo del concorrente). Bertrand vs. concorrenza perfetta Abbiamo visto che nell equilibrio del modello di Bertrand entrambe le imprese chiedono un prezzo pari al costo marginale. Le quantità che corrispondono a quest equilibrio sono (Y c /2, Y c /2). Questo vuol dire che se in un oligopolio le imprese fissano il prezzo otteniamo la stessa allocazione che otterremmo in un mercato perfettamente concorrenziale. Bertrand vs. Cournot Dato che i due modelli di oligopolio che abbiamo studiato ci danno risultati completamente diversi, dobbiamo porci le seguenti domande: Oligopolio 16

17 i) Come si spiega questa differenza nei risultati dei due modelli? ii) Quale dei due modelli dovremmo utilizzare? Il fatto che producono risultati così diversi vuol dire che almeno uno dei due è sbagliato? Domanda i): La differenza fondamentale tra il modello di Cournot e il modello di Bertrand risiede nel fatto che, nel secondo modello, i profitti dei giocatori sono molto più sensibili alle strategie dei giocatori che nel primo modello. In particolare, nel modello di Bertrand, in una situazione con p 1 = p 2 > c ognuno dei giocatori riuscirebbe (quasi) a raddoppiare le sue vendite (catturando anche la domanda dellaltro giocatore) al costo di una minima riduzione del proprio prezzo. Ed è proprio questa tentazione di raddoppiare il proprio profitto con una piccola deviazione che preclude la possibilità di un equilibrio nel quale i giocatori ottengono profitti positivi. Nel modello di Cournot i profitti variano invece in un modo più continuo con le strategie dei giocatori, perchè un aumento della quantità da parte di Oligopolio 17

18 un giocatore implica una riduzione del prezzo e perciò una (potenzialmente rilevante) perdita in termini di ricavi ottenuti dalla vendita delle unità inframarginali. Ciò significa che nel modello di Cournot i giocatori hanno meno da guadagnare da una possibile deviazione. Infatti, come abbiamo dimostrato, esiste una combinazione di strategie - l equilibrio di Cournot-Nash - tale che gli incentivi a deviare sono pari a zero anche se entrambi i giocatori realizzano profitti positivi. Domanda ii): Quale dei due modelli è più adatto dipende dalle caratteristiche del mercato che vogliamo studiare. Utilizzare il modello di Bertrand è appropriato per un industria la cui tecnologia permette alle imprese di modificare facilmente il loro output. Solo sotto questa condizione è ragionevole pensare che un impresa possa tentare di catturare l intera domanda di mercato offrendo un prezzo più basso delle altre imprese. Il modello di Cournot invece può essere considerato più realistico nel caso di un industria nella quale è difficile per le imprese modificare i propri piani di produzione una volta che questi sono stati decisi. Oligopolio 18