p = p p = 440

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1 Esercizio 1.1 Dato che il reddito dei consumatori è pari a 600, la funzione di domanda può essere scritta: Q = p Uguagliando domanda e offerta, otteniamo: p = p p = 500 Se il reddito viene tassato del 10%, si riduce da 600 a 540. Quindi la funzione di domanda diventa: Q = 70 0.p Uguagliando la nuova funzione di domanda e la funzione di offerta, otteniamo: 70 0.p = p p = 440 Quindi, l introduzione dell imposta sul reddito, deprimendo la domanda, ha ridotto il prezzo di 60. 1

2 Esercizio 1. In assenza di imposta, la quantità di equilibrio è data da: 60 + Q = 300 4Q Q = 40 il prezzo di equilibrio è quindi di p = 140. Il surplus dei consumatori (vedi paragrafo ) è dato quindi da: S C = ( ) 40 = 300 L introduzione dell imposta sposta parallelamente verso l alto la funzione inversa di offerta: P = Q S In presenza di imposta, la quantità di equilibrio è data da: 6 + Q = 300 4Q Q = il prezzo di equilibrio è quindi di p = Quindi, il consumatore si vede aumentare il prezzo di = 4 3. Dato che l imposte è pari a e dato che il consumatore deve pagare 4 3 in più per ogni unità 3 acquistata, l incidenza dell imposta sul consumatore è data da: q c = 4 = 3. Due terzi dell imposta sono quindi a carico del compratore e quindi un terzo dell imposta è a carico del venditore. Per ottenere questo risultato si poteva applicare direttamente l equazione 1.5: q c = b b + h q c = q c = 3 in quanto sia la funzione di domanda che quella di offerta sono lineari, con b = 4 coefficiente angolare della funzione di domanda (in valore assoluto) e h = coefficiente angolare della funzione di offerta. In presenza di imposta, il surplus dei consumatori è dato da: S C = 44 (300 3 ) = 3147 L introduzione dell imposta ha ridotto il surplus di 53 =

3 Esercizio 1.3 Se scriviamo le funzioni di domanda e offerta proposte dal testo in forma inversa, otteniamo: p = 5 Y D p = 1 +Y S e possiamo risolvere per l equilibrio di mercato (Y S = Y D Y ) in assenza di imposta: 5 Y = 1 +Y Y = p = 3 L introduzione di una imposta a carico del produttore sposta la funzione inversa di offerta parallelamente verso l alto in misura pari all importo dell imposta (p = (1 + t) +Y S ). L equilibrio di mercato (Y S = Y D Y ) dopo l introduzione dell imposta è quindi dato da: 5 Y = 1 + +Y Y (t) = 1 p (t) = 4 Il gettito fiscale (FR) è dato dall imposta per le quantità scambiate: FR(t) = t Y FR(t) = 1 = Le imprese, prima dell introduzione dell imposta incassavano: T R = p Y = 6 Dopo l introduzione dell imposta incassano per ogni unità venduta, in quanto il prezzo lordo è pari a p (t) = 4, ma poi devono versare t = per ogni unità venduta allo Stato. Pertanto, il ricavo totale delle imprese sarà pari a: T R(t) = (p (t) t)y (t) T R(t)(4 ) 1 = Le imprese vedono quindi i loro incassi ridursi di T R T R(t) = 4. I consumatori, prima dell introduzione dell imposta spendevano E = p Y E = 3 = 6 Dopo l introduzione dell imposta, spendono 4 per ogni unità acquistata e acquistano 1 unità: E(t) = p (t) Y (t) E(t) = 4 1 = 4 Quindi spendono in meno. 3

4 Esercizio 1.4 Il testo ci chiede di calcolare la variazione dell occupazione dell impresa causata dall introduzione di una imposta. Dobbiamo quindi calcolare l utilizzo del lavoro prima e dopo l imposta. L imposta incide su ogni unità prodotta, cioè sposta verso l alto la funzione di costo totale. Dobbiamo quindi esplicitare la funzione di costo dell impresa pre e post-imposta. Calcoliamo allora la funzione di costo totale dell impresa (che utilizza solo lavoratori). Dalla funzione di produzione possiamo calcolare: Il costo totale dell impresa è quindi: L = y TC = wl TC = y Dall uguaglianza tra prezzo e costo marginale otteniamo: 1.50 = y y = 3750 Dalla funzione di produzione sappiamo quindi che: L = y L 1406 (si noti che lo stesso risultato poteva essere raggiunto uguagliando la produttività marginale del lavoro al salario reale, dove MP L = 50L 1 e w p = 1.5 = 4 3 ). Calcoliamo adesso la funzione di costo totale dell impresa dopo l introduzione dell imposta (t = 0.5): TC = wl +ty TC = y y Dall uguaglianza tra prezzo e costo marginale otteniamo: 1.50 = y y(t) = 500 Dalla funzione di produzione sappiamo quindi che: L(t) = y(t) L(t) = 65 Pertanto, l introduzione dell imposta ha ridotto la produzione dell impresa di 150 = e ha ridotto l utilizzo del lavoro di 781 =

5 Esercizio 1.5 Per ottenere la piena occupazione occorre che la domanda di lavoro sia pari a 400, sia cioè pari all offerta di lavoro. Cioè, lo Stato dovrà sussidiare le imprese in modo tale che domandino precisamente 400 lavoratori. Definiamo con s il sussidio per lavoratore. Dato che dalla funzione di produzione, sappiamo che L = Y e che il costo di ogni lavoratore è dato dal salario meno il sussidio ricevuto dallo Stato (w s), possiamo scrivere la funzione di profitto dell impresa: π = py TC(Y ) π = py (w s)l π = 10Y (0.50 s)y L impresa deve scegliere quanto produrre. Massimizza quindi i profitti rispetto Y : 10 (0.50 s)y = 0 Y (s) = 10 1 s La produzione dell impresa dipende quindi positivamente dal sussidio erogato dallo Stato. L occupazione dell impresa sarà allora pari a: ( ) 10 L(s) = Y (s) L(s) = 1 s Al fine di ottenere la piena occupazione, lo Stato fisserà il sussidio in modo tale che L(s) = 400: ( ) 10 = = 0(1 s) 1 s 1 = 1 s da cui si ottiene il livello del sussidio pubblico che garantisce la piena occupazione: s = 1 4 = 0.5 Il sussidio deve quindi essere pari alla metà del salario. 5

6 Esercizio 1.6 Lo Stato deve decidere il livello di t che massimizza il gettito fiscale (dato da FR(t) = t Y (t). Per calcolare l imposta ottimale, scriviamo le funzioni di domanda e offerta in forma inversa e teniamo conto che la funzione di offerta si sposta parallelamente verso l alto per un importo pari a t: p = Y d p = +t Y s La quantità di equilibrio si ottiene quando Y d = Y s Y : Y = +t Y Y (t) = t Il gettito fiscale è quindi dato da: FR(t) = t Y (t) FR(t) = t ( ) 3 t Lo Stato sceglie t in modo da massimizzare il gettito fiscale, quindi pone la derivata prima di FR calcolata rispetto t uguale a zero: t = 0 t = 49 Cioè, fissando una imposta unitaria pari a 49 lo stato ottiene il massimo gettito fiscale. Il calcolo della variazione del surplus dei consumatori dovuto all introduzione dell imposta richiede la conoscenza del surplus per t = 0 e per t = 49. Sappiamo che Y (t) = t e possiamo calcolare p (t) (dalla curva di domanda o di offerta) p (t) = t. Allora possiamo scrivere il surplus del consumatore come funzione dell imposta t: quindi: S C = 1 [ ( )]( t 3 10 ) 3 t S C = 1 10(98 t) 9 S C = 5 (98 t) 9 Per t = 0, vale S C = Per t = 49, vale S C = Pertanto l imposta riduce il surplus del consumatore in misura pari a 400 =

7 Esercizio 1.7 Il testo ci chiede di quanto dovrebbe variare il reddito di un individuo al fine di compensare la variazione del prezzo di un bene in seguito all introduzione di una imposta (vedi capitolo 3.1.7). Dobbiamo quindi calcolare l utilità indiretta dell individuo in assenza dell imposta, e valutare quale reddito sarebbe necessario per raggiungere la stessa utilità dopo che l imposta è stata introdotta. Si noti che la funzione di utilità dell individuo rappresenta beni perfettamente sostituti (se si calcola il saggio marginale di sostituzione, si vede che esso è costante). le curve di indifferenza sono quindi delle rette con pendenza 1. Questo vuol dire che il consumatore acquisterà tra i beni 1 e solo quello che costa meno. In assenza dell imposta, costa meno il bene. Dato il reddito dell individuo pari a 450, questo individuo acquisterà allora x = = 50 e, ovviamente, x 1 = 0. L utilità indiretta in assenza dell imposta sarà quindi: u = x 1 + x u = = 50 In seguito all introduzione dell imposta, il bene costa 11, mentre il bene 1 costa 10. Pertanto il nostro individuo acquistera solo il bene 1, meno costoso. Ci dobbiamo allora chiedere quale è il livello di reddito (m) che gli permette di raggiungere la stessa utilità che raggiungeva senza l imposta, pari a u = 50. Dato un reddito m, l individuo acquisterà il bene 1, che costa 10, per una quantità data da: x 1 = m 10 l utilità che l individuo può raggiungere acquistando solo il bene 1 è pari a u = x 1 +0 = m 10. L utilità che otteneva senza imposta è pari a 50. Dobbiamo quindi risolvere: 50 = m 10 cioè m = 500. Se il reddito dell individuo aumentasse di 50 = , allora la sua utilità non sarebbe modifica dall introduzione dell imposta sul bene. 7

8 Esercizio 1.8 Il testo dell esercizio chiede esplicitamente di aiutarsi con una rappresentazione grafica. Dato che non conosciamo la funzione di utilità dell individuo, possiamo rappresentare solo il suo vincolo di bilancio, che in generale è scritto: x B = m p B p A p B x A Questo vincolo può essere rappresentato graficamente in tre situazioni: quella iniziale, quella che si avrebbe se l ipotesi del partito conservatore fosse quella vincente, quella che si avrebbe se l ipotesi del partito progressista fosse quella vincente, Vediamo allora in vincolo nei tre casi. Nella situazione iniziale x B = x A x B = x A Nella situazione proposta dal partito conservatore, che propone una aumento del reddito disponibili di 1000 (per comodità, indichiamo con x C B questa ipotesi): x C B = x A x C B = x A Nella situazione proposta dal partito progressista, che propone una riduzione del prezzo del bene di 1.5 (indichiamo con xb P questa ipotesi): xb P = x A xb P = x A A questo punto possiamo rappresentare i 3 vincoli di bilancio: Nella rappresentazione grafica (dove x A varia tra 50 e 10 per rendere più leggibile il grafico) è evidenziata la scelta dell individuo posta in essere nella situazione iniziale, con x A = 100 e x B = 50. Quella scelta doveva essere ottimale per l individuo. Dalla rappresentazione xb( xa) grafica si nota che il vincolo di bilancio si sposta verso := xa xbc( xa) l esterno in ambedue i casi, ma che, partendo := dalla situazione xa iniziale, l insieme dei panieri raggiungibili per l individuo è più ampio nel caso del partito progressista. Quindi l individuo voterà xbp ( xa ) 0000 per questo 87.5 partito. := xa xa := 50, xb( xa) xbc( xa) xbp( xa) xa 8

9 Esercizio 1.9 L esercizio ci chiede di calcolare di calcolare la riduzione dell imposta sui redditi necessaria per far si che il surplus dei consumatori non cambi. Dovremo quindi: a) calcolare il surplus dei consumatori senza imposta sui consumi b) calcolare il surplus dei consumatori senza imposta con i consumi per una generica imposta sui consumi, t c) valutare per quale t i due surplus sono uguali Per τ = 0 e t = 5%, l equilibrio tra domanda e offerta da luogo a: 6400(1 0.5) Y = Y 4800 = Y Y = 400 quindi p = 400. Il surplus dei consumatori (dato dalla differenza tra intercetta delle funzione di domanda e prezzo moltiplicata per la quantità e divisa per due) sarà allora: ( ) 400 S C = = Per τ = 00 e t incognito (perché dobbiamo calcolare t tale che il surplus dei consumatori rimanga costante), avremo invece: 6400(1 t) Y = 00+Y t = Y Y (t) = t da cui: In questo caso, il surplus sarà: p (t) = t S C = [6400(1 t) ( t)]( t) S C = [ t] Il testo ci chiede di calcolare t in modo tale che questo surplus sia uguale a quello che si aveva prima dell introduzione dell imposta sui prezzi τ, che era pari a Quindi: da cui: = [ t] = t 400 = t t = 700 = 0.19 = 1.9% 300 L imposta t era pari al 5% e deve essere ridotta al 1.9%. Pertanto, si dovrà ridurre del 3.1%. 9