Esercitazione 1 - Microeconomia

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1 Esercitazione - Microeconomia Esercizio Uno studente dedica 8 ore al giorno all ascolto della musica; per M ore ascolta Mozart e per B ore ascolta Beethoven. La funzione di utilità dello studente è U M /4 B 3/4,doveU indica l utilità. Rispondete alle seguenti domande:. Rappresentate graficamente la curva d indifferenza corrispondente a 4 unità di utilità. 2. Nello stesso grafico tracciate la curva d indifferenza corrispondente a 5 unità di utilità. 3. Scrivete l equazione che indica il vincolo di bilancio dello studente. Sempre nello stesso gafico rappresentate il vincolo di bilancio. 4. Sulla base del grafico da voi costruito, quali sono approssimativamente i valori di M e B che assicurano allo studente il massimo grado di utilità? 5. Nel punto di equilibrio, che valore assume il rapporto tra l utilità marginale della musica di Beethoven e l utilità marginale della musica di Mozart? Soluzione. Vedi grafico alla risposta Nello stesso grafico tracciate due curve di indifferenza parallele tra loro aventi la forma più consueta. Quella più lontana dall origine sarà U 5, mentre quella più vicina sarà U L equazione del vincolo di bilancio è M + B La combinazione che assicura allo studente il massimo grado di utilità è: B 6e M Calcoliamo il saggio marginale di sostituzione, che è il rapporto tra l utilità marginale della musica di Beethoven e l utilità marginale della musica di Mozart: MU B U B 3 4 M /4 B /4 MU M U M 4 M 3/4 B /4

2 M 8 2 U 5 6 U 4 B Figure : MRS MB MU B MU M 3 4 M /4 B /4 4 M 3/4 B /4 3M B Nel punto di equilibrio (M 2e B 6) il il rapporto tra le utilità marginali è pari al rapporto tra i prezzi, che in questo caso è uguale a. Infatti, il prezzo o costo opportunità di un ora dedicata all ascolto di un compositore è la rinuncia ad ascoltare l altro compositore per un ora. Esercizio 2 Si consideri Anna che, come Rosa, consuma solo hamburger e tacos. L utilità che Anna ricava da x hamburger e tacos è pari al quadrato dell utilità che ne ricava Rosa per 5 più 0, vale a dire: ³ U A (x, ) 5 x /2 / dove U A (x, ) è la funzione di Anna. L utilità di Rosa è data pertanto da: U R (x, ) x /2 /2 Ricavate le funzioni di utilità marginale degli hamburger e dei tacos per Anna. Calcolate il suo saggio marginale di sostituzione e mettetelo a confronto con quello di Rosa. Che differenza c è tra la mappa d indifferenza di Anna e di Rosa? 2

3 Soluzione Per Anna l utilità marginale degli hamburger è MUx A 5 e quella dei tacos è MU A 5x. Il suo saggio marginale di sostituzione è, quindi: MRSx A 5 5x x Il saggio marginale di sostituzione di Rosa è: MRSx R 2 x /2 /2 2 x/2 /2 x Anna e Rosa hanno la stessa mappa di indifferenza. La funzione di utilità di Anna è, infatti, una trasformazione monotona della funzione di utilità di Rosa. Esercizio 3 Andrea consuma fucili (x) e burro () e la sua funzione di utilità è U (x, ) x 3/.. Ipotizzando che 9, p 6e I 900, calcolate le quantità di x e che assicurano ad Andrea la massima utilità. 2. Individuate le funzioni di domanda di x e. 3. Determinate l elasticità della domanda rispetto al prezzo per x e Determinate l elasticità della domanda rispetto al reddito per x e. 4. Dimostrate che le scelte di Andrea non cambiano se il reddito e i prezzi raddoppiano. 5. La funzione di utilità di Giacomo per i beni x e è 5 + 0(x 3/). Trovate le funzioni di domanda relative ai beni x e di Giacomo e mettetele a confronto con quelle di Andrea. In che modo influisce il carattere ordinale delle funzioni di utilità sulle varie conclusioni? Soluzione. Scriviamo il lagrangiano: L x 3/ + λ (900 9x 6) 9λ 0 x 3/2 6λ x 6 0 λ 3

4 λ / /6 x da cui: 3 3 4, 30, x , In questo caso il lagrangiano è: L x 3/ + λ (I x p ) x λ 0 3/2 λp 0 λ I x p 0 λ / 2 3 /p x I p Le funzioni di domanda di e x sono: ³ 3px p /2 e x I ³ 3p /2 3. Calcoliamo l elasticità della domanda di x e rispetto al prezzo: ε x x px x I p 2 + x 2 (3p ) /2 p 3/2 px x x (3 6)/2 9 3/2 98, 82 x x ε p p 2 (3) /2 p 3/2 p 6 2 (3 9)/2 (6) 3/2 Le elasticità rispetto al reddito sono: ε I,x x I I x I x 0, 66 ε I, I I 0 4. Dalle funzioni di domanda calcolate al punto 2 si vede che se raddoppiassero sia il reddito (I 800) sia i prezzi di entrambi i beni ( 8; p 32), le scelte di Andrea non cambierebbero. Ciò significa che Andrea non è vittima dell illusione monetaria. 5. La funzione di utilità di Giacomo è una trasformazione monotona della funzione di utilità di Andrea e, quindi, il saggio marginale di sostituzione è lo stesso. Ciò implica che le funzioni di domanda di Giacomo sono le stesse di Andrea. 4

5 Esercizio 4 Determinare le quantità ottime di x e nei seguenti casi:. U (x, ) x 2. U (x, ) min(x, 2) 3. U (x, ) x U (x, ) 2x Con I 00 e p. Soluzione. In questo caso le curve di indifferenza sono convesse verso l origine. Possiamo, quindi, usare il metodo standard per risolvere il problema: L x + λ (00 x ) x λ 0 x λ 0 00 x 0 λ da cui si ottiene: x Consideriamo, ad esempio, la curva di indifferenza corrispondente al livello di utilità 0 (min(x, 2) 0): x 0 se 2 >0, cioèse>5 min(x, 2) x 2 0 se x 2 cioè se x 0,5 2 0( 5) se x>2, cioèsex>0 I beni della funzione di utilità U (x, ) min(x, 2) sono perfetti complementi e, come si può osservare in figura, la soluzione di ottimo è un punto d angolo: 5

6 X 00 66,6 33,3 00 Y I punti d angolo sono rappresentati dall equazione x 2, che,messa a sistema con il vincolo di bilancio x + 00, cipermetteditrovare il punto di ottimo: ½ x 2 x + 00 La soluzione è: x e I due beni della funzione di utilità: U (x, ) x +2 sono perfetti sostituti. In questo caso il saggio marginale di sostituzione è minore rispetto al rapporto tra i prezzi: MRS x 2 < p Ciò significa che il consumatore è disposto a scambiare due unità del bene x con una unità del bene (saggio marginale di sostituzione), mentre sul mercato può solo scambiare una unità del bene x con una unità del bene (rapporto tra i prezzi). Non è, quindi, conveniente consumare x e la soluzione di ottimo è x 0, 00. 6

7 Y O X 4. Si noti che la curva di indifferenza associata ad un livello di utilità fissato U è un ellissi con formula x2 + 2 ed è, quindi, concava: a 2 b 2 U 2x x2 /2 + 2 da cui: x2 /2U + 2 U che è un ellissi che nel quadrante positivo ha intercetta verticale b q U e intercetta orizzontale a 2U. Come si può notare dal grafico, la soluzione è d angolo ed è: x 00, 0. Y O X 7