Capitolo 11: Prezzo limite e deterrenza all entrata

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Elisa Paoli
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1 Capitolo 11: Prezzo limite e deterrenza all entrata Esercizio 1 a) Ponendo i ricavi marginali pari ai costi marginali otteniamo R = t0 0,q I = 0,05q I = C 0,5q I = 50 q I = 00 P = 50 0,1q I = 50 0 = 30 L impresa avrà profitti pari a π I = ,05 00 = 6000 = 5000 b) La curva di domanda può essere scritta come segue P = 50 0,1Q = 50 0,1q I 0,1q E = 50 0,1 00 0,1q E = 30 0,1q E I ricavi marginali per l impresa entrante saranno perciò R E = 30 0,q E Uguagliando i ricavi marginali dell entrante ai suoi costi marginali otteniamo R E = 30 0,q E = ,05q E = C E 0,5q E = 0 q E = 80 P = 50 0,1 00 0,1 80 = = c) Dobbiamo semplicemente trovare quel livello di output q I = Q tale per cui la funzione di reazione dell entrante restituisca un output pari a 0. Scrivendo la funzione di domanda residuale come funzione di q I otteniamo P = 50 0,1Q = 50 0,1q I 0,1q E I ricavi marginali dell entrante saranno R E = 50 0,1q I 0,q E Ponendo i ricavi marginali pari ai costi marginali otteniamo R E = 50 0,1q I 0,q E = ,05q E = C E 0,5q E = 40 0,1q I q E = 160 0,4q I Se l incumbent scegliesse un output q I tale q E = 0 l entrante allora eviterebbe l ingresso sul mercato. Ciò implica che q E = 160 0,4q I = 0 0,4q I = 160 q I = 400 Q = 400 1

2 A tale livello di output, il prezzo e i profitti delle due imprese sono P = 50 0,1q I 0,1q E = 50 0, ,1 0 = = 10 π I = , = = 0 π E = ,05 0 = 0 Se invece l incumbent non producesse 400 unità, ma ad esempio soltanto 350, allora l entrante dovrebbe produrre 0 unità. Ciò è chiaro dalla funzione di reazione Esercizio q E = 160 0,4q I = 160 0,4 350 = = 0 P = 50 0, ,1 0 = 13 π I = , = ,5 = 1487,5 π E = ,05 0 = = 50 Ora considerate un modello di Cournot con due imprese e funzioni di costo differenti per ciascuna impresa. La soluzione si ottiene scegliendo q i in maniera tale da massimizzare i profitti dell i-esima impresa data la quantità prodotta dall impresa rivale. Per l impresa incumbent: π I = Pq I C q I = ( 50 0,1q I 0,1q E q I 0,05q I = 50q I 0,1q I 0,1q I q E 0,05q I dπ I dq I = 50 0,q I 0,1q E 0,05q I = 0 0,5q I = 50 0,1q E q I = 00 0,4q E In maniera del tutto simile, la funzione di reazione per la seconda impresa è data da π E = Pq E C q E = ( 50 0,1q I 0,1q E q E 10q E 0,05q E = (50q E 0,1q E q I 0,1q E 10q E 0,05q E dπ E dq E = 50 0,1q I 0,q E 10 0,05q E = 0 0,5q E = 40 0,1q I q E = 160 0,4q I

3 Risolviamo simultaneamente per il livello ottimale q i nel modo seguente q E = 160 0,4q I = 160 0,4 00 0,4q E = ,16q E = ,16q E 0,84q E = 80 q E = 95,38 Il prezzo si ricava da I profitti sono dati da q I = 00 0,4q E = 00 0,4 95,38 = 00 38,095 = 161,90476 P = 50 0,1Q = 50 0,1q I 0,1q E = 50 0,1 161, ,1 95,3809 = 4,85715 π I = 4, ,9047 0,05 161,9047 = 3931, ,39 = 376,644 π E = 4,857 95, ,3809 0,05 95,3809 = 31,95 95, = 1133,787 L incumbent guadagna profitti minori se mantiene l output di monopolio e l entrante produce 80 unità. q I =00 non è ottimale se l entrante produce 80 unità. q I = 00 0,4q E = 00 0,4 80 = 168 che chiaramente non è 00, perciò la minaccia non è credibile. Esercizi 3 e 4 Lo svolgimento di questi esercizi è simile a quello dell Esercizio 11. di pag. 9. Esercizio 5 L impresa 1 entra nel mercato e sceglie l impianto piccolo. Dopodiché, l impresa entra e sceglie anch essa l impianto di piccole dimensioni. 3

4 Esercizio 6 a) Scriviamo la funzione di domanda inversa nel modo seguente q = j =1 4 = P 000P = P = 35 0,0005 j =1 Ora considerate i costi marginali della prima impresa e poneteli uguali al prezzo (le imprese sono price taker). j =1 C q 1 = q = 35 0,0005 q 1 0,0005 1,0005q 1 = 30 0,0005 j = q 1 = 9, , j = Dato che tutte le imprese sono identiche possiamo sostituire con q 1 per ottenere q 1 = 9, , j = q 1 = 9, , q 1 q 1 = 9, , q 1 q 1 = 9, ,499503q 1 1, q 1 = 9, q 1 = 0 Ciò comporta che q = 0000 e che P = C = 5. Possiamo pervenire a tale risultato anche facendo la somma orizzontale delle funzioni di costo marginale e poi ponendo l offerta pari alla domanda, ossia: C q i = q i + 5 q i = C q i 5 q i = q = C q i 5000 C q i = q C q i = 0,0001q + 5 Ponendo questa quantità pari al prezzo otteniamo C q i = 0,0001q + 5 = 35 0,0005q = P 0,0015q = 30 q = 0000 q i = 0 Possiamo anche scrivere la relazione dei costi marginali nella forma dipendente dalla quantità (la nozione convenzionale di curva di offerta) e porre poi l offerta pari alla domanda j = j =

5 P = 0,001q + 5 q = P = 5000 q = P 5000 = P = q 3000P = P = 5 q = 0000 b) Chiamiamo q F la domanda dei prodotti dei piccoli venditori e q B la domanda della grande impresa e infine q T la domanda totale. La curva di domanda residuale per i piccoli venditori è data da q F = P 5000 Abbiamo dunque la domanda residuale per la grande impresa q T = q B + q F = P q B = q F 000P = P P = P La curva di domanda residuale inversa si trova invertendo la funzione di domanda residuale q B = P 3000P = q B P = q B c) I profitti dell impresa grande sono π B = Pq B 15q B = q B q B 15q B = 5q B q B 15q B = 10q B q B dπ B = 10 dq B 3000 q B = q B = 10 q B = P = = 5 5 = 0 Le altre imprese producono q F = P 5000 = = La quantità complessivamente prodotta è q F + q B = q T = Esercizio 7 Assumiamo che 0 < r < 1. E facile osservare che t 1 = t = ½ è un equilibrio di Nash. Supponete t = ½. Se l impresa 1 sceglie al tempo t 1 = t = ½, i suoi profitti sono semplicemente π 1 = e 0,5(1 r). Se invece sceglie t 1 = ½ - U i suoi profitti sono π 1 = e 0,5 1 r (1 r)u < e 0,5(1 r). In maniera del tutto simile, se l impresa 1 5

6 sceglie t 1 = ½ + U, i suoi profitti sono π 1 = e 0,5 1 r ru < e 0,5(1 r). Per questo motivo, t 1 = ½ è la risposta dell impresa 1 a t = ½. Dato che il problema è simmetrico, t 1 = t = ½ è una intersezione delle funzioni di reazione delle due imprese ed è, perciò, un equilibrio di Nash. Per osservare che è anche l unico equilibrio di Nash, in primo luogo supponete che t sia distante ε da 0. Se l impresa 1 sceglie lo stesso t dell impresa, guadagna π 1 = e 0,5 rε. Tuttavia, se aspetta un breve lasso di tempo U in più, guadagna π 1 = e 1 ε ru, che è maggiore di π 1 = e 0,5 rε quando t = ε < 1/. Analogamente, per ogni valore di t > 1/, l impresa 1 otterrà sempre un risultato migliore andando più rapidamente della rivale, ossia ponendo t 1 < t. 6

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