Principi di Economia - Microeconomia Esercitazione 6 Teoria dei Giochi Soluzioni

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1 Principi di Economia - Microeconomia Esercitazione 6 Teoria dei Giochi Soluzioni Daria Vigani Novembre Considerare il gioco matching pennies. Ci sono due giocatori che devono scegliere fra testa o croce : se entrambi dicono testa o entrambi dicono croce il giocatore vince 1 euro e il giocatore lo perde; se le scelte sono diverse, il giocatore perde 1 euro mentre il giocatore lo vince. (a) Rappresentare il gioco in forma normale. T C T (1,-1) (-1,1) C (-1,1) (1,-1) (b) Esiste un equilibrio in strategie dominanti? Esistono equilibri di Nash in strategie pure? Commentate. Questo tipo di gioco è detto di competizione pura : gli interessi dei due giocatori sono contrapposti, infatti quando gioca testa, preferisce croce e viceversa. In questo gioco quindi non ci sono strategie dominanti, in quanto non esiste una strategia che assicuri al giocatore un payoff più elevato di quello ottenibile con ogni altra strategia (per ogni strategia adottata dall altro giocatore). In questo gioco non esiste alcun equilibrio di Nash in strategie pure, non esiste cioè nessuna coppia di strategie tale che ogni giocatore gioca una risposta ottima alla strategia dell altro. 2. Considerate un gioco in cui due individui, moglie (giocatore ) e marito (giocatore ), devono decidere (simultaneamente e indipendentemente) 1

2 dove passare la serata, ma hanno gusti diversi: lui preferisce la boxe, lei l opera. Tuttavia, entrambi preferiscono essere in compagnia dell altro che da soli. (a) Rappresentate il gioco in forma normale, assumendo che ciascun giocatore ottenga un payoff pari a 2 se ottiene la sua situazione ideale (spettacolo preferito e compagnia), 0 se ottiene la sua situazione pessima (spettacolo meno gradito, da solo) ed 1 altrimenti. (1,2) (0,0) (1,1) (2,1) (b) Esiste un equilibrio in strategie strettamente dominanti? Esistono equilibri di Nash? È semplice osservare che non esiste un equilibrio in strategie strettamente dominanti: il giocatore preferisce la boxe all opera se anche va a vedere la boxe, ma è indifferente altrimenti, e la situazione è speculare per il giocatore. In questo gioco ci sono 3 equilibri di Nash: (, ), (, ) e (, ). Questi equilibri sono definiti deboli, poichè ogni giocatore ha una possibilità di deviare dall equilibrio che lo rende indifferente. (c) Supponiamo ora che i payoff cambino nel seguente modo: quando i due giocatori si trovano in posti diversi il loro payoff è 0, a prescindere dallo spettacolo a cui assistono. Cosa cambia rispetto al caso precedente? La matrice dei payoff diventa (1,2) (0,0) (0,0) (2,1) Continua a non esserci alcuna strategia dominante, ma a differenza di prima (, ) non è più un equilibrio di Nash, gli altri due equilibri di Nash sono ora stretti (non esiste alcuna deviazione profittevole nè indifferente). Questo gioco, detto battaglia dei sessi, fa parte della categoria dei giochi di coordinamento: i due giocatori hanno scopi analoghi, ma possono trovarsi in equilibri non Pareto ottimi se non hanno possibilità di comunicare. 2

3 (d) Consideriamo ancora il gioco del punto (c), ma assumiamo che ora il marito faccia scegliere alla moglie per prima, e poi faccia la sua scelta di conseguenza. Rappresentare il gioco in forma estesa e trovare gli eventuali equilibri di Nash. (1,2) (0,0) (0,0) (2,1) Ragionando per backward induction, la moglie sa che se sceglierà di andare all opera, il marito andrà all opera, e se lei sceglierà di andare a vedere la boxe, lo stesso farà il marito. La moglie può quindi considerare il gioco ridotto (in cui sono eliminate le strategie che il marito non seguirà mai): (1,2) (2,1) tal punto, è chiaro che sceglierà, che le dà un payoff di 2, invece che, che le dà un payoff di 1. (,) è quindi l unico equilibrio di Nash del gioco sequenziale. 3. Supponete di essere nella vostra macchina nel parcheggio della vostra università e di star aspettando che si liberi un posto per parcheggiarvi. Qualcuno sta uscendo, ma contemporaneamente un autista vi supera, con il chiaro intento di parcheggiare prima di voi nell unico posto che si sta liberando. Supponete che questo autista sia disposto a pagare fino a 10 euro per occupare quel posto e 30 euro per evitare di discutere con voi. llo stesso tempo, l altro autista suppone che anche voi siate disposti a pagare 10 euro per occupare quel posto e 30 euro per evitare di discutere. In altri termini: entrambi otterreste un beneficio di 10 euro dall aver parcheggiato e subireste una perdita di 30 euro da un eventuale discussione. (a) Rappresentate questa situazione con un gioco in forma estesa a due stadi: la mossa iniziale dell altro autista consiste nel lasciarvi il posto () oppure tentare di rubarvelo (F); le vostre strategie sono invece 3

4 protestare (f) o non protestare (a). Le regole del gioco prevedono che se voi protestate, l altro autista vi deve lasciare il posto. I (10,0) F a (0,10) II f (-20,-30) (b) Qual è il risultato di equilibrio? Ragionando per backward induction, se partite dal vostro turno (giocatore II): se decidete di non protestare ottenete un payoff nullo (non ottenete un beneficio di 10 euro dall aver parcheggiato, ma non subite nemmeno la perdita di 30 euro legata al fastidio della discussione); al contrario, la protesta per voi è un fastidio che pagate a caro prezzo. La vostra scelta sarà quindi di non protestare. L altro guidatore (giocatore I) sa che se decide di tentare di rubarvi il posto, voi sceglierete di non protestare. Il suo payoff in questa situazione è di 10 euro. Se invece vi lasciasse il posto, non dovrebbe discutere con voi, ma sarebbe comunque costretto a cercarsi un altro posto. Il suo payoff in questa situazione è nullo. L altro autista, quindi, alla luce della vostra scelta, deciderà di tentare di rubarvi il posto. La condizione di equilibrio si verifica quindi quando il giocatore I vi ruba il posto e voi decidete di non protestare. (c) Quale sarebbe per voi il vantaggio di convincere l altro autista che non protestare avrebbe per voi un costo psicologico significativo? Supponete, ad esempio, di far credere all altro guidatore che subite un costo psicologico di 30 euro non solo in caso di disputa, ma anche se non protestate contro il suo comportamento ingiusto. In questo caso, il gioco diventerà: I (10,0) F a (-30,10) II f (-20,-30) 4

5 questo punto, per voi diverrà più conveniente discutere piuttosto che accettare passivamente il furto di parcheggio (infatti 20 > 30). Se quindi riusciste ad indurre l altro autista a credere che ci sia un tale costo psicologico legato alla non-protesta, lui sceglierà di lasciarvi il parcheggio. In questa situazione, infatti, l altro guidatore non avrà niente da guadagnare nel cercare di prendere il vostro parcheggio, poichè se vi lascia il posto ottiene un beneficio nullo ma se intraprende la disputa finisce con il perdere il parcheggio e pagare il prezzo della discussione. 5