Chain store paradox. Kreps and Wilson

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1 Chain store paradox Kreps and Wilson

2 Ripartiamo dal Selten paradox 0<b<1 a>1 Entrante monopolista Entrare Non entrare Qua ho 2 Nash equilibri: Uno è (E,A) => SGP Uno (D,F) => No SGP A F 0 a b 0 b N

3 È un paradosso? Se vado a ritroso ho sempre entrata più acquiesce. Vediamo cosa succede se modifichiamo i pay off

4 Selten modoficato 0<b<1 a>1 Entrant monopolista E Don t Supponiamo che ci sia anche solo una piccola probabilità che il monopolista preferisca Fight A F 0 a b -1 b N

5 Selten modificato Natura Weak 1-δ strong δ N+1 giocatori G giocato dal monopolista contro ogni entrante Pay off somma dei pay off in ogni gioco Devo trovare una behavior Strategy che mi dica cosa fare in ogni punto del gioco (tenuto conto che ho delle probabilità)

6 Equilibrio sequenziale a) Ogni volta che un giocatore gioca deve tener conto delle probabilità che ha di trovarsi nel nodo stesso b) Quando si può si applica bayes c) Dato ogni information set le strategie utilizzate sono ottime => date le probabilità che si basano sulle mosse passate del rivale e della natura Esiste una piccola probabilità che il monopolista sia strong

7 Kreps e Wilson N periodi o N giochi 1 monopoista e 1 entrante per gioco N+1 giocatori

8 Per avere un equilibrio (sequenziale) devo 1. Strategia per l incumbent /monopolista 2. Strategia per chi entra 3. Belief dell entrante (incumbent sa di che tipo è mentre l entrante ha solo un idea che si esplicita in una probabilità P n (h n )

9 Nominiamo i periodi a ritroso N N A priori p N =δ È random ed eogena δ cresce nel tempo: più l incumbent combatte più δ cresce. Se l entrante non entra e quindi l incumbent non combatte, δ non cresce p n = p n+1 se l entrante entra e l incumbent non combatte la probabilità che sia strong crolla a zero e non si può più riprendere p n+1 = 0

10 Costruiamo i belief Regola: se c è entrata e p n+1 > 0 a. p n = max(b n, p n+1 ) b. p n = 0 Se combatto la probabilità del monopolista di essere considerato Strong non cala

11 Strategia del monopolista a. Se è taugh conviene sempre combattere b. Se è Weak Se N=1 ovviamente non combatte n combatte Se N>1 e p n b Se N>1 e p n < b n 1 conbatte con probabilità 1 b n 1) p n (1 p n )b n 1

12 Prob. fight 1 b n 1 p n

13 Cosa succede ai belief? Prob. fight δ Combatto sempre b n Sul percorso di equilibrio cambiano le cose. Nella prima fase se combatto non cambiano tanto perché so che i profitti che ho se non c è entrata saranno per molti periodi. Se invece combatto alla fine chi deve entrare crederà sempre di più che io sia strong N 2 1 Combatto con probabilità.. Qua ho i vantaggi dal combattere calano con l avvicinarsi della fine

14 Strategia di equilibrio per l entrante p n > b n non entro p n = b n entro con prob 1 1 a p n < b n entro p n > b n non succede niente. Le cose diventano interessanti verso la fine del gioco Vediamo se questo è un sequential equlibrium: a. I beliefs rispettano la Bayes law quando è possibile b. La strategia è una risposta ottima

15 a. p n1 = prob I am strong I fight = = prob fight I strong Prob (strong) prob fight I strong prob (strong+prob fight I weak prob (weak) = 1 p n = b n 1 1 p n + (1 bn 1 )pn 1 pn b n 1 p n 1 = b n 1 => p n = b n Questo deve valere per rispettare Bayes law Abbiamo scritto p n = max(b n, p n+1 ) per coprire il caso in cui p n+1 = p n = δ > b n dove la probabilità di fight è = 1

16 b. Ottimalità strategia dell entrante È indifferente se entrare on o se prob fight =b perché b(1-b) + (b-1)b=0 Se p n > b n n sta fuori se p n < b n n entra Se p n = b n entra con probabilità 1-1 a (è la strategia che è costruita così)

17 Il percorso è definito da prob(strong)=b n Prob (fight)= P(strong) 1 + P(weak) (fight Iweak) =p n + (1 p n ) 1 bn 1 p n (1 p n )b n 1 Fissiamo p n = b n (deve essere vera per soddisfare i beliefs). Voglio vedere che cosa succede lungo il percorso di equilibrio nel tratto sopra δ Prob (fight) = b n + (1 bn ) 1 b n 1 b n (1 b n )b n 1 =b

18 Strategia del weak monopolist Ultimo periodo non combattere Se ho mantenuto la reputazione fino a quel punto, Pay off =1 perché p n = b n =b n = 1 => Probabilità entrata(1-1 a ) Il monopolista non combatte: 0(1-1 a ) + a(1 a ) = 1 Vediamo cosa succede nello stage 2 (penultimo)

19 Stage 2 Vediamo quando il monopolista è indifferente tra combattere e non farlo Se perde la reputazione nell ultimo periodo il suo pay off atteso è 0. Se mantiene la reputazione sa che il pay off atteso sarà 1 => se combatte oggi prende -1 e 1 domani. Se non combatte oggi prende 0 oggi e 0 domani Se in 2 non fronteggia entrata ottiene «a» ma poi nell ultimo periodo p n = p 1 diventa p 2 = b 2 ed essendo b 2 < b 1 l entrata sarà sicura I pay off saranno quindi 1 1 a a a + 0 = 1