Teoria dei Giochi. Anna Torre

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1 Teoria dei Giochi Anna Torre Almo Collegio Borromeo 17 marzo sito web del corso:www-dimat.unipv.it/atorre/borromeo2015.html

2 SOMMA ZERO Un gioco non cooperativo a due giocatori si dice a somma zero se per ogni risultato del gioco la somma della utilità del primo e del secondo giocatore è 0, cioè f (x, y) + g(x, y) = 0 per ogni x X e per ogni y Y. In questo caso g(x, y) = f (x, y) e dunque è sufficiente una funzione di utilità a determinare il gioco.

3 UTILITÀ Siamo in un contesto in cui le utilità sono in qualche modo comparabili. In generale nel caso di somma zero si usa chiamare le utilità dei giocatori. PAYOFF

4 Gioco non cooperativo a due persone, finito e a somma zero in forma strategica. I/II t 1 t 2 t 3 s s s

5 ELIMINAZIONE ITERATA DI STRATEGIE DOMINATE Se usiamo il metodo cosidetto della eliminazione iterata di strategie strettamente dominate. Il risultato è che II paga 3 a I. Chiaramente l esempio che ho fatto è stato scelto ad hoc affinchè tutto funzioni e alla fine si trovi un unica uscita sensata per il gioco.

6 ESEMPIO Consideriamo la seguente matrice: I/II L R T 4, 1 B 3, 2 Ragionamenti del giocatore I: se II gioca L a me conviene giocare T, se io gioco T a II conviene giocare R, se II gioca R a me conviene giocare B, se io gioco B a II conviene giocare R, se II gioca R a me conviene giocare B. (B, R) è un equilibrio.

7 ESEMPIO I/II L R min T B max dei min =2 max 4, 2 min dei max=2 Abbiamo che il min dei max sulle colonne è uguale al max dei min sulle righe! È un caso? No, se abbiamo un equilibrio in un gioco a somma zero, le strategie componenti sono di maxmin=minmax.

8 ANCHE QUI NON SEMPRE FUNZIONA Cosa accade quando non è così? I/II t 1 t 2 t 3 s s s ho cambiato solo qualche numero. Ancora come prima il primo giocatore elimina la seconda riga e di conseguenza il secondo elimina la prima colonna. Ma a questo punto si ottiene: I/II t 2 t 3 s s e si crea un circolo vizioso.

9 PARI O DISPARI In generale non è vero che maxmin=minmax: classico esempio (pari o dispari) Qui minmax = 1 e maxmin = 1 I/II L R T -1 1 B 1-1

10 MAXMIN E MINMAX Rivediamo da questo punto di vista il primo gioco: I/II t 1 t 2 t 3 s s s Quando il minmax coincide con il maxmin la soluzione che troviamo è ragionevole. Purtroppo però in generale il minmax non coincide con il maxmin.

11 QUI NON FUNZIONA Vediamo un altro esempio in cui non c è uguaglianza tra il maxmin e il minmax: I/II t 1 t 2 t 3 s s s In questo caso il maxmin è 0 e il minmax è 2, : il primo giocatore può procurarsi da solo 0 mentre il secondo è disposto a pagare 2. La strategia di maxmin è s 1 mentre la strategia di minmax è t 3. Ma 2 è un risultato sensato?

12 NASH? Cosa é un equilibrio di Nash per un gioco a somma zero? f ( x, ȳ) f (x, ȳ) per ogni x X g( x, ȳ) g( x, y) per ogni y Y cioè f ( x, ȳ) f ( x, y) per ogni y Y e quindi f (x, ȳ) f ( x, ȳ) f ( x, y) per ogni x X e per ogni y Y Ciò significa che ( x, ȳ) è un punto di sella per la funzione f (x, y).

13 STRATEGIE MISTE Consideriamo il solito esempio del pari o dispari: I/II t 1 t 2 s s In questo gioco chiaramente il maxmin è 1 mentre il minmax è 1. Quindi non c è equilibrio.

14 STRATEGIE MISTE Allora chiamiamo insieme delle strategie miste per il giocatore I l insieme di tutte le distribuzioni di probabilità sull insieme delle strategie (pure) che in questo caso si traduce nella scelta di un numero p 0 p 1. Un giocatore che ha una funzione di utilità che valuta in questo modo una strategia mista si dice che è un giocatore secondo le ipotesi di Von Neumann e Morgenstern Il secondo giocatore analogamente sceglie un numero q 0 q 1.Se il giocatore I gioca la prima strategia con una certa probabilità p (la seconda verrà ovviamente giocata con probabilità 1 p) e lo stesso fa il secondo giocatore (la prima strategia con probabilità q e la seconda con probabilità 1 q) ci sarà un payoff atteso.

15 STRATEGIE MISTE q 1 q I/II L R p T pq p(1 q) Calcoliamo il payoff atteso, 1 p B (1 p)q (1 p)(1 q) che nel nostro caso per il primo giocatore è: f (p, q) = pq 1+p(1 q) +q(1 p) (1 p)(1 q) 1 = (2p 1)(2q 1) Naturalmente il payoff atteso del secondo è il suo opposto. Il calcolo è stato fatto supponendo che p e q siano due variabili indipendenti, cioè (come è coerente con l idea non cooperativa) che i due scelgano indipendentemente l uno dall altro.

16 STRATEGIE MISTE q 1 q I/II L R p T -1, 1 1 p B 1, -1

17 Calcoliamo il maxmin: f (p, q) = 4pq + 2p + 2q 1 min q f (p, q) = min q ( 4p + 2)q + 2p 1 = 0 se p 1 2 e il min e 2p 1 1 se p 1 2 e il min e 2p + 1 (1) ogni q se p = 1 2 e il min e 0 max p min q f (p, q) = 0 e si ottiene per p = 1 2 e per ogni q

18 Calcoliamo il minmax: f (p, q) = 4pq + 2p + 2q 1 max p f (p, q) = max p ( 4q + 2)p + 2q 1 = 1 se q 1 2 e il max e 2q se q 1 2 e il max e 2q 1 (2) ogni p se q = 1 2 e il max e 0 min q max p f (p, q) = 0 e si ottiene per q = 1 2 e per ogni p Allora il maxmin è uguale al minmax quando p = q = 1 2 e vale 0

19 DEFINIZIONI Per chi conosce un po di linguaggio formale scrivo le definizioni precise: Si chiama strategia mista per un giocatore una distribuzione di probabilità sull insieme delle sue strategie (pure). Indichiamo con X l insieme delle strategie miste del giocatore I e con Y l insieme delle strategie miste del giocatore II. Dato un gioco G a due giocatori a somma zero in forma normale con matrice A è detta vincita attesa se il giocatore I gioca la strategia mista x e il giocatore II gioca la strategia mista y la quantità: A(x, y) = i=1,...,n j=1,...,m x ia ij y j = t xay

20 TEOREMA DI VON NEUMANN Teorema del minmax (von Neumann, 1928) Ogni gioco finito a somma zero e a due giocatori in strategie miste soddisfa la proprietà che maxmin = minmax. I valori delle distribuzioni di probabilità che realizzano il maxmin = minmax non sono necessariamente unici, ma se ( p, q) e (p, q ) realizzano il maxmin = minmax allora f ( p, q) = f (p, q ) = f ( p, q ) = f (p, q) e inoltre f (p, q) f ( p, q) f ( p, q) per ogni altra coppia di distribuzioni di probabilità p e q.

21 max min se il gioco non è a somma zero maxmin e minmax cosa vogliono dire nel caso non a somma zero? I II C D A (1, 0) (1, 0) B (5, 5) (0, -1) PARANOIA

22 E IN QUESTO CASO? I II x y z A (40, 40) (60, 10) (10, 40) B (10, 60) (10, 10) (60, 40) C (40, 10) (40,60) (40, 40)