ESERCITAZIONI DI MICROECONOMIA I - Zago I. CONSUMO

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1 ESERCITAZIONI DI MICROECONOMIA I - Zago I. CONSUMO 1. Si considerino le seguenti preferenze: u(p, f, s) = 6 ln(p) + 3 ln(f) + ln(s). Calcolare la scelta ottima quando p p = 1, ; p f = 3; p s = 4; m = 0. [Soluzione: p = 10; s = 1/; f =.]. Si considerino le seguenti preferenze: u(x 1, x ) = x 1/ 1 x 1/3. a) Trovare la funzione di domanda. [x 1 = 3y 5p 1 ; x = y 5p ] Usare il metodo semplice, quello di Lagrange e di sostituzione del vincolo. b) Calcolare la scelta ottima quando p 1 = 9, p = 6, y = 300. [x 1 = x = 0.] c) Di che tipo di beni si tratta, in relazione alla variazione del reddito e del proprio prezzo? [Curva di Engel: y = 15x i ; beni normali e ordinari.] 3. Si considerino le seguenti preferenze: u(x 1, x ) = (x 1 6)(x 1). a) Trovare la funzione di domanda. [x 1 = m+6p1 1p p 1 ; x = m 6p1+1p p.] b) Calcolare la scelta ottima quando p 1 = 16, p = 8, y = 400. [x 1 = 1, 5; x = 5.] c) Calcolare l elasticità della domanda al proprio prezzo e al reddito e l elasticità incrociata. [ɛ x1,p 1 = ɛ x,p = 0, 76 ; ɛ x1,m = ɛ x,m = 1; ɛ x1,p = ɛ x,p 1 = 0, 4.] d) Di che tipo di beni si tratta? 4. La funzione di domanda del succo di pomodoro è data da p = 100 q. a) Calcolare il ricavo quando p = 30. [R =.100.] b) Calcolare l elasticità della domanda in quel punto. c) Dato il prezzo e la quantità del punto a), conviene aumentare o ridurre la produzione? E perché? d) Qual è il prezzo che massimizza i ricavi? [p = 50.] 5. La funzione di domanda del bene è x = p x. a) Calcolare il surplus del consumatore (CS) quando p x = 4. [CS = 500.] b) Di quanto varia il CS quando il prezzo diminuisce a p x =? [ CS = ] II. PRODUZIONE 1. Calcolare i rendimenti di scala delle seguenti tecnologie: a) f(x, y) = 0, xy. b) f(x, y) = x + 7y. c) f(x, y) = x a y b. 1

2 . Il sig. Mario Rossi è il proprietario di una affermata pizzeria nel centro di Pizzaland. Ha un bel locale con diverse stanze e può disporre di 7 Tavoli, che possono essere considerati fissi nel breve periodo e che costano 1 euro l uno nel periodo di riferimento. Per produrre le pizze, che costano al pubblico 10 euro l una, utilizza manodopera locale con un costo pari a 5 euro per unità. La tecnologia è del tipo f(l, T ) = L 1/ T 1/3. a) Calcolare quanto lavoro impiega, quante pizze produce e quali profitti consegue il sig. Rossi nel breve periodo? [L = 9; Y = 9; π = 18.] b) Cosa succede ai valori trovati nel punto a) se il Comune di Pizzaland decide di tassare i profitti del 50%? [L = 9; Y = 9; π = 9.] c) Cosa succede invece se il Comune di Pizzaland per calmierare i prezzi decide di imporre un prezzo massimo di vendita delle pizze pari a 8 euro? [L = 5, 76; Y = 7, ; π = 1.8.] d) Riferito al punto c) precedente, una diminuzione del prezzo delle pizze del 0% porta ad un (aumento/diminuzione?) dei profitti del... %? [90%.] e) Quale soluzione preferisce il sig. Rossi, la tassa sui profitti del punto b) oppure il controllo dei prezzi delle pizze del punto c)? Perché? 3. La tecnologia utilizzata dall impresa è descritta dalla funzione di produzione seguente: Y = F (L, K) = L a K b, con a = b = 1/. Si assuma che p L = 30 e p K = 15 siano i prezzi dei fattori lavoro e capitale, rispettivamente. Si supponga poi che p Y sia il prezzo dell output prodotto. Infine, nel breve periodo, si supponga che la dotazione di capitale sia fissa, con K = 36. Si risponda alle seguenti domande: a) La funzione di produzione presenta rendimenti di scala crescenti, decrescenti o costanti? b) Si calcoli l espressione delle curve di costo totale, medio e marginale di breve periodo. [T C S (Y ) = (5/6)Y ; AC S (Y ) = (540/Y ) + (5/6)Y ; MC S (Y ) = (5/3)Y.] c) Quale sarà la domanda di lavoro in equilibrio? [L = ( p Y 10 ).] d) Quale sarà la combinazione ottimale dei due fattori produttivi nel lungo periodo, se ipotizziamo che l impresa intenda sostenere costi totali pari a C = 1500? [L = 5; K = 50.] e) Quale sarà invece la combinazione ottimale degli input produttivi ipotizzando che la quantità da produrre sia data da Y = ? [L = ; K = ] f) Assumiamo ora che la quantità del fattore capitale disponibile sia pari a K = 30. Quale sarà l impiego del fattore lavoro, supponendo che l impresa intenda produrre la stessa quantità di output considerata nel punto precedente? [L = ] g) Si determinino, infine, le espressioni delle curve di costo totale, medio e marginale di lungo periodo. [T C L (Y ) = 30Y ; AC L (Y ) = 30 ; MC L (Y ) = 60/.] 4. Un impresa utilizza la tecnologia data dalla funzione di produzione Y = F (L, K) = L a K b, con a = /3; b = 1/3. Siano p L = 0; p K = 10 i prezzi

3 dei fattori lavoro e capitale, rispettivamente, e C = 3000 il costo totale che l impresa è determinata a sostenere. a) Si calcoli la combinazione ottimale dei due input impiegati per C = [L = K = 100.] b) Quali saranno le espressioni delle curve di costo totale, di costo medio e di costo marginale di lungo periodo? [L = K = Y/; T C L (Y ) = 15Y ; AC L (Y ) = 15; MC L (Y ) = 15.] c) Ipotizziamo ora che nel breve periodo il capitale sia un fattore fisso. Si determinino allora le funzioni di costo totale, di costo medio e di costo marginale di breve periodo quando K = 1, 5. [L = Y 3/ /10; T C S (Y ) = 15 + Y 3/ ; AC S (Y ) = (15/Y ) + Y ; MC S (Y ) = 3 Y.] 5. Un impresa produce facce di bronzo, utilizzando rame (x 1 ) e stagno (x ), con la tecnologia f(x 1, x ) = min{x 1, x }. a) Si disegnino alcuni isoquanti di produzione. b) Per produrre 10 facce di bronzo, di quanto rame e di quanto stagno avrà bisogno l impresa? [x 1 = 10; x = 5.] c) Se i prezzi dei fattori di produzione sono (w 1 = 1, w = 1), quale sarà la combinazione di fattori più economica per produrre le 10 facce di bronzo? E quale sarà il costo sostenuto dall impresa? [(10; 5); c(1, 1, 10) = 15.] d) Se i prezzi dei fattori di produzione sono invece (w 1, w ), quale sarà la combinazione di fattori più economica per produrre 10 facce di bronzo? [c(w 1, w, 10) = 10w 1 + 5w.] e) Infine, se i prezzi dei fattori di produzione sono ancora (w 1, w ), quale sarà la combinazione di fattori più economica per produrre invece y facce di bronzo? [(w 1 + w /)y.] 6. La funzione di costo di lungo periodo è C(y) = y a) Calcolare la funzione di offerta di lungo periodo. [y = p/4, con y > 10.] b) Calcolare la quantità offerta. [y = p/4.] c) Cosa succede se p < 40? Per esempio, calcolare produzione e profitti con p = 0. (Spunto: L offerta di lungo periodo è il tratto...). [y = 5; π = 150.] III. EQUILIBRIO DI MERCATO 1. A Verona il mercato dei quotidiani locali può essere rappresentato attraverso le seguenti funzioni di domanda e di offerta: Q D = 90 3P ; Q S = 70 + P. a) Si determini l equilibrio di mercato. [P = 4; Q = 78.] b) Si calcoli l elasticità della domanda e dell offerta rispetto al prezzo nel punto di equilibrio.[η d = 1/78; η s = 8/78] c) Gli editori e gli enti locali stringono un accordo finalizzato a stimolare la lettura dei quotidiani locali tra i giovani e perseguono questo obiettivo 3

4 realizzando una campagna di sensibilizzazione presso tutte le scuole superiori della città. Nel tempo, un effetto molto chiaro di questa operazione è identificabile in un mutamento nella funzione di domanda di quotidiani locali, che passa da Q D = 100 3P. Calcolare la quantità, il prezzo e l elasticità della domanda e dell offerta in corrispondenza del nuovo punto di equilibrio.[p = 6; Q = 8; η d = 9/41; η s = 6/41.] d) Si fornisca, infine, una rappresentazione grafica dell intero problema (considerando quindi entrambi i punti di equilibrio) e si determini l intervallo di prezzo in cui domanda e offerta risultano economicamente significative.. Consideriamo il mercato della pasta di grano duro, nel quale ipotizziamo siano presenti 90 imprese che operano in condizioni di concorrenza perfetta. Ognuna di esse è caratterizzata da una funzione di costo totale avente la forma seguente: C(q) = 1, 5q + 8q. a) Si calcoli la funzione di costo marginale per la singola impresa. [MC(q) = 3q + 8.] b) Si determini l espressione della funzione di offerta della singola impresa. [q1 S (p) = (1/3)p (8/3).] c) Qual è la funzione di offerta di mercato? [Q S (p) = 30p 40.] d) Quali saranno il prezzo e la quantità totale prodotta in equilibrio se si ipotizza che la domanda di mercato sia data da Q = P? Si determini inoltre il surplus dei consumatori. [p = 3; Q = 70; CS = ] e) Quale sarà, invece, l equilibrio di mercato nel caso in cui tutte le 90 imprese beneficino di un sussidio da parte dell Unione Europea pari a 8 euro per ogni unità di bene prodotta? [p = 8, 57; Q = 857, 1.] f) Calcolare il nuovo surplus dei consumatori a seguito dell introduzione del sussidio. [CS = 9.183, 8.] 3. Si consideri un mercato in concorrenza perfetta con 10 imprese la cui funzione di costo è C(y) = y + 1. Data la funzione di domanda D(p) = 1 p, si calcolino prezzo e quantità di equilibrio. [p = ; y = 10.] IV. MONOPOLIO, TEORIA DEI GIOCHI, OLIGOPOLIO 1. Sia P = 10 y la curva di domanda per la società Telecom Italia, la quale presenta dei costi fissi pari a 0 (F C = 0) e dei costi marginali pari a 1 (MC = 1). a) Si determinino la quantità ed il prezzo di mercato e si spieghi perché tali valori sono socialmente inefficienti. Si determini poi il profitto del monopolista. [y M = 9/; p M = 11/; π = 81/4.] b) Si rappresenti graficamente l inefficienza. c) Si dica come può l antitrust massimizzare l efficienza sociale e quali sarebbero i valori di p e Π. 4

5 d) Si supponga che ci siano anche dei costi fissi (cioè F C > 0): come cambiano, se cambiano, le conclusioni del punto precedente? Perché? Cosa farebbe l impresa nei confronti dell Antitrust? Invece di determinare il prezzo di equilibrio, cosa può fare l Antitrust?. Siano CF = 400; CV = y / y; P (y) = y + 186, le funzioni di costo fisso, costo variabile e di domanda di un monopolista. a) Se non ci sono vincoli per il monopolista, qual è la coppia ottimale p M, y M? [y M = 80; p M = 106.] b) Se venisse invece applicata una tassa forfettaria di euro, quale sarebbe l impatto sulle scelte ottimali? c) Se venisse tassata la produzione per 11 euro l unità venduta, quale sarebbe l impatto? [y = 75; p = 111.] d) E se venisse posta una tassa del 30% sul giro d affari? [y = 75, 15; p = 110, 875.] e) Invece, con una tassa del 50% sugli utili? [π = 50% ] f) Infine, cosa succederebbe se il Governo imponesse un prezzo di 90 euro? [y = 96; π = ] 3. Ford (F ) e General Motors (GM) si contendono il mercato automobilistico neozelandese. GM opera già in questo mercato, F deve invece decidere se entrare o meno. GM ha due possibilità: 1. consentire l entrata di Ford, mantenendo alti i prezzi (e quindi basse le quantità);. non consentire l entrata di Ford, abbassando i prezzi e occupando l intero mercato. Quindi i payoff sono i seguenti. i. Se Ford entra e GM mette un prezzo alto, otterranno rispettivamete (6; 6) per Ford e GM. ii. Se Ford entra e GM mette un prezzo basso, otterranno rispettivamete (-; 5). iii. Se Ford NON entra e GM mette un prezzo alto, otterranno rispettivamete (0; 8). iv. Se Ford NON entra e GM mette un prezzo basso, otterranno rispettivamete (0; 1). a) Dopo aver rappresentato il gioco statico in forma normale, se ne determini e descriva l equilibrio. [ equilibri.] b) Si determini e descriva l equilibrio quando a Ford è concesso invece il vantaggio della prima mossa. In questo caso, si rappresenti il gioco in forma estesa. [Entrata, prezzo alto.] 4. In un duopolio à la Bertrand, P = 0.5Y e C 1 (y 1 ) = 10y , C (y ) = 0y + 1. a) Sapendo che il prezzo è > 0, determinare il prezzo di mercato e la produzione delle due imprese. [p = 0; y 1 = 160.] b) Cosa succede se la domanda diventa P = 0.5Y +50? [y 1 = 0; y > 0...] 5. Viene proposto un referendum per decidere l orario di apertura dei negozi, cioè il numero di ore di apertura. Al momento ci sono negozi che si 5

6 fanno concorrenza, con orario t i, i = 1,. C(t i ) = t i, è il costo di apertura, mentre la domanda è P = 8 t, con t = t 1 + t. a) Se vince il SI, vengono liberalizzati gli orari; quale sarebbe l equilibrio di Cournot? [t 1 = t = 9; p = 10; π i = 81; CS = 16.] b) Se vince il NO, l orario massimo di apertura è di 8 ore: t = 8. Cosa succederebbe al prezzo, al profitto e al surplus dei consumatori? [t 1 = t = 8; p = 1; π i = 88; CS = 18.] c) Se il t venisse fissato per legge al livello che massimizza il surplus dei consumatori, quali sarebbero i livelli di t e CS? Il Governo dovrebbe ampliare o restringere l orario di apertura? [t 1 = t = 13, 5; CS = 364, 5 : ampliare.] 6. In un duopolio, l impresa L è leader, ha una funzione di costo pari a C(y L ) = y L e si aspetta che l impresa F, la follower, produca y F = 4 y L. La domanda di mercato è invece p = 10 Y, con Y = y L + y F. Calcolare quantità e prezzo di equilibrio. [yl = ; y F = 1; p = 4.] 7. In provincia di Verona c è un unico studio commercialista (chiamiamolo M). La domanda di mercato per i servizi di consulenza tributaria è P (q) = 100 y, mentre la tecnologia è tale per cui il costo marginale di produzione è M C = 0. Il dott. Mario Trevalli (indichiamolo con E) ha da poco conseguito l abilitazione per l esercizio della professione e sta valutando se esercitarla o meno in provincia di Verona: egli sa che se dovesse decidere di entrare avrebbe la possibilità di competere à la Cournot con lo studio esistente utilizzando la stessa tecnologia. Sa inoltre che lo studio M potrebbe abbassare i prezzi se egli decidesse di entrare. In questo ultimo caso i payoffs sarebbero rispettivamente pari a π M = 500 e π E = 50. Se il dott. Trevalli non esercitasse otterrebbe invece un payoff pari a 0. a) Determinare l equilibrio del gioco sequenziale. Il dott. Trevalli sceglie di esercitare la professione in provincia di Verona? Dato l equilibrio che emerge, quali payoffs avrebbero lo studio esistente ed il dott. Trevalli? [NON esercita: π M = 800; π E = 0.] In un diverso momento il dott. Trevalli viene a sapere che l Autorità per la Concorrenza sul Mercato intende garantire un libero accesso al mercato delle professioni e quindi controllerà l operato degli studi esistenti. In questa situazione, lo studio esistente in provincia di Verona avrebbe maggiori difficoltà ad attuare delle politiche di abbassamento dei prezzi in seguito all entrata del dott. Trevalli. Se quest ultimo decidesse di entrare i payoffs sarebbero rispettivamente pari a π M = 300 = π E. b) Determinare l equilibrio del gioco in questo caso. Dato l equilibrio che emerge, quali payoffs avrebbero lo studio esistente ed il dott. Trevalli? [Esercita: π M = π E = 356.] 8. Consideriamo un mercato in cui operano due imprese che vendono prodotti simili e hanno la stessa funzione di costo totale C(q) = 10q. La funzione di domanda del mercato è Q = 40 p. Si determinino il prezzo, la quantità, 6

7 i profitti di equilibrio ed il livello di benessere economico complessivo nel caso in cui: a) le imprese competono alla Cournot; [q C 1 = q C = 10; p C = 0.] b) le imprese competono alla Bertrand; [Q B = 30; p B = 10.] c) le imprese colludono perfettamenente; [Q M = 15; P M = 5.] d) le imprese competono alla Stackelberg. [q S 1 = 15; q S = 7, 5; p S = 17, 5.] e) Quale soluzione dovrebbe preferire un regolatore che i) massimizzi il benessere economico complessivo, ii) massimizzi la rendita del consumatore. 7