5 giugno La funzione di reazione dell impresa 2 si costruisce considerando la sua condizione di massimizzazione del profitto:

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1 ESERCITAZIONE 9 5 giugno PREMESSA. Oligopolio: problema di interazione strategica tra un numero limitato di imprese (negli esercizi si considererà il duopolio, ossia il caso di due imprese). Le imprese possono: a) competere b) colludere Le variabili fondamentali sono quattro: il prezzo e la quantità praticati da ciascuna delle due imprese. Competizione gioco sequenziale: impresa leader e impresa follower. Quando agisce, il follower già conosce le scelte del leader. La leadership può essere di quantità (Stackelberg) o di prezzo; gioco simultaneo: le imprese giocano nello stesso momento. Dunque, quando agisce ciascuna impresa non conosce le scelte dell altra impresa. La scelta di ciascuna impresa può essere riferita alla quantità (Cournot) o al prezzo (Bertrand). Collusione (cartello). Si tratta di un gioco cooperativo. Le due imprese si accordano cioè per stabilire congiuntamente il prezzo, così da massimizzare il profitto totale (che è poi spartito). Le due imprese formano dunque un cartello comportandosi come se fossero un unico monopolista. Esercizio 1 Leadership di quantità (Stackelberg): il gioco è sequenziale, decide per primo il leader (impresa 1). L impresa 2 (follower) considera perciò come data q1, la quantità prodotta dall impresa 1 (leader). A sua volta, il leader si aspetta che il follower massimizzi il proprio profitto, date le scelte del leader: il leader deve allora considerare il problema di massimizzazione del profitto del follower. Ciascuna impresa sa inoltre che il prezzo di equilibrio p( ) nel mercato dipende dall output totale, La funzione di reazione dell impresa 2 si costruisce considerando la sua condizione di massimizzazione del profitto: Ricavi totali: si utilizza la definizione TR p q poi si sostituisce il prezzo ] ] 1000

2 Ponendo 100 Da cui la funzione di reazione dell impresa 2 (ossia, reazione del follower alla scelta del leader): L impresa 1 (leader) massimizza il profitto data la funzione di reazione del follower, 450 (ossia, il leader sa che le sue azioni influenzano le decisioni del follower). Ricavi totali: si utilizza la definizione TR p q si sostituisce il prezzo si sostituisce usando la funzione di reazione del follower. ] ] ] ] 550 Ponendo Sostituendo in : Sostituendo e nella funzione di domanda, si trova il prezzo di equilibrio: 300

3 E i profitti di ciascuna impresa: 1.3. Collusione (cartello): il gioco diventa cooperativo, cioè le due imprese si comportano come se fossero un unico monopolista. In generale, questo implica che se una delle due imprese ha un vantaggio in termini di costo, per cui la sua curva MC si trova sempre al di sotto di quella dell altra impresa, nell equilibrio di cartello essa produrrà necessariamente una quantità maggiore di output. Nel caso dell esercizio, i costi marginali di entrambe le imprese sono costanti: In questo caso particolare, nella soluzione di equilibrio di cartello alle due imprese converrà lasciare produrre tutto l output all impresa 1, che sostiene dei costi pari alla metà di quelli dell impresa 2. Esercizio 2 Leadership di prezzo: il leader stabilisce il prezzo p. Il follower considera questo prezzo p come dato e sceglie il livello di output che massimizza il suo profitto Esiste un analogia fra il follower e un impresa che opera in concorrenza perfetta, poiché in entrambi i casi il prezzo p è dato. Perciò, la massimizzazione del profitto (ricavi costi) per il follower: Analogamente all impresa concorrenziale, il follower sceglierà perciò un livello di output tale per cui il costo marginale MC2 sia uguale al prezzo: La funzione di offerta dell impresa 2 è S(p): cioè S(p):

4 2.2. L impresa leader sa che, fissando il prezzo p, l offerta del follower sarà S(p). Pertanto, l impresa 1 potrà offrire e vendere una quantità di output così definita (c.d. curva di domanda residuale del leader): domanda residuale domanda di mercato offerta del follower Ossia, La domanda di mercato è qtot 300 p, l offerta del follower è S(p): residuale per il leader è:. Sostituendo, la domanda 2.3. Massimizzazione del profitto per il leader: Cioè:

5 Si noti la differenza tra il follower per cui il prezzo è dato ( prezzo ( ). ) e il leader che invece sceglie il Attenzione al ricavo marginale: si tratta di quello associato alla domanda residuale del leader. Come visto, la domanda residuale del leader è (forma diretta): In forma inversa: Trattandosi di una funzione di domanda lineare, il ricavo marginale è immediatamente determinabile raddoppiando il coefficiente angolare: 150 Costo marginale: 30 Ponendo MR1 MC1: Risolvendo: 120 Dalla funzione di domanda residuale fronteggiata dal leader si ottiene il prezzo: Dalla funzione di offerta del follower si ricava q2: S: Allora, Ora si calcolano i profitti nell equilibrio: Π Π ½ (90)

6 Equilibrio: MR1 MC1 p MC Collusione (cartello): il gioco diventa cooperativo perché le due imprese si comportano come se fossero un unico monopolista e si accordano per massimizzare il profitto totale. Perciò, le due imprese devono scegliere i livelli di output,, che massimizzano il profitto totale dell industria: [ ] Risolvendo il problema di massimo: { Risolvendo,. Nota bene: le due imprese hanno funzioni di costo diverse. Nell equilibrio di cartello, deve essere MC1 MC2. Essendo: 30

7 Allora, a conferma del risultato ottenuto, 30. Dalla funzione di domanda, il prezzo del cartello: qtot 300 p p 300 qtot p ( ) Da notare che ora MC1 MC2 30 Concorrenza à la Bertrand: determinazione simultanea dei prezzi. L equilibrio à la Bertrand coincide con l equilibrio concorrenziale in cui il prezzo è uguale al costo marginale (p MC) ( 1 ). Essendo MC1 MC2 30, allora il prezzo di equilibrio sarà pure p 30. Dalla domanda di mercato si ricava poi la quantità totale di equilibrio: qtot 300 p Nella concorrenza à la Bertrand la produzione è perciò più elevata: Forma di oligopolio Produzione totale Leadership di prezzo 210 Cartello 135 Bertrand 270 Esercizio 3 Il modello di Cournot è un gioco in cui le imprese determinano simultaneamente il livello dell output. Ciascuna impresa sceglie la quantità che massimizza il suo profitto, date le aspettative circa la scelta dell output dell altra: nell equilibrio le aspettative si realizzano (ossia, nessuna delle due imprese ritiene profittevole variare l output, una volta che sia venuta a conoscenza della scelta dell altra impresa) Dal momento che le due imprese agiscono simultaneamente, la funzione di reazione esprime la scelta ottima di un impresa come funzione delle sue aspettative circa la scelta dell altra impresa (cfr. Esercitazione, 8: equilibri di Nash in strategie miste). Impresa 1, massimizzazione del profitto: si considera la differenza tra i ricavi ( ( ): ) e i costi Sostituendo il prezzo: 0 1 Si consideri, inizialmente, una situazione in cui entrambe le imprese vendono ad un prezzo,, superiore al MC 30. L impresa 1 avrebbe incentivo a ridurre di un piccolo ammontare ε il proprio prezzo, così da conquistare l intero mercato praticando il prezzo ε. A sua volta, anche l impresa 2 avrà incentivo a reagire e a ridurre il prezzo. La guerra al ribasso continua sino a che si raggiunge l equilibrio p MC 30 (il livello del prezzo al di sotto del quale nessuna impresa ha convenienza a produrre).

8 Perciò: Per rappresentare graficamente: Impresa 2: Sostituendo il prezzo: 0 Perciò: Graficamente, l equilibrio sarà determinabile come intersezione fra le due curve di reazione (equilibrio di Nash): 3.2. Se, l impresa 1 (in base alla propria funzione di reazione) produce: Se, l impresa 2 deciderà allora di produrre: Se, a sua volta l impresa 1 deciderà di produrre: gli aggiustamenti continueranno fino a che non è raggiunto il punto di equilibrio (di Nash), che è determinabile ponendo a sistema le due funzioni di reazione (punto di intersezione nel grafico): {

9 Risolvendo: { Nota bene: se le due imprese sono identiche, ciascuna in equilibrio produrrà la medesima quantità di output (40). Dalla funzione di domanda, il prezzo: 140 ( ) 60 E il profitto di ciascuna impresa: 3.3. Quota di mercato della singola impresa i: 40/80 50% 40/80 50% Elasticità riferita all intera domanda di mercato: è interpretabile come l elasticità della curva di domanda per la singola impresa: più piccola è la sua quota di mercato ( ), più è elastica la sua curva di domanda: ossia, più la dimensione dell impresa è trascurabile, più la sua domanda è elastica. In questo caso, le due imprese sono però identiche, perciò: 1,5 Nota bene: la curva di domanda di ogni singola impresa è più elastica (1,5) rispetto alla domanda dell intero mercato (0,75) Quando colludono (cioè formano un cartello), le imprese scelgono l output che massimizza il profitto totale dell industria e poi si dividono tra loro questo profitto. In altre parole, si comportano come se fossero un unico monopolista. Dunque, le imprese devono scegliere i livelli di output,, che massimizzano il profitto totale dell industria: Le due imprese sono identiche, perciò per velocizzare i calcoli si considera che

10 Perciò ( 2 ) Prezzo del cartello: Se in un cartello la singola impresa si aspetta che l altra mantenga invariata la propria produzione, essa sarà allora tentata di produrre unilateralmente una quantità maggiore per aumentare i propri profitti. Per capire se vi è incentivo a deviare dal cartello, bisogna verificare se prezzo e quantità di equilibrio di cartello (determinati in precedenza) massimizzano i profitti individuali oppure no. Occorre cioè considerare come i profitti della singola impresa variano nel caso in cui questa produca unilateralmente una quantità maggiore rispetto all equilibrio di cartello. Per la singola impresa i, questo incentivo a non rispettare il cartello si verifica quando: > 0 Cioè se: (ossia, i profitti della singola impresa aumentano all aumentare della quantità prodotta dalla stessa). Se invece la variazione è uguale a zero, il cartello rimane stabile. Per l impresa 1: 20 ] ] Si verifica che? Ricordando che nell equilibrio di cartello 30, allora: Poiché 50 e 20, allora > : l impresa 1 ha incentivo ad infrangere il cartello e a produrre di più. 2 Come si nota confrontando gli Esercizi 1, 2 e 3, il caso della collusione (cartello) richiede di ragionare sulle funzioni di costo: - se le imprese sono identiche allora si considera che queste si spartiranno il mercato producendo la medesima quantità; - se le imprese hanno funzioni di costo diverse, a produrre di più sarà l impresa con costi più bassi. Nell ipotesi più estrema (MC costanti), se > allora a produrre sarà solo l impresa 1.

11 Dal momento che l impresa 2 è identica all impresa 1, si applica lo stesso ragionamento: anche l impresa 2 avrà cioè incentivo a rompere l accordo deviando dal cartello, poiché sarà: 50 e 20, allora > 3.5. Modello di Cournot, tre imprese: ciascuna formula aspettative sulle scelte di output delle altre. Il ragionamento è comunque analogo a quanto visto nel 3.1. Per la singola impresa i si considera la differenza tra ricavi e costi per massimizzare il profitto: con i 1, 2, 3. Sostituendo il prezzo utilizzando la funzione di domanda: Ad es., per l impresa 1: 0 Considerando che il procedimento è lo stesso per le imprese 2 e 3, dovremmo mettere a sistema le tre funzioni di reazione: { Per risolvere più rapidamente (anziché risolvere un sistema a tre equazioni!) si può considerare che le tre imprese sono identiche, dunque si spartiranno il mercato in questo modo: ( 3 ). Si può allora usare un unica equazione: 0 Risolvendo, 30. Rispetto al caso di due imprese, quando ci sono tre imprese: la quantità prodotta da ciascuna rimane comunque 30 aumenta ovviamente la produzione totale, da 60 a 90 diminuisce di conseguenza il prezzo di mercato, da 80 a 50. Esercizio Dato, l impresa 2 considera: Ovviamente, questa scorciatoia è utilizzabile anche per risolvere il sistema a due equazioni di cui al 3.2.

12 Per massimizzare il profitto dell impresa 2: Ossia: ,5

13 Domanda per l impresa 2: rosso MR2: fucsia MC2: nero Equilibrio: punto blu Leadership di quantità: si comincia dalla funzione di reazione dell impresa 2 (cfr. Esercizio 1), che si costruisce considerando la condizione di massimizzazione del profitto: Essendo 20 ] L impresa 1 (leader) massimizza il profitto data la funzione di reazione del follower, 95.

14 [ ] ] ] [ )] 210 Ponendo Sostituendo in : ,5 Si noti che le due imprese sono identiche per struttura di costi. Tuttavia, il gioco è sequenziale e l impresa 1 è leader, dunque produce più dell impresa 2 (follower). Sostituendo e nella funzione di domanda, si trova il prezzo di equilibrio: 115 E i profitti di ciascuna impresa: Esercizio Leadership di quantità: si comincia dalla funzione di reazione dell impresa 2 (cfr. Esercizio 1), che si costruisce considerando la condizione di massimizzazione del profitto: ] L impresa 1 (leader) massimizza il profitto data la funzione di reazione del follower, 210.

15 ] ] Ponendo 180 Sostituendo in : Si noti che le due imprese sono identiche per struttura di costi. Tuttavia, il gioco è sequenziale e l impresa 1 è leader, dunque produce più dell impresa 2 (follower). Sostituendo e nella funzione di domanda, si trova il prezzo di equilibrio: ( ) 495/ Le imprese che formano un cartello massimizzano il profitto totale dell industria: 0 0 { { Nota bene: le due imprese sono identiche. Per capire se vi è incentivo a deviare dal cartello, bisogna verificare se prezzo e quantità di equilibrio di cartello (determinati in precedenza) massimizzano i profitti individuali oppure no. Occorre cioè considerare come i profitti della singola impresa variano nel caso in cui questa produca unilateralmente una quantità maggiore rispetto all equilibrio di cartello: > 0?

16 Cioè se: Per l impresa 1: 210 ½ Si verifica che? Ricordando che nell equilibrio di cartello 140, allora: 1/ ½ 210 1/ / Poiché 105 e 70, allora > : l impresa 1 ha incentivo ad infrangere il cartello e a produrre di più. Dal momento che l impresa 2 è identica all impresa 1, si applica lo stesso ragionamento.