Prima esercitazione

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1 C, M P E Prima esercitazione

2 Schema del corso Concetti base: oligopolio à la Cournot e Betrand; concentrazione. Estensioni dei concetti base: oligopolio à la Hotelling. Pubblicità. Collusione; fusioni. Innovazione (ricerca e sviluppo).

3 Derivate - 1 La derivata della funzione ax n rispetto a x, dove a indica un parametro mentre x indica la variabile, è (ax n ) x = a n x n 1. A noi interessano specialmente le funzioni di primo e secondo (ax ) grado, cioè con n = 1 o n = 2: x = a, e (ax 2 ) x = 2ax. (a) La derivata di un parametro è zero: x = 0. La derivata di una somma di funzioni è pari alla somma delle derivate. Sia f (x) = 1 + 2x + x 2 f (x ), allora x = x. Esempio: se i costi totali di un impresa sono 8q, dove q è la quantità che produce, la derivata dei costi totali rispetto a q, detta costo marginale, è (8q) q = 8.

4 Derivate - 2 La derivata di una funzione a due variabili f (x 1, x 2 ) è costituita da un vettore di due elementi contenente le derivate parziali. Si deriva prima la funzione rispetto a x 1 (o si calcola la derivata parziale rispetto a x 1 ), considerando x 2 come fosse un parametro. Si deriva poi la funzione rispetto a x 2 (o si calcola la derivata parziale rispetto a x 2 ), nel qual caso x 1 viene considerata come un parametro. Esempio: f (x 1, x 2 ) = 30x 1 x 2 1 5x 1 10 x 2 x 1. La derivata parziale rispetto a x 1 è f (x 1, x 2 ) x 1 = 30 2x x 2. La derivata parziale rispetto a x 2 è f (x 1, x 2 ) x 2 = x 1.

5 In Cournot l impresa A sceglie la quantità q A che massimizza il suo profitto. Per trovarla calcoliamo la derivata del profitto di A rispetto a q A e la poniamo uguale a zero: Concorrenza à la Cournot Nel mercato del sale grezzo operano tre imprese: A, B e C. Supponete che, oltre a produrre un prodotto omogeneo, le 3 imprese abbiano funzioni di costo totale identiche pari a TC i = (q i )= 10 q i La funzione di domanda di mercato è p(q) = 190 Q, dove Q = q a + q b + q c i) Calcolate quantità, prezzo e profitti di ciascuna impresa e di mercato qualora le imprese competessero à la Cournot. Per determinare le funzioni di risposta ottima delle imprese, massimizziamo la funzione del profitto di ciascuna impresa rispetto alla quantità. Consideriamo la generica impresa i-esima, la cui funzione del profitto è data da: i = p(q) * q i Tc i (q i ) Un po di matermatica Cournot Struttura di mercato e analisi dell ambiente Sostituendo 190 q A + qb + qc qa 10 qa = 180 q A q A2 q A q B q A q c

6 180 2q A q B q c = 0 2q A = 180 q B q C A q A = 0 q A = 90 ½ q B ½ q C FUNZIONE DI RISPOSTA OTTIMA DI A così ottenendo la funzione di risposta ottima dell impresa A, ossia la quantità ottima (= che massimizza il profitto) prodotta dall impresa A in funzione delle quantità qb e qc prodotte dalle rivali. Sfruttando la simmetria delle imprese possiamo trovare le funzione di risposta ottima di B e C: Un po di matermatica Cournot Struttura di mercato e analisi dell ambiente q B = 90 ½ q A ½ q C q C = 90 ½ q B ½ q A Per calcolare quantità e prezzo di equilibrio nel mercato, dovremmo mettere a sistema le tre funzioni di risposta ottima. Un metodo più veloce, tuttavia, è il seguente. Dato che le imprese sono simmetriche, ossia hanno la stessa funzione di costo, allora producono la stessa quantità in un equilibrio à la Cournot.

7 La quantità di equilibrio di ciascuna impresa sarà dunque data da q A = q B = q C = q*. Sostituendo in una delle 3 funzioni di reazione si ottiene: q* = 90 ½ q* - ½ q* 2q* = 90; q* = 45 La quantità di equilibrio di mercato sarà dunque: Q* = q A + q B + q C = 3q* = 3 * 45 = 135 Il prezzo di equilibrio di mercato si ottiene sostituendo la quantità di equilibrio nella funzione di domanda di mercato: P(Q*) = 190 Q* = = 55 Un po di matermatica Cournot Struttura di mercato e analisi dell ambiente Mostrate che le imprese, essendo simmetriche, ottengono lo stesso profitto in equilibrio. Il profitto di equilibrio della generica impresa i = A, B, C è i = p(q*) q A * - TC A (q A *) = 55 * 45 10* 45 = = 2025

8 ii) Supponete che l impresa A riesca a ridurre i suoi costi a TC(q A ) = 6 q A. Calcolate quantità e prezzo del nuovo equilibrio di mercato. Dato che il profitto dell impresa A cambia, cambierà anche la sua funzione di risposta ottima: A = p(q) * q A Tc A (q A )= [190 - (q A + q B + q C )] q A 6 q A L impresa A sceglie sempre la quantità q A che massimizza il suo profitto. Per trovarla calcoliamo la derivata di A rispetto a q A e la poniamo uguale a zero: A qa = 184 2q A q B q C = 0 Un po di matermatica Cournot Struttura di mercato e analisi dell ambiente Risolviamo l equazione sopra rispetto a q A : q A = 92 ½ q B ½ q C così ottenendo la funzione di risposta ottima dell impresa A.

9 Le funzioni di profitto delle altre due imprese non sono cambiate, dunque nemmeno le loro funzioni di risposta ottima. q B = 90 ½ q A ½ q C q C = 90 ½ q A ½ q B Dal precedente procedimento sappiamo che imprese simmetriche, adesso solo la B e la C, produrrano la stessa quantità in un equilibrio di Cournot: anticipiamo dunque q B = q C e lo sostituiamo nella prima equazione: q A = 92 ½ q B ½ q C (1) Un po di matermatica Cournot Struttura di mercato e analisi dell ambiente q A = 92 ½ q B ½ q B Sostituiamo q A = 92 q B in q B = 90 ½ q A ½ q B q B = 90 ½ ( 92 q B ) ½ q B e risolviamo rispetto a q B ottenendo q B * = 44 = q C *

10 Sostituendo q B * in (1) otteniamo q A * = 48 La quantità di equilibrio di mercato sarà dunque: Q* = q A + q B + q C = = 136 Il prezzo di equilibrio di mercato si ottiene sostituendo la quantità di equilibrio nella funzione di domanda di mercato: P(Q*) = 190 Q* = = 54 Notate che questo prezzo è minore del precedente, dato che c1 < c. Il profitto di equilibrio dell impresa A è: A = p(q) * q A Tc A (q A )= 54 *48 6 * 48= 2304 Un po di matermatica Cournot Struttura di mercato e analisi dell ambiente Il profitto di equilibrio delle imprese B e C è uguale e pari a: B = p(q) * q B Tc B (q B )= 54 * * 44 = 1236 che è minore di A

11 Esercizio 5.7 p. 74 Due imprese i = 1, 2 producono software nella stessa regione. Le imprese competono scegliendo simultaneamente e non cooperativamente il prezzo di un bene omogeneo con l intento di massimizzare il proprio profitto (concorrenza à la ). I software sono dunque percepiti come omogenei (o perfetti sostituti) dai consumatori. Ciò significa che l unica caratteristica che li distingue agli occhi del consumatore è il prezzo: l impresa che fissa il prezzo minore serve l intera domanda (nell ipotesi che abbia capacità produttiva illimitata); se i prezzi sono uguali la domanda si ipotizza divisa a metà fra le imprese. La curva di domanda del bene è Q (p) = 30 p 2. La curva di domanda per l impresa i è dunque q i ( pi, p j ) = 30 p i p i 2 2 per p i < p j p i > p j p i = p j Le imprese sono simmetriche, ossia entrambe hanno funzione di costo totali pari a TC i (q i ) = 20q i. Il costo marginale MC i (q i ) è pari alla derivata TC i (q i ) / q i = 20.

12 i) Rappresentate graficamente le funzioni di risposta ottima delle due imprese. La funzione di risposta ottima dell impresa i = 1, 2 è, nel caso di concorrenza à la, il prezzo pi che massimizza il profitto dell impresa i in funzione del prezzo fissato dall impresa j = 2, 1. Il profitto dell impresa i è la differenza fra i ricavi e i costi totali: π i ( pi, p j ) = qi ( pi, p j ) (pi 20). Analiticamente la funzione di risposta ottima dell impresa i è p i = arg max p i π i ( pi, p j ). Per risolvere il problema non possiamo ( calcolare ) la derivata e metterla uguale a zero, perché q i pi, p j non è una funzione continua. Ragioniamo invece così: se l impresa j fissa p j 20, dove 20 è il costo marginale di entrambe le imprese, l impresa i non può fissare un prezzo minore di p j altrimenti farebbe profitti negativi; fissa dunque pi = 20 e realizza profitti nulli perché non ha domanda (anche pi > 20 è una risposta ottima). Se l impresa j fissa p j > 20 allora l impresa i, fissando pi = p j ε con ε molto piccolo, ottiene l intera domanda di mercato al prezzo più alto possibile.

13 In questo caso diventa monopolista ed il prezzo massimo che è disposta a fissare è quello, indicato con p M, che massimizza il profitto di monopolio: Profitto= q*(p-c)= ( 30 p 2 ) (p 20) = 30p P2 /2 +10p derivata prima profitti=0 30-p+10= 0 P monopolio =40 La funzione di risposta ottima dell impresa i è dunque 20 (= costo marginale) p j 20 pi = p j ε per 20 < p j (= prezzo di monopolio) p j > 40 dove 20 è il costo marginale dell impresa i, MC i. ii) Calcolate la quantità prodotta da ciascuna impresa, la quantità totale ed il prezzo di equilibrio del mercato. Il prezzo di equilibrio è dato dall intersezione tra le funzioni di risposta ottima delle imprese 1 e 2 nel piano (p 1, p 2 ), ossia il punto E dove p 1 = p 2 = 20. Sostituendo tali valori nella funzione di domanda di ciascuna impresa che, dato p1 = p 2, è q ( ) 30 i pi, p j = p i 2 2, si ottiene la quantità prodotta da ciascuna impresa: q1 = 20 q = 2 = 10.

14 Rappresentazione grafica delle funzioni di reazione, nel piano (p 1, p 2 ): (Continua da pag. prec.) Sommando q1 + q 2 totale: Q = 20. si ottiene la quantità

15 (iii) Cosa s intende per "paradosso di Betrand"? Il paradosso di Betrand consiste in quanto segue: le imprese fissano il prezzo pari al costo marginale, p1 = p 2 = 20, come in concorrenza perfetta! Bastano due sole imprese per ottenere l equilibrio, dove le imprese hanno profitti nulli (dati i costi marginali costanti). Infatti, sostituendo p1 = p 2 = 20 nel profitto dell impresa i π i ( pi, p j ) = qi ( pi, p j ) (pi 20) otteniamo π i ( ) pi 20, 30 p 2 j = (20 20) = 0. 2 I prezzi sono pari al costo marginale, perché ciascuna impresa ha incentivo a ridurre il prezzo per prendersi l intera domanda di mercato. (iv) Quali sono le cause del paradosso? Sono le tre ipotesi alla base del modello di concorrenza à la : 1) beni omogenei 2) interazione non ripetuta tra le imprese (gioco one-shot) 3) capacità produttiva illimitata di ciascuna impresa 4) imprese simmetriche.

16 Supponiamo ora che l ipotesi 4) non valga, ossia ipotizziamo che l impresa 1 abbia la seguente funzione di costo totale: TC 1 (q 1 ) = 8q 1. v) Calcolare i nuovi valori della quantità prodotta da ciascuna impresa, quantità totale e prezzo di equilibrio nel mercato. L impresa 1 ha ora costi minori quindi può abbassare il prezzo in modo da espellere la rivale dal mercato ed operare come monopolista. La miglior strategia dell impresa 1 è fissare p1 = 20 ε, con ε molto piccolo. In tal caso infatti l impresa 2 per avere domanda positiva dovrebbe fissare p 2 p1, ossia p 2 < 20, incorrendo però in profitti negativi: π 2 (p 2, p 1 ) = q 2 (p 2, p 1 ) (p 2 20) < 0. Dunque, con p1 = 20 ε l impresa 2 preferisce non produrre. L impresa 1 può soddisfare l intera domanda di mercato (sempre nell ipotesi di capacità produttiva illimitata): q 1 (p 1, p 2 ) = 30 p 1 2.

17 Si ha quindi q1 20 ε = Siamo certi che l impresa 1 non abbia convenienza a fissare un prezzo diverso da p1 = 20 ε? Con p1 = 20 ε i profitti dell impresa 1 sono pari a π 1 (p 1 ) = q 1 (p 1 8) = 20 (20 ε 8) 240. Ogni prezzo minore di p1 ridurrebbe il profitto dell impresa 1, infatti se calcoliamo la derivata rispetto a p 1 di ( π 1 (p 1 ) = q 1 (p 1 8) = 30 p ) 1 (p 1 8) 2 otteniamo 34 p 1. Questo valore è positivo per p 1 < 20 ε, l intervallo che stiamo considerando. Ciò significa che se p 1 pure π 1 (p 1 ). Ogni prezzo maggiore di 20 innescherebbe la concorrenza à la con l impresa 2, quindi, come visto prima, ci sarebbero profitti nulli per entrambe le imprese. Possiamo concludere che p1 = 20 ε è il prezzo di equilibrio perché l impresa 1 non ha convenienza a fissarne uno diverso.

18 Esercizio 7.1 p. 103 La seguente tabella contiene i dati sul fatturato di imprese appartenenti a tre settori diversi: Settore A Settore B Settore C Impresa 1 f 1 = 300 f 1 = 400 f 1 = 800 Impresa 2 f 2 = 300 f 2 = 350 f 2 = 200 Impresa 3 f 3 = 300 f 3 = 300 f 3 = 200 Impresa 4 f 4 = 300 f 4 = 250 f 4 = 80 Impresa 5 f 5 = 300 f 5 = 50 f 5 = 70 Altre imprese (i) Definite e commentate gli indici di concentrazione C 4 e di Herfindhal-Hirschmann ( HH). La concentrazione di un settore consta di due aspetti: numero di imprese e loro dimensione relativa. Per definire i due indici dobbiamo introdurre il concetto di quota di mercato dell impresa i, ossia il rapporto tra quanto fatturato da i e quanto fatturato dall intero mercato: s i = f i n i f i, (2)

19 dove n è il numero totale di imprese nel settore. L indice C 4 è dato dalla somma delle quote di mercato delle quattro imprese più grandi. Una volta nominatele come imprese 1, 2, 3, 4 ed ordinatele in modo decrescente si può scrivere: C 4 = 4 s i = s 1 + s 2 + s 3 + s 4. i=1 L indice HH è dato dalla somma del quadrato delle quote di mercato di tutte le imprese del settore: HH = n si 2. i=1 HH è più sensibile e completo di C 4 ma richiede una conoscenza di tutte le imprese del settore. Perché più sensibile? Si pensi a due settori con due imprese ciascuno. Nel primo le quote di mercato sono 0.6 e 0.4. Nel secondo 0.5 per ogni impresa. L indice C 4 è pari a 1 in ambo i settori, dunque secondo C 4 i due settori sono ugualmente concentrati.

20 Invece HH = (0.6) 2 + (0.4) 2 = 0.52 nel primo settore e HH = 2 (0.5) 2 = 0.5. Secondo HH dunque il primo settore è più concentrato. L informazione in HH è dunque più precisa che in C 4 perché HH dà conto della dimensione relativa delle imprese, ossia dell asimmetria nella distribuzione per dimensione delle 2 imprese. Ciò è rilevante perché imprese con ampia quota di mercato hanno la possibilità, ad esempio, di influenzare il prezzo. Se indichiamo con x e 1 x le quote di mercato di due imprese in un duopolio, l indice HH si disegna come y x

21 (ii) Tornate alla tabella e calcolate l indice C 4 nei tre settori. A tale scopo, calcoliamo dapprima la quota di mercato di ciascuna impresa. Notate che n i f i = = 1500 nel settore A, n i f i = = 1500 nel settore B e n i f i = = 1500 nel settore C. Tenendo conto della (2), possiamo scrivere la tabella delle quote di mercato: Settore A Settore B Settore C Impresa 1 s 1 = 0.2 s 1 = 0.27 s 1 = 0.53 Impresa 2 s 2 = 0.2 s 2 = 0.23 s 2 = 0.13 Impresa 3 s 3 = 0.2 s 3 = 0.2 s 3 = 0.13 Impresa 4 s 4 = 0.2 s 4 = 0.17 s 4 = 0.06 Impresa 5 s 5 = 0.2 s 5 = 0.03 s 5 = 0.05 Altre imprese Nel settore A dunque: C 4 = = 0.8 Nel settore B: C 4 = = 0.87

22 Nel settore C c è un problema. Il settore altre imprese (di cui non abbiamo informazioni se non in aggregato) ha una quota di mercato superiore a quella della quarta impresa più grande in termini di produzione: 0.1 > Due possibili scenari si possono realizzare: (a) nel settore "altre imprese" ce ne è una con 0.06 < s o < 0.1, (b) oppure la più grande ha meno di (a) Nel primo caso questa impresa è la quarta più grande, dunque C 4 = s o = s o = (0.85, 0.89) (b) Nel secondo caso l impresa 4 è la quarta più grande, dunque C 4 = = In conclusione 0.85 C 4 < 0.89 nel Settore C. Secondo l indice C 4 dunque il Settore A è il meno concentrato, mentre tra B e C non è possibile stabilire un ordine in assenza di dati più precisi sulla categoria "altre imprese".

23 (iii) Calcolate l indice HH nei tre settori. Nel settore A: HH = 5 (0.2) 2 = 0.2. Per i settori B e C l informazione è lacunosa. Dobbiamo dunque fare ipotesi estreme circa la struttura della categoria "altre imprese" per stabilire l intervallo di valori possibili che HH può assumere: (a) di tale categoria fa parte una sola impresa con quota di mercato 0.1; (b) fanno parte tante imprese, ciascuna con quota di mercato trascurabile. (a) Nel primo caso si ha HH = (0.27) 2 + (0.23) 2 + (0.2) 2 + (0.17) 2 + (0.03) 2 + (0.1) 2 = 0.21 per il settore B e HH = (0.53) 2 + (0.13) 2 + (0.13) 2 + (0.06) 2 + (0.05) 2 + (0.1) 2 = 0.33 per il settore C.

24 (b) Nel secondo caso si ha HH = (0.27) 2 + (0.23) 2 + (0.2) 2 + (0.17) 2 + (0.03) = 0.2 per il settore B e HH = (0.53) 2 + (0.13) 2 + (0.13) 2 + (0.06) 2 + (0.05) 2 = 0.32 per il settore C. Riassumendo: nel settore B, l indice HH sta tra 0.2 e Nel settore C, l indice HH sta tra 0.32 e Possiamo dunque concludere che il settore C è il più concentrato, mentre il settore A è "quasi sempre" meno concentrato di B. Solo HH definisce inequivocabilmente il settore C come più concentrato, perché è in grado di catturare l esistenza di un impresa, la 1, molto grande; questa ha una quota di mercato superiore al 50% ed ha probabilmente influenza sul mercato in termini, ad esempio, di scelta del prezzo.