Specifica, progetto e verifica della correttezza di algoritmi iterativi. Ragionamenti su di un algoritmo. Il metodo delle asserzioni (Floyd)

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1 Specfca, progetto e verfca della correttezza d algortm teratv Il metodo delle asserzon Ragonament su d un algortmo Ragonare sulla specfca d un algortmo data con pre e post-condzon serve a: (a posteror) verfcare la correttezza dell algortmo (a pror) costrure un algortmo, a partre da un dea crca la soluzone, n modo che sa corretto Il metodo delle asserzon (Floyd) Dvsone (n, m) Pre. n 0, m > 0 Post. rtorna q, r t.c. n = m q + r, 0 r < m r n q 0 { n = m q + r, 0 r } whle r m do { n = m (q+1) + r m, 0 r m} r r m q q + 1 { n = m q + r, 0 r < m} return q, r Asserzon: descrvono relazon tra valor delle varabl, che devono valere quando l controllo raggunge un certo punto del codce

2 Le trple d Hoare Un comando ha la forma C ::= x E C ; C f B then C f B then C else C whle B do C Se ϕ e ψ sono asserzon allora ϕ Cψ se valor delle varabl soddsfano ϕ prma d C e C termna, allora soddsfano ψ dopo C trpla Le trple d Hoare Le trple d Hoare sono espresson della logca formale, ma vo potete usare asserzon nformal, purché non ambgue!!! Asserzon per gl assegnament { x + > 0 } x x + { x > 0 } {ϕ (E)} (E può contenere x) x E {ϕ (x)} { ϕ( E) } x E { ϕ( x) } Assoma

3 Asserzon per le sequenze {y z} y y z {y 0} x y {x 0} {ϕ} C 1 {χ} (oppure χ se χ χ ) C 2 {ψ} { ϕ} C1{ χ} { χ} C2{ ψ } { ϕ} C ; C { ψ } 1 2 premesse concluson ϕ ϕ { ϕ } C{ ψ } ψ ψ { ϕ} C{ ψ} Asserzon per la selezone f x 0 then z x {z = x } else {x < 0} z x {z = x } {z = x } {ϕ} f B then {ϕ B} C 1 {ψ} else {ϕ B} C 2 {ψ} {ψ} { ϕ B } C1{ ψ } { ϕ B} C 2{ ψ } { ϕ} f B then C else C { ψ } 1 2 Asserzon per le terazon whle y > 0 do {??????? } z z + x 2 y y 1 Cosa mettere n un punto attraversato tante volte?

4 Asserzon per le terazon {n = m q + r, 0 r} whle r m do {n = m (q+1) + r m, 0 r m} r r m q q + 1 {n = m q + r, 0 r < m} Qualcosa che, pur cambando valor delle varabl, rest sempre vero! Asserzon per le terazon {n = m q + r 0 r} nvarante whle r m do {n = m (q+1) + r m 0 r r m} r r m q q + 1 {n = m q + r 0 r r< m } {ϕ} whle B do {ϕ B} C {ϕ} {ϕ B} { ϕ B} C{ ϕ} { ϕ} whle B do C { ϕ B} Gl nvarant d cclo nvarante: asserzone vera prma d ogn esecuzone del corpo dell terazone l nvarante deve essere vero anche prma d entrare nel cclo, dopo ogn esecuzone del corpo, all uscta dal cclo L nvarante è unco?

5 Gl nvarant d cclo Un cclo ha molt (nfnt) nvarant, per lo pù trval: {0 = 0} è nvarante d ogn cclo Qual è allora quello che m serve? Gl nvarant d cclo Un nvarante è nteressante se fa capre cosa avrà fatto l cclo dopo la termnazone Qund occorre che mplch la post-condzone del cclo che desdero dmostrare A posteror, trovare un nvarante senza conoscere l dea su cu s basa l algortmo è una strada n salta! (R)-costrure un algortmo La va maestra per trovare un nvarante: partre dall dea su cu s basa l algortmo e rcostrurlo Molto spesso l nvarante non è che una formulazone precsa d quest dea

6 5 1. Defnsc l problema Pre-condzon: l vettore è ordnato Input: l valore cercato è Post-condzon: rtorna l ndce del valore cercato (se presente) Indvdua l nvarante, pensando alla generca terazone: Inv. : La rcerca è lmtata ad un sottovettore t.c. se l valore cercato è presente, allora s trova n quel sottovettore Valore cercato: Cerca un modo per avvcnare la soluzone mantenendo vero l nvarante Passo: dvd l sottovettore n due part (quas) ugual; Se s trova nel punto ntermedo: stop Valore cercato: Punto ntermedo

7 5. Cerca un modo per avvcnare la soluzone mantenendo vero l nvarante Passo: dvd l sottovettore n due part (quas) ugual; Se l valore cercato è < d quello nel punto ntermedo, può essere solo nella parte snstra Valore cercato: Punto ntermedo Cerca un modo per avvcnare la soluzone mantenendo vero l nvarante Passo: dvd l sottovettore n due part (quas) ugual; Se l valore cercato è > d quello nel punto ntermedo, può essere solo nella parte destra Valore cercato: Punto ntermedo Defnsc n quale momento la computazone s deve fermare Quando s sa trovato l valore nel punto ntermedo, Valore cercato: 25 Punto ntermedo

8 4. Defnsc n quale momento la computazone s deve fermare. oppure quando l sottovettore cu lmtamo la rcerca sa rdotto al vettore vuoto Dovrebbe essere qu n Valore cercato: 2 mezzo: ma questo ntervallo è vuoto Defnsc le condzon nzal della rcerca Il sottovettore cu la rcerca è lmtata concde con l ntero vettore Valore cercato: Stablsc dettagl della codfca Il sottovettore cu la rcerca è lmtata è compreso tra le poszon e j ncluse j Il punto medo ha ndce: ( + j) dv 2 Se > j allora l sottovettore è vuoto

9 7. Proced alla pseudocodfca, usando le asserzon, e prncpalmente l nvarante, come comment RcercaBnara (V, n) Pre. V è un vettore ordnato, n l valore cercato Post. Rtorna m n [1..lunghezza(V)] se V[m] = n, 0 altrment 1, j lunghezza(v) trovato false whle j and not trovato do {Inv. Se n n V allora n n V[..j], se trovato = true allora V[m] = n } m (+j) dv 2 sottovettore consderato f n = V[m] then trovato true else f n < V[m] then {consdero V[.. m 1]} j m 1 else {n > V[m]} {consdero V[m + 1..j]} m + 1 f trovato then return m else return 0 Costrure un algortmo n modo che sa corretto La va maestra: formulare precsamente l dea su cu s basera l algortmo Molto spesso la formulazone precsa d quest dea è propro l nvarante Come s nventa un cclo? 1 nzalzzazone 2 whle condzone do corpo dell terazone L ordne gusto è l opposto! 1. Per scrvere l nzalzzazone s deve sapere cosa deve fare l cclo 2. Per scrvere la condzone (guarda) s deve conoscere cosa farà l corpo

10 La generca terazone Per ndvduare correttamente l nvarante non c s deve porre agl estrem (nzo o fne del cclo) ma n un deale punto medo: la generca terazone Ordnamento per selezone Idea ndce del prmo elemento della parte da ordnare parte ordnata tutt gl el. d questa parte sono maggor d quell nella parte ordnata Ordnamento per selezone Invarante V [1.. 1] ordnato se x n V [.. n] ed y n V [1.. 1] allora x y

11 Ordnamento per selezone Passo V [k] sa l mnmo valore n V [.. n] k Scambando V[] con V[k] l nvarante s mantene con + 1: Ordnamento per selezone Passo V [k] sa l mnmo valore n V [.. n] k Scambando V[] con V[k] l nvarante s mantene con + 1: V [1.. ] ordnato se x n V [ n] ed y n V [1.. ] allora x y Ordnamento per selezone Passo +1 Inoltre la lunghezza della porzone ordnata è aumentata, mentre la lunghezza d quella da ordnare è dmnuta

12 Ordnamento per selezone Guarda (test d controllo) L terazone deve prosegure fntanto che < n. Quando = n, V[] è l massmo n V[1..n] Ordnamento per selezone Inzalzzazone = 1 La parte gà ordnata è vuota: V[1.. 0] Ordnamento per selezone Pseudocodfca SelectSort (V) Pre. V[1..n] vettore d valor su un nseme lnearmente ordnato (es. gl nter) Post. permuta sul posto gl element d V n ordne non decrescente 1 whle < n do {nv. V[1.. 1] ordnato, gl el. n V[..n] maggorzzano quell n V[1.. 1]} k ndce del mnmo n V[..n] scamba V[] con V[k] + 1

13 Ordnamento per nserzone Idea ndce del prmo elemento della parte da ordnare parte ordnata Nessuna assunzone! Ordnamento per nserzone Invarante V [1.. 1] ordnato Ordnamento per nserzone Passo Cercherò l posto n cu V[] dovrebbe stare Come fare per mantenere l nvarante?

14 Ordnamento per nserzone Passo k V[1] V[], V[2] V[], V[k 1] V[] V[k] > V[] qund k n 2.. è l massmo ndce t.c. V[k 1] V[] & k < V[k] > V[] Ordnamento per nserzone Passo temp V[] Salvamo l valore d V[] k Ordnamento per nserzone Passo k Faccamo slttare V[k.. 1] su V[k + 1..]

15 Ordnamento per nserzone Passo k V[k] temp Ponamo n V[k] l valore salvato d V[] Ordnamento per nserzone Guarda Prosegu fntanto che n Ordnamento per nserzone Inzalzzazone = 2 Il vettore V[1..1] è trvalmente ordnato è l ndce del prmo elemento della parte da ordnare: dunque = 2

16 Ordnamento per nserzone Pseudocodfca InsertSort (V) Pre. V[1..n] vettore d valor su un nseme lnearmente ordnato (es. gl nter) Post. permuta sul posto gl element d V n ordne non decrescente 2 whle n do {nv.: V[1.. 1] ordnato, sa U= V[1.. 1]} temp V[], k I whle k 2 and V[k-1] > temp do {nv.: V[1..k-1] V[k+1..] = U, V[k+1..] sono > d temp} V[k] V[k 1], k k 1 V[k] temp {V[1..] ordnato} + 1 Accumulator ed nvarant Quello teratvo è un metodo d calcolo ncrementale: c s avvcna al rsultato un passo dopo l altro Un accumulatore è una varable l cu valore rappresenta l approssmazone corrente L nvarante deve allora spegare n che senso l accumulatore approssma l rsultato Moltplcazone per somme successve Moltplcazone (x, n) Pre. n ntero postvo Post. rtorna x n z 0, y n whle y > 0 do z z + x y y 1 return z A scuola: moltplcand e moltplcator 2 X =

17 Moltplcazone per somme successve x + L+ x + x + x + L+ x z x y x + L+ x + x + x + L+ x z + x x (y 1 ) Moltplcazone per somme successve accumulatore Moltplcazone (x, n) Pre. n ntero postvo Post. rtorna x n z 0, y n whle y > 0 do {nv. x n = z + x y} z z + x z + x y = (z + x) + x (y 1) y y 1 return z contatore Moltplcazone alla russa 1 56 dv = Rsultato = somma val. della seconda colonna quando quell sulla prma sono dspar raddoppo

18 Moltplcazone alla russa 2k a = 2k + 1 se a par se a dspar a = 2k a b = 2k b = k ( b + b) a = 2k + 1 a b = (2k + 1) b = k ( b + b) + b z + ( a dv 2) ( b + b) z + a b = ( z + b) + ( a dv 2) ( b + b) a par a dspar Moltplcazone alla russa MoltRussa (m, n) Pre. n, m nter postv Post. rtorna n m a n, b m, z 0 whle a > 0 do {nv. n m = z + a b} f a dspar then z z + b a a dv 2 b b + b return z contatore accumulatore Rassumendo Il metodo delle asserzon Invarant d cclo Come verfcare la correttezza d un algortmo teratvo Come costrure un algortmo teratvo n modo che sa corretto Accumulator (e contator) n rapporto agl nvarant

19 Domande Domanda: l algortmo d ordnamento per selezone e mglore dell algortmo d ordnamento per nserzone? Perche? Domanda: l algortmo MoltRussa e mglore dell algortmo Moltplca? Perche? Rsposte: TRA QUALCHE LEZIONE