Problemi e algoritmi

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1 Problemi e algoritmi Specifica, progetto e verifica della correttezza di algoritmi iterativi

2 Il che cosa ed il come Problema: 1. dati x, y, z, così e così istanza

3 Il che cosa ed il come Problema: 1. dati x, y, z, così e così 2. trovare u, v, w.. tali che criterio per riconoscere la risposta

4 Il che cosa ed il come Esempio (Massimo comun divisore: MCD). Dati due interi positivi non entrambi nulli n ed m, determinare un intero positivo k tale che: 1. k divide sia n che m; 2. per ogni divisore comune h di n ed m, h divide k. istanza criterio per riconoscere la risposta

5 Multipli e Divisori Sugli interi sono definite le relazioni: n è multiplo di m se esiste k tale che n = mk m divide n se n è multiplo di m: m n m n n m n = mk m = nh n = nhk h = k = 1 quindi m n e n m implica n = m.

6 Il che cosa ed il come Esempio (Ordinamento: Sorting) Dato un intero positivo n ed una sequenza a1,..., a n di n elementi di un insieme A linearmente ordinato, trovare una permutazione π di ordine n tale che: istanza a a A L a π ( 1) π (2) π ( n) criterio per riconoscere la risposta

7 Ordini parziali e lineari Un ordine parziale su un insieme A è una relazione binaria riflessiva, simmetrica e transitiva. { a,b} {} a { b} b, b { a} { }{ } { a} 0 < 1< 2 < L Ordine lineare (tricotomico): elementi tutti confrontabili Ordine non lineare: esistono elementi non confrontabili

8 Il che cosa ed il come Esempio (Cammino minimo) istanza Date una mappa stradale che riporti località, strade e lunghezze dei percorsi, ed una coppia di località raggiungibili l una dall altra, trovare un percorso che renda minima la lunghezza. criterio per riconoscere la risposta

9 Il che cosa ed il come Quindi un problema è una relazione (binaria) R, ossia una collezione di coppie istanza, risposta R Le cui istanze sono in { x : x, y R per qualche y} dom ( R) = R è sempre univoca?

10 Univocità R A B è univoca se per ogni a A, b, 1 b2 B a, b b R b = b 1, a, a R b c

11 La relazione R è: MCD: univoca, perché se k h e h k, allora h = k. Sorting: univoca solo se non ci sono ripetizioni. Ci sono due risposte per l istanza 7, 5, 22, 5: { 1 a 3,2 a 1,3 a 4,4 a 2} e { 1a 3,2 a 2,3 a 4,4 a 1} anche se producono lo stesso 5, 5, 7, 22. Cammini minimi: in generale non univoca. Ci possono essere più percorsi di lunghezza minima.

12 Il che cosa ed il come Algoritmo: è un metodo automatico di calcolo, che indica passo passo come ottenere un risultato (output) date certe informazioni di partenza (input).

13 Il che cosa ed il come Un algoritmo è deterministico: se eseguito più volte sullo stesso input, fornisce sempre lo stesso output. Dunque ad ogni algoritmo possiamo associare una funzione input-output: F ( input) = output

14 Il che cosa ed il come Un algoritmo risolve un problema R se la su funzione input-output F associa una risposta ad ogni istanza di R: x, F( x) R per ogni x dom( R) F sceglie una risposta per ogni istanza (ma le risposte possono essere più d una se R non è univoca).

15 La codifica di un algoritmo Un algoritmo si descrive in molti modi: 1. In una lingua naturale: dati n ed m, siano a = max (n, m) e b = min (n, m); dividi progressivamente a per b, e se il resto è nullo ritorna b, altrimenti poni a = b, b = a mod b e calcola il nuovo resto. Pro: per capire mi basta conoscere l italiano Contro: potenzialmente ambiguo, non mostra la sua struttura

16 La codifica di un algoritmo Un algoritmo si descrive in molti modi: 2. Con diagrammi di flusso: Pro: intuitivo e preciso a max (n, m), b min (n, m) b = 0 r a mod b + return a Contro: non strutturato, non adatto per la ricursione Si usava un tempo a b, b r r = 0 + return b

17 La codifica di un algoritmo Un algoritmo si descrive in molti modi: 3. Usando un linguaggio di programmazione: int MCD (int n, int m) { int a, b, r; if (n > m) {a = n, b = m;}; else {a = m, b = n;} Pro: lo posso provare su un computer } if (b == 0) return a; r = a % b; while (r!= 0) { a = b; b = r; r = a % b;} return b; Contro: criptico; molti dettagli oscurano la struttura dell algoritmo; dipende dalla scelta del linguaggio

18 La codifica di un algoritmo Un algoritmo si descrive in molti modi: 4. Con uno pseudocodice: MCD (n, m) a max (n, m) b min (n, m) if b = 0 then return a else r a mod b while r 0 do a b b r r a mod b Pro: informale ma preciso, posso usare notazioni matematiche, evitando la definizione di strutture dati Contro: può essere lontano dalla realizzazione return b

19 Che cosa calcola un algoritmo? Che cosa calcola un algoritmo? La risposta è una specifica dell algoritmo. Vorrei calcolare valori con la proprietà ψ Post-condizione Posso farlo purché i dati soddisfino ϕ Sig. Utente Pre-condizione Sig. Algoritmo

20 Specifica di un algoritmo Pre-condizioni: ipotesi sull ingresso Post-condizioni: proprietà dell uscita Esempio: MCD (n, m) Pre: n, m interi positivi non entrambi nulli Post: ritorna k che divide sia n che m e t.c. per ogni divisore comune h di n ed m, h divide k.

21 Specifica di un algoritmo Pre-condizioni: ipotesi sull ingresso Post-condizioni: proprietà dell uscita Una pre-condizione ϕ ed una post-condizione ψ definiscono una relazione: x, y P x sodd. ϕ y sodd. ψ Se R è un problema ed R P, allora ogni algortimo che soddisfi la specifica Pre. ϕ, Post. ψ, risolve R.

22 La correttezza Fissato un certo algoritmo siano: 1. F la funzione input-output 2. ϕ pre-condizione, ψ post-condizione x soddisfa ϕ F( x) soddisfaψ F(x) è sempre definita?

23 La correttezza Fissato un certo algoritmo siano: 1. F la funzione input-output 2. ϕ pre-condizione, ψ post-condizione x soddisfa ϕ F( x) soddisfaψ F(x) non è definita se l algoritmo non termina in x!

24 La correttezza Correttezza parziale. Un algoritmo si dice parzialmente corretto rispetto ϕ e ψ, se x soddisfa ϕ & F( x) è definita F( x) soddisfaψ Correttezza totale. Un algoritmo si dice totalmente corretto rispetto ϕ e ψ, se x soddisfa ϕ F( x) è definita & F( x) soddisfaψ

25 Ragionamenti su di un algoritmo Ragionare sulla specifica di un algoritmo data con pre e post-condizioni serve a: (a posteriori) verificare la correttezza dell algoritmo (a priori) (re)-inventare un algoritmo a partire da un idea circa la soluzione

26 Il metodo delle asserzioni (Floyd) Divisione (n, m) Pre. n 0, m > 0 Post. ritorna q, r t.c. n = m q + r, 0 r < m r n q 0 { n = m q + r, 0 r } while r m do { n = m (q+1) + r m, 0 r m} r r m q q + 1 { n = m q + r, 0 r < m} return q, r Asserzioni: descrivono relazioni tra i valori delle variabili, che devono valere quando il controllo raggiunge un certo punto del codice

27 Le triple di Hoare Un comando ha la forma C ::= x E C ; C if B then C if B then C else C while B do C Se ϕ e ψ sono asserzioni allora ϕ Cψ se i valori delle variabili soddisfano ϕ prima di C e C termina, allora tripla soddisfano ψ dopo C

28 Le triple di Hoare Le mie triple sono espressioni della logica formale, ma voi potete usare asserzioni informali, purché non ambigue

29 Asserzioni per gli assegnamenti { x + > 0 } x x + { x > 0 } {ϕ (E)} (E può contenere x) x E {ϕ (x)} { ϕ( E) } x E { ϕ( x) } Assioma

30 Asserzioni per le sequenze {y z} y y z {y 0} x y {x 0} {ϕ} C 1 {χ} (oppure χ se χ χ ) C 2 {ψ} premesse { ϕ} C1{ χ} { ϕ} C 1 { χ} C2{ ψ } ; C { ψ } 2 ϕ ϕ { ϕ } C{ ψ } { ϕ} C{ ψ} ψ ψ conclusioni

31 Asserzioni per la selezione if x 0 then z x {z = x } else {x < 0} z x {z = x } {z = x } {ϕ} if B then {ϕ B} C 1 {ψ} else {ϕ B} C 2 {ψ} {ψ} { ϕ B } C1{ ψ } { ϕ B} { ϕ} if B then C else C 1 2 C 2{ ψ } { ψ }

32 Asserzioni per le iterazioni while y > 0 do {??????? } z z + x 2 y y 1 Cosa mettere in un punto attraversato tante volte?

33 Asserzioni per le iterazioni {x 1 x 2 = x 2 y + z} while y > 0 do {x 1 x 2 = x 2 y + z y > 0} z z + x 2 y y 1 {x 1 x 2 = x 2 y + z y = 0} {z = x 1 x 2 } Qualcosa che, pur cambiando i valori delle variabili, resti sempre vero!

34 Asserzioni per le iterazioni {x 1 x 2 = x 2 y + z} while y > 0 do {x 1 x 2 = x 2 y + z y > 0} z z + x 2 y y 1 {x 1 x 2 = x 2 y + z y = 0} {z = x 1 x 2 } invariante {ϕ} { ϕ B} C{ ϕ} { ϕ} while B do C { ϕ B} while B do {ϕ B} C {ϕ} {ϕ B}

35 Gli invarianti di ciclo invariante: asserzione vera prima di ogni esecuzione del corpo dell iterazione l invariante deve essere vero anche prima di entrare nel ciclo, dopo ogni esecuzione del corpo, all uscita dal ciclo L invariante è unico?

36 Gli invarianti di ciclo Un ciclo ha molti (infiniti) invarianti, per lo più triviali: {0 = 0} è invariante di ogni ciclo Qual è allora quello che mi serve?

37 Gli invarianti di ciclo Un invariante è interessante se mi fa capire cosa avrà fatto il ciclo dopo la terminazione Quindi occorre che implichi la post-condizione del ciclo che desidero dimostrare Trovare un invariante senza conoscere l idea su cui si basa l algoritmo è una strada in salita!

38 Ricostruire un algoritmo La via maestra parte dall idea su cui si basa l algoritmo e consiste nel ricostruirlo Molto spesso l invariante non è che una formulazione precisa di quest idea

39 Ricerca binaria 1. Definisci il problema Pre-condizioni: il vettore è ordinato Input: il valore cercato è Post-condizioni: ritorna l indice del valore cercato (se presente)

40 Ricerca binaria 2. Individua l invariante, pensando alla generica iterazione: Inv. : La ricerca è limitata ad un sottovettore t.c. se il valore cercato è presente, allora si trova in quel sottovettore Valore cercato: 25

41 Ricerca binaria 3. Cerca un modo per avvicinare la soluzione mantenendo vero l invariante Passo: dividi il sottovettore in due parti (quasi) uguali; Se si trova nel punto intermedio: stop Valore cercato: 43 Punto intermedio

42 Ricerca binaria 3. Cerca un modo per avvicinare la soluzione mantenendo vero l invariante Passo: dividi il sottovettore in due parti (quasi) uguali; Se il valore cercato è < di quello nel punto intermedio, può essere solo nella parte sinistra Valore cercato: 25 Punto intermedio

43 Ricerca binaria 3. Cerca un modo per avvicinare la soluzione mantenendo vero l invariante Passo: dividi il sottovettore in due parti (quasi) uguali; Se il valore cercato è > di quello nel punto intermedio, può essere solo nella parte destra Valore cercato: 54 Punto intermedio

44 Ricerca binaria 4. Definisci in quale momento la computazione si deve fermare Quando si sia trovato il valore nel punto intermedio, Valore cercato: 25 Punto intermedio

45 Ricerca binaria 4. Definisci in quale momento la computazione si deve fermare. ovvero quando il sottovettore cui limitiamo la ricerca sia ridotto al vettore vuoto Valore cercato: 23 Dovrebbe essere qui in mezzo: ma questo intervallo è vuoto

46 Ricerca binaria 5. Definisci le condizioni iniziali della ricerca Il sottovettore cui la ricerca è limitata coincide con l intero vettore Valore cercato: 25

47 Ricerca binaria 6. Stabilisci i dettagli della codifica Il sottovettore cui la ricerca è limitata è compreso tra le posizioni i e j incluse i j 20 Il punto medio ha indice: (i + j) div 2 Se i > j allora il sottovettore è vuoto

48 Ricerca binaria 7. Procedi alla pseudocodifica, usando le asserzioni, e principalmente l invariante, come commenti RicercaBinaria (V, n) Pre. V è un vettore ordinato, n il valore cercato Post. Ritorna m in [1..lunghezza(V)] se V[m] = n, 0 altrimenti i 1, j lunghezza(v) trovato false while i j and not trovato do {Inv. Se n in V allora n in V[i..j], se trovato = true allora V[m] = n } m (i+j) div 2 semivettore considerato if n = V[m] then trovato true else if n < V[m] then {considero V[i.. m 1]} j m 1 else {n > V[m]} {considero V[m + 1..j]} i m + 1 if trovato then return m else return 0

49 Come si inventa un ciclo? 1 inizializzazione 2 while condizione do corpo dell iterazione 3 L ordine giusto è l opposto! 1. Per scrivere l inizializzazione si deve sapere cosa deve fare il ciclo 2. Per scrivere la condizione (guardia) si deve conoscere cosa farà il corpo

50 La generica iterazione Per individuare correttamente l invariante non ci si deve porre agli estremi (inizio o fine del ciclo) ma in un ideale punto medio: la generica iterazione

51 Ordinamento per selezione Idea V [1..n] indice del primo elemento della parte da ordinare i parte ordinata tutti gli el. di questa parte sono maggiori di quelli nella parte ordinata

52 Ordinamento per selezione Invariante V [1..n] i V [1.. i 1] ordinato se x in V [i.. n] ed y in V [1.. i 1] allora x y

53 Ordinamento per selezione Passo V [1..n] V [k] sia il minimo valore in V [i.. n] i k Scambiando V[i] con V[k] l invariante si mantiene con i i + 1:

54 Ordinamento per selezione Passo V [1..n] V [k] sia il minimo valore in V [i.. n] i k Scambiando V[i] con V[k] l invariante si mantiene con i i + 1: V [1.. i] ordinato se x in V [i n] ed y in V [1.. i ] allora x y

55 Ordinamento per selezione Passo V [1..n] i+1 Inoltre la lunghezza della porzione ordinata è aumentata, mentre la lunghezza di quella da ordinare è diminuita

56 Ordinamento per selezione Guardia (test di controllo) V [1..n] i L iterazione deve proseguire fintanto che i < n. Quando i = n, V[i] è il massimo in V[1..n]

57 Ordinamento per selezione Inizializzazione V [1..n] i = 1 La parte già ordinata è vuota: V[1.. 0]

58 Ordinamento per selezione Pseudocodifica SelectSort (V) Pre. V[1..n] vettore di valori su un insieme linearmente ordinato (es. gli interi) Post. permuta sul posto gli elementi di V in ordine non decrescente i 1 while i < n do {inv. V[1..i 1] ordinato, gli el. in V[i..n] maggiorizzano quelli in V[1..i 1]} k indice del minimo in V[i..n] scambia V[i] con V[k] i i + 1

59 Ordinamento per inserzione Idea V [1..n] indice del primo elemento della parte da ordinare i parte ordinata Nessuna assunzione!

60 Ordinamento per inserzione Invariante V [1..n] i V [1.. i 1] ordinato

61 Ordinamento per inserzione Passo Cercherò il posto in cui V[i] dovrebbe stare V [1..n] i Come fare per mantenere l invariante?

62 Ordinamento per inserzione Passo V [1..n] k i V[1] V[i], V[2] V[i], V[k 1] V[i] V[k] > V[i] quindi k in 2..i è il massimo indice t.c. V[k 1] V[i] & k < i V[k] > V[i]

63 Ordinamento per inserzione Passo temp V[i] Salviamo il valore di V[i] V [1..n] k i

64 Ordinamento per inserzione Passo V [1..n] k i Facciamo slittare V[k..i 1] su V[k + 1..i]

65 Ordinamento per inserzione Passo V [1..n] k i V[k] temp Poniamo in V[k] il valore salvato di V[i]

66 Ordinamento per inserzione Guardia V [1..n] i Prosegui fintanto che i n

67 Ordinamento per inserzione Inizializzazione V [1..n] i = 2 Il vettore V[1..1] è trivialmente ordinato i è l indice del primo elemento della parte da ordinare: dunque i = 2

68 Ordinamento per inserzione Pseudocodifica InsertSort (V) Pre. V[1..n] vettore di valori su un insieme linearmente ordinato (es. gli interi) Post. permuta sul posto gli elementi di V in ordine non decrescente i 2 while i n do {inv. V[1..i 1] ordinato} temp V[i], k i while k 2 and V[k] > temp do {inv. V[k..i 1] sono maggioranti di V[i]} V[k] V[k 1], k k 1 V[k] temp i i + 1

69 Accumulatori ed invarianti Quello iterativo è un metodo di calcolo incrementale: ci si avvicina al risultato un passo dopo l altro Un accumulatore è una variabile il cui valore rappresenta l approssimazione corrente L invariante deve allora spiegare in che senso l accumulatore approssima il risultato

70 Accumulatori ed invarianti Moltiplicazione (x, n) Pre. n intero positivo Post. ritorna x n z 0, y n while y > 0 do z z + x y y 1 return z A scuola: moltiplicandi e moltiplicatori 2 X 3 =

71 Accumulatori ed invarianti x + L+ x + x + x + L+ x z x y x + L+ x + x + x + L+ x z + x x (y 1 )

72 Accumulatori ed invarianti accumulatore Moltiplicazione (x, n) Pre. n intero positivo Post. ritorna x n z 0, y n while y > 0 do {inv. x n = z + x y} z z + x z + x y = (z + x) + x (y 1) y y 1 return z contatore

73 Moltiplicazione alla russa div raddoppio + + = Risultato = somma val. della seconda colonna quando quelli sulla prima sono dispari

74 Moltiplicazione alla russa + = dispari se 1 2 pari se 2 a k a k a ) ( 2 2 b b k b k b a k a + = = = b b b k b k b a k a + + = + = + = ) ( 1) ( = + dispari ) ( div 2) ( ) ( pari ) ( div 2) ( a b b a b z a b b a z b a z

75 Moltiplicazione alla russa MoltRussa (m, n) Pre. n, m interi positivi Post. ritorna n m a n, b m, z 0 while a > 0 do {inv. n m = z + a b} if a dispari then z z + b a a div 2 b b + b return z contatore accumulatore

76 Riassumendo Problema e algoritmo (il cosa ed il come) Specifica: pre e post-condizioni Correttezza parziale e totale Il metodo delle asserzioni Invarianti di ciclo Come (ri)-costruire un algoritmo iterativo Accumulatori (e contatori) in rapporto agli invarianti