ALGEBRA LINEARE I (A) PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 2003/04, GEMMA PARMEGGIANI

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1 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Unverstà degl Stud d Padova Dpartmento d Matematca Pura e Applcata va Belzon, Padova. Eserctazon a grupp svolte. Esercz tpo svolt Typeset by AMS-TEX

2 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCITAZIONI* D cascuna delle seguent matrc s dca se è scalare, dagonale, trangolare superore, trangolare nferore o nessuna delle precedent: 7 6, 6 6, 6, 6 6 6, 6 7, 6 6, 6 6, Sano A 6 3, B, C e D 4. 3 S calcol BDC A + 4C. 3 Sa A. S trovno tutte le matrc real B AB O x y tal che. z t BA O 4 Sano A una matrce reale n non nulla n cu la seconda rga è l doppo della prma. S trovno tutte le matrc real dagonal D tal che DA abba tutte le rghe ugual. 5 Sano A 3 +, B +, C , D. 3 a D cascuna delle precedent matrc s calcolno la trasposta, la conugata e la H-trasposta. b S calcol A H C + B T B + + 3D H. 6 D cascuna delle seguent matrc s dca se è smmetrca, ant-smmetrca, hermtana, ant-hermtana o nessuna delle precedent: , ,,, 3, S calcolno la parte hermtana e la parte ant-hermtana della matrce complessa A Una matrce A m m s dce nvertble o non sngolare se esste una matrce A tale che AA X O I m A A. S prov che se T è una matrce trangolare nferore a blocch con X e Z nvertbl, Y Z allora T è nvertble. Sugg.: Esstono matrc X e Z tal che XX I m X X e ZZ I n Z Z. X K S cerch V a blocch tale che TV I Y Z m+n VT esprmendo blocch X,Y,Z,K n funzone d X,Y,Z,X, e Z S rsolva l sstema lneare Ax b dove A e b. 4 3

3 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 3 Svolgmento delle Eserctazon * D cascuna delle seguent matrc s dca se è scalare, dagonale, trangolare superore, trangolare nferore o nessuna delle precedent: 7 6, 6 6, 6, 6 6 6, 6 7, 6 6, 6 6, scalar: dagonal: trang. sup.: trang. nf.: nessuna delle precedent: , 6 7, , 6 6 6, 6 7, , 6 7, 6 6, , 6 6, Sano A 3, B 3 S calcol BDC A + 4C., C e D 4. 4C DC

4 4 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 3 Sa A A DC A BDC A BDC A + 4C S trovno tutte le matrc real B x y Sa B una matrce reale. Pochè z t x y x z y t AB z t x y x x BA, z t z z x z z x la condzone AB O equvale a, ossa a y t t y x e la condzone BA O equvale a. z AB O x y tal che. z t BA O Dunque le matrc real B tal che AB O BA sono tutte e sole le matrc del tpo B y, dove y R. y e 4 Sano A una matrce reale n non nulla n cu la seconda rga è l doppo della prma. S trovno tutte le matrc real dagonal D tal che DA abba tutte le rghe ugual.

5 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 5 Pochè A ha due rghe ed esste DA, allora D ha due colonne. Qund, essendo D dagonale reale, è d D per opportun numer real d d e d. Dalla condzone che la prma rga d A è l doppo della seconda segue che se r T è la prma rga d A r T qund un vettore rga con n coordnate, allora A r T, per cu DA d r T d r d r T T d r T. A questo punto la condzone che DA abba le rghe ugual comporta che d r T d r T. Se fosse r T T non potremmo trarre alcuna conclusone su d e d. Ma r T T, altrment entrambe le rghe d A sarebbero nulle, mentre A è supposta non nulla. Ora d r T d r T r T T d d, per cu ogn matrce D 5 Sano A 3 d con d numero reale è soluzone del nostro problema. d +, B +, C , D a D cascuna delle precedent matrc s calcolno la trasposta, la conugata e la H-trasposta. b S calcol A H C + B T B + + 3D H.. 3 A T A A + H + B T B B + H C T C C H D T D D H 3

6 6 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI A H C + B T B + + 3D H D cascuna delle seguent matrc s dca se è smmetrca, ant-smmetrca, hermtana, ant-hermtana o nessuna delle precedent: , ,,, 3, smmetrche: ant-smmetrche: hermtane: ant-hermtane: nessuna delle precedent: + 5, ,

7 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 7 7 S calcolno la parte hermtana e la parte ant-hermtana della matrce complessa A Pochè A H 3, la parte hermtana d A è A + A H e la parte ant-hermtana d A è A A H ,.. 3 +

8 8 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCITAZIONI* S rsolva l sstema lneare Aαx bα dpendente dal parametro complesso α dove Aα α α α + α α α α e bα + α C 4. Sa A +. S calcol A 7. α α 3 S dca per qual α C la matrce Aα è non sngolare. Per tal α, s trov l nversa α d Aα. 4 Sa Aα calcol Aα. α + α + 3 dove α R. Per quegl α R per cu Aα è non sngolare, s α S trovno tutte le nverse destre della matrce A 6 S trovno tutte le nverse snstre della matrce A..

9 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 9 Svolgmento delle Eserctazon * S rsolva l sstema lneare Aαx bα dpendente dal parametro complesso α dove α α α Aα e bα + C 4. α α + α α α Trovamo una forma rdotta d Gauss della matrce aumentata del sstema. α α α Aα bα + E4α+E3 α α + α α α α α α + Bα cα. α + α + α + CASO α B c è una forma rdotta d Gauss per A b, qund A x b è equvalente a B x c che è una forma compatta per { x x x Pochè c è lbera, B x c ammette soluzon. Pochè B ha esattamente una colonna lbera, B x c ha soluzon. Sceglamo come parametro la varable corrspondente alla colonna lbera d B la 3 a e con la sosttuzone all ndetro da ottenamo x 3 h x x x L nseme delle soluzon del sstema B x c e qund l nseme delle soluzon del sstema A x b è h C. h CASO α α α α Bα cα + E3 α+ α + α + α +

10 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI α α α α α + E4 α+ α + Cα dα. α + α Sottocaso α C d è una forma rdotta d Gauss per A b, qund Ax b è equvalente a Cx d che è una forma compatta per Pochè d è lbera, Cx d ammette soluzon. x x x 3 Pochè tutte le colonne d C sono domnant, Cx d ammette un unca soluzone. L unca soluzone d Cx d e qund d Ax b è v. α α α Sottocaso α / {, } Cα dα + E4 α α α α α + Dα eα è una forma rdotta d Gauss per Aα bα. Pochè eα è domnante, Dαx eα e qund d Aαx bα non ammette soluzon. Sa A +. S calcol A 7. s ha: Pochè Rcordando che A a b c d + 7 ad bc d b c a 7 se ad bc, ,

11 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI allora A α α 3 S dca per qual α C la matrce Aα è non sngolare. Per tal α, s trov l nversa α d Aα. a b Rcordando che è non sngolare se e solo se ad bc ed n tal caso s ha c d a b c d ad bc d b c a, allora Aα è non sngolare se e solo se α α α α α +, ossa se e solo se α / {, }, ed n tal caso s ha: Aα α α + α α + α. α + α Sa Aα dove α R. Per quegl α R per cu Aα è non sngolare, s α + 4 calcol Aα.

12 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI α + α + 3 E Aα I 3 3 E α + 4 Se α / {, 3} α + α + 3 α : A non ha nv. E3α+E α+ α + α + α α + α + 3 α 3 : A 3 non ha nv. E 3 α+3 α+ α+ α + 3 α + α + 3 α+ α+ α+3 α+3 α + α + 3 α+ α+3 α+α+3 α+3 α + α+ α+α+3 α+3 α+4 α+3 α+ α+3 Aα α + α + 3 α+3 α+α+3 α+3 α+3 α+3 α+3 E 3 α+3 E3 α 3 E α I 3 Aα. α + 4α + α + α + 3 α +. α + α + 5 S trovno tutte le nverse destre della matrce A.

13 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 3 Un nversa destra d A è una matrce 3 R tale che se R c c, allora c è soluzone d Ax e e c è soluzone d Ax e. Cerchamo tutte le soluzon d e. E E A I E U b b. è equvalente a Ux b che è una forma compatta per { x + x x 3 x 3 Sceglamo come parametro la varable corrspondente all unca colonna lbera d U la a e con la sosttuzone all ndetro ottenamo x h x 3 x x + x 3 + h + h + L nseme delle soluzon d è h + h h C. è equvalente a Ux b che è una forma compatta per { x + x x 3 x 3 Sceglamo come parametro la varable corrspondente all unca colonna lbera d U la a e con la sosttuzone all ndetro ottenamo x k x 3 x x + x 3 k + L nseme delle soluzon d è k + k k C.

14 4 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI h + k + Per ogn h, k C, Rh,k h k è un nversa destra d A. 6 S trovno tutte le nverse snstre della matrce A. Sa B A T. Per l eserczo precedente, l nseme delle nverse destre d B è: h + k + Rh,k h k h, k C. Allora l nseme delle nverse snstre d A è: Lh,k Rh,kT h + h h, k C k + k.

15 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 5 ESERCITAZIONI* 3 Sa W {A M n C A A T } l nseme delle matrc ant-smmetrche complesse d ordne n. S prov che W è un sottospazo dello spazo vettorale delle matrc quadrate complesse d ordne n. Sa W {A M n C A A H } l nseme delle matrc hermtane complesse d ordne n. S prov che W non è un sottospazo dello spazo vettorale delle matrc quadrate complesse d ordne n. 3 Sa V R 3 spazo vettorale reale. S dca quale de seguent sottonsem d V è un sottospazo vettorale d V : S ; S ; ; S 3 ; ; ; ; S 4 a b a, b R S 5 a b + a, b R ; S 6 a a + b a, b R ; S 7 a + a a R ; S 8 a a a R. { } a b 4 Sa W a, b, c R l nseme delle matrc real smmetrche d ordne. b c. S prov che W è un sottospazo vettorale dello spazo vettorale reale M R.. S prov che W non è un sottospazo vettorale dello spazo vettorale M C. 3. S dca qual de seguent sottonsem d M R è un nseme d generator per W: { } { } a ; ; b ; ; { } { } c ; ; d ; ; { } e ; ; ;

16 6 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Svolgmento delle Eserctazon *3 Sa W {A M n C A A T } l nseme delle matrc ant-smmetrche complesse d ordne n. S prov che W è un sottospazo dello spazo vettorale delle matrc quadrate complesse d ordne n. O n n W: O T O O A,B W? A + B W A W A M n C A + B M n C B W B M n C A + B W A W A A T B W B B T A + BT A T + B T A + B A + B α C,A W? αa W A W A M n C αa M n C A W A A T αa T αa T α A αa αa W Sa W {A M n C A A H } l nseme delle matrc hermtane complesse d ordne n. S prov che W non è un sottospazo dello spazo vettorale delle matrc quadrate complesse d ordne n. O n n W: O H O A,B W? A + B W A W A M n C B W B M n C A W A A H A + B M n C B W B B H A + BH A H + B H A + B A + B W α C,A W? αa W A W A M n C αa M n C A W A A H αa H αa H αa

17 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 7 Non è vero che αa W per ogn scalare α ed ogn A W: prendendo A O s ottene che αa αa α α α R pochè A O Qund se O A W e α / R ad esempo se A I n e α allora αa / W. Dunque W non è un sottospazo dello spazo vettorale M n C. 3 Sa V R 3 spazo vettorale reale. S dca quale de seguent sottonsem d V è un sottospazo vettorale d V : S ; S ; ; S 3 ; ; ; ; S 4 a b a, b R S 5 a b + a, b R ; S 6 a a + b a, b R ; S 7 a + a a R ; S 8 a a a R. S è un sottospazo vettorale d V : l unco elemento d S è l vettore, e + S e α S per ogn scalare α S è l sottospazo nullo d R 3. S ed S 3 non sono sottospaz d V : entramb contengono e ma entramb non contengono e + e e d altra parte nessun sottonseme fnto d uno spazo vettorale W che contenga un elemento non nullo w può essere un sottospazo d W, perchè se lo fosse dovrebbe contenere l nseme nfnto d vettor {αw α scalare }. Per vedere se S 4 è o non è un sottospazo d V occorre stablre se le seguent condzon sono soddsfatte: S 4 u + v S 4 per ogn u,v S 4, αu S 4 per ogn u S 4 ed ogn scalare α. Pochè gl element d S 4 sono esattamente vettor d R 3 che hanno la terza coordnata nulla, allora S 4, noltre dal fatto che la somma d due vettor d R 3 con la terza coordnata nulla è un vettore d R 3 con la terza coordnata nulla s ha, e dal fatto che l prodotto d un vettore d R 3 con la terza coordnata nulla per uno scalare è un vettore d R 3 con la terza coordnata nulla segue. In smbol: S 4 Se u,v S 4 esstono a, b, a, b R tal che u a b e v a b,

18 8 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI noltre u + v S 4 a 3, b 3 R 3 u + v a 3 b 3. a Pochè u + v b + a b a + a b + b, basta prendere a 3 a + a e b 3 b + b. Se u S 4 esstono a, b R tal che u a b, noltre per ogn scalare α R c αu S 4 c, d R 3 αu d. Pochè αu α a b αa αb, basta prendere c αa e d αb. Dunque S 4 è un sottospazo d V. Per vedere se S 5 è o non è un sottospazo d V occorre stablre se le seguent condzon sono soddsfatte: S 5 u + v S 5 per ogn u,v S 5, αu S 5 per ogn u S 5 ed ogn scalare α. esstono a, b R tal che a b + : s prenda a e b, qund S 5 Se u,v S 5 esstono a, b, a, b R tal che u a b + e v a b +, noltre u + v S 5 a 3, b 3 R 3 u + v b 3 +. Pochè u + v a b + + a b + a + a b + b +, basta prendere a 3 a + a e b 3 b + b +. Se u S 5 esstono a, b R tal che u a b +, noltre per ogn scalare α R c αu S 5 c, d R 3 αu d +. a 3

19 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 9 Pochè αu α a b + αa αb + α, basta prendere c αa e d αb + α. Dunque S 5 è un sottospazo d V. Per vedere se S 6 è o non è un sottospazo d V occorre stablre se le seguent condzon sono soddsfatte: S 6 u + v S 6 per ogn u,v S 6, αu S 6 per ogn u S 6 ed ogn scalare α. esstono a, b R tal che a a + b : s prenda a b, qund S 6 noltre Se u,v S 6 esstono a, b, a, b R tal che u a a + b e v a a + b, u + v S 6 a 3, b 3 R 3 u + v a 3 a 3 + b 3. Pochè u + v a a + b + a a + a a + b a + a + b + b, basta prendere a 3 a + a e b 3 b + b. Se u S 6 esstono a, b R tal che u a a + b, noltre per ogn scalare α R αu S 6 c, d R 3 αu c c + d. Pochè αu α a a + b αa αa + αb, basta prendere c αa e d αb. Dunque S 6 è un sottospazo d V. Per vedere se S 7 è o non è un sottospazo d V occorre stablre se le seguent condzon sono soddsfatte: S 7 u + v S 7 per ogn u,v S 7, αu S 7 per ogn u S 7 ed ogn scalare α.

20 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Perchè appartenga a S 7 occorre che essta a R tale che a + a nell ncognta a non ha soluzon, allora S 7 non è un sottospazo d V. a + a. Pochè l sstema Per vedere se S 8 è o non è un sottospazo d V occorre stablre se le seguent condzon sono soddsfatte: S 8 u + v S 8 per ogn u,v S 8, αu S 8 per ogn u S 8 ed ogn scalare α. esste a R tale che a a : s prenda a. Qund S 8. Se u,v S 8 esstono a, b R tal che u a a e v b b, noltre u + v S 8 c R 3 u + v a b a + b Pochè u + v a + b a + b, basta prendere c a + b. c c. Se u S 8 esste a R tale che u a a, noltre per ogn scalare α R αu S 8 b R 3 αu Pochè αu α a a αa αa, basta prendere b αa. Dunque S 8 è un sottospazo d V. b b. { } a b 4 Sa W a, b, c R l nseme delle matrc real smmetrche d ordne. b c. S prov che W è un sottospazo vettorale dello spazo vettorale reale M R.

21 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI. S prov che W non è un sottospazo vettorale dello spazo vettorale M R. 3. S dca qual de seguent sottonsem d M R è un nseme d generator per W: { } { } a ; ; b ; ; { } { } c ; ; d ; ; { } e ; ; ;. MODO O W: O M R e O T O A W A M R B W B M R A W A A T A + B M R B W B B T A + BT A T + B T A + B A + B W α C,A W? αa W A W A M R αa M R A W A A T αa T αa T αa αa W MODO noltre esstono a, b, c R tal che a b b c Se A,B W esstono a, b, c, a, b, c R tal che Pochè u + v A a b b c : s prenda a b c. e B a b, b c A + B W a 3, b 3, c 3 R 3 a3 b A + B 3. b 3 c 3 a b a b + a + a b + b, basta prendere a b c b c b + b c + c 3 a + a, b 3 b + b, c 3 c + c. a b Se A W esstono a, b, c R tal che A b c, noltre per ogn scalare α R αa W a, b, c R 3 a b αa. b c

22 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI a b αa αb Pochè αa α, basta prendere a b c αb αc αa, b αb, c αc. Dunque W è un sottospazo d M R.. W non è un sottospazo d M C: se ad esempo s prende A I W ed α s ha che αa I / W dal momento che W M R e I / M R. a b 3. a Per ogn A W esstono a, b, c R tal che A. Pochè b c allora { ; ; a b a b c } + c + b è un nseme d generator d W. a b b Per ogn A W esstono a, b, c R tal che A b c a b a b c + c. Pochè + b { } allora ; ; è un nseme d generator d W. { } c Per provare che ; ; è un nseme d generator d W occorre provare che per ogn A W esstono α, α, α 3 R tal che α α A α + α + α 3 + α 3 α 3 α a b Pochè per ogn A W esstono a, b, c R tal che A, l problema dventa provare che per ogn b c a, b, c R l sstema α a α + α 3 b α 3 b α c nelle ncognte α, α, α 3 ha soluzone. a b Pochè l sstema ha soluzone se e solo se c, allora ogn matrce A con c non è combnazone lneare degl element d ; ;, qund ; ; b c { } { } { } non è un nseme d generator d W d altra parte la matrce / W, per cu ; ; non è nemmeno un sottonseme d W.

23 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 3 { } d Per provare che ; ; che per ogn A W esstono α, α, α 3 R tal che è un nseme d generator d W occorre provare α α A α + α + α 3 α α + α 3 a b Pochè per ogn A W esstono a, b, c R tal che A, l problema dventa provare che per ogn b c a, b, c R l sstema α a α b α + α 3 c nelle ncognte α, α, α 3 ha soluzone. Prendendo α a, α b e α 3 c α c a s ottene che ogn a b A s puó scrvere: b c a b A a b c + b Dunque ogn A W è combnazone lneare degl element d è un nseme d generator d W. { e ; ; { } ; ; ; } + c a { ;. ; } è un nseme d generator d W perchè contene che è un nseme d generator d W punto a. che qund

24 4 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCITAZIONI* 4 Sa S v ;v ;v 3 + ;v 4. S dca se S è un nseme d generator d C 3. Sano V uno spazo vettorale ed S {v ;v ;v 3 } un nseme d generator d V. S dca quale de seguent nsem d vettor è ancora un nseme d generator d V : S {v + v ;v + v + v 3 ;v + v + 4v 3 }, S {v + v ;v + v + v 3 ;v + v + v 3 }. 3 S dca quale de seguent sottonsem d R 3 è lnearmente ndpendente: v 4 ;v 4 6 ;v 3, w ;w ;w Sano V uno spazo vettorale ed S {v ;v ;v 3 } un nseme lnearmente ndpendente d vettor d V. S dca quale de seguent nsem d vettor d V è lnearmente ndpendente: S {v + v 3 ;v + v 3 ;v + v + v 3 }, S {v v 3 ;v + v ;v + v 3 }. 5 Sa W l nseme delle matrc real smmetrche. L nseme S { C ;C è un nseme d generator d W. S trov una base d W contenuta n S. 3 ;C 3 3 ;C 4 ;C 5 }

25 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 5 Svolgmento delle Eserctazon *4 Sa S v ;v ;v 3 + ;v 4. S dca se S è un nseme d generator d C 3. a b c Il problema è stablre se per ogn α + α + α α 4 a b C 3 esstano o meno α, α, α 3, α 4 C tal che c ossa se per ogn a, b, c C l sstema nelle ncognte α, α, α 3, α 4 α α + + α 3 + α 4 a α α + α 3 + α 4 b α α + α 3 c abba o meno soluzone. + a b E3 E E c a E b a 3E c a a b a U d. c a + b a α α + + α 3 + α 4 α α + α 3 + α 4 α α + α 3 Pochè esstono valor d a, b, c C tal che c a + b a, ossa tal che d sa domnante, allora S non è un nseme d generator d C 3. Ad esempo prendendo a b e c s ottene che non s puó esprmere come combnazone lneare degl element d S, per cu / S e dunque S è propramente contenuto n 3., Sano V uno spazo vettorale ed S {v ;v ;v 3 } un nseme d generator d V. Typeset by AMS-TEX

26 6 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI S dca quale de seguent nsem d vettor è ancora un nseme d generator d V : S {v + v ;v + v + v 3 ;v + v + 4v 3 }, S {v + v ;v + v + v 3 ;v + v + v 3 }. Se V {} allora ogn elemento d V, ed n partcolare ogn elemento d S e d S è l vettore nullo. In questo caso S S e S è un nseme d generator d V. Supponamo ora che V {}. S V se e solo se ogn vettore d V s puó esprmere come combnazone lneare degl element d S, ossa se e solo se per ogn v V esstano scalar α, α, α 3 tal che v α v + v + α v + v + v 3 + α 3 v + v + 4v 3. Sa dunque v V. Pochè per potes S {v ;v ;v 3 } è un nseme d generator d V, allora esstono scalar β, β, β 3 tal che v β v + β v + β 3 v 3. E suffcente allora lmtars a cheders se v, v e v 3 s possano esprmere come combnazon lnear de vettor d S. Se tutt e tre quest vettor s possono esprmere come combnazon lnear degl element d S, allora ogn vettore d V puó esprmers come combnazone lneare degl element d S e S è un nseme d generator d V, altrment no. S osserv che v 3 è senz altro combnazone lneare de vettor d S, perchè v 3 v + v + v 3 v + v, qund abbamo che S è un nseme d generator d V se e solo se entramb v e v s possono esprmere come combnazon lnear de vettor d S. Pochè v sa una combnazone lneare degl element d S occorre che esstano scalar α, β, δ tal che v αv + v + βv + v + v 3 + δv + v + 4v 3, ossa tal che s abba α + β + δ v + α + β + δv + β + δv 3. Se l nseme S da cu samo partt è lnearmente ndpendente allora da s ottene l sstema lneare nelle ncognte α, β, δ α + β + δ α + β + δ β + δ che non ha soluzon, per cu v non è combnazone lneare de vettor d S ed S non è un nseme d generator d V.

27 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 7 Se nvece l nseme d generator S da cu samo partt è lnearmente dpendente, non possamo trarre alcuna conclusone su S. S consderno ad esempo le due seguent stuazon: { }. V R ed S v ;v ;v 3 che è un nseme d generator d R. In questo caso S { } v + v ;v + v + v 3 ;v + v + 4v 3 4 è un nseme d generator d V R. {. V R ed S v R. In questo caso S ;v } ;v 3 che è un nseme d generator d { } 3 5 v + v ;v + v + v 3 ;v 3 + v + 4v 3 5 non è un nseme d generator d V R. Come nel punto precedente abbamo che S è un nseme d generator d V se e solo se v, v e v 3 possono essere espress come combnazon lnear de vettor d S. Pochè v v + v + v + v + v 3 v + v + v 3 v v + v + v 3 v + v + v 3 v 3 v + v v + v + v 3 allora S è sempre un nseme d generator ovvamente nell potes che S sa un nseme d generator. 3 S dca quale de seguent sottonsem d R 3 è lnearmente ndpendente: v 4 ;v 4 6 ;v 3, w ;w ;w 3 4. Il problema è stablre se gl unc numer real α, α, α 3 per cu α v +α v +α 3 v 3 sano α α α 3, oppure no. Pochè, dat α, α, α 3 R, s ha α v + α v + α 3 v 3 α 4 + α α 3 4α + 4α + α 3 α + 6α α 3, α + α + α 3

28 8 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI allora α v + α v + α 3 v 3 se e solo se 4α + 4α + α 3 α + 6α α 3 α + α + α 3 Il problema dventa qund stablre se l sstema nelle ncognte α, α, α 3 abba un unca soluzone e qund la soluzone nulla, oppure no. La matrce aumentata d è: Facendo un elmnazone d Gauss s ottene: 4 4 / 6 E3EE 4 4 / E 4 / U. Pochè non tutte le colonne d U sono domnant, allora ha soluzon. In partcolare ha una soluzone non nulla, e qund {v,v,v 3 } è lnearmente dpendente ad esempo, pochè è equvalente a { α α α 3 α α 3 prendendo α 3 con la sosttuzone all ndetro s ottene α ed α α + α 3 +, ossa è una soluzone non nulla d e v + v + v 3 è una combnazone lneare nulla d v,v,v 3 con coeffcent non tutt null. α w + α w + α 3 w 3 α + α + α 3 4 α + α α + 4α 3 α + α α + α α + 4α 3 α + α

29 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 9 Facendo un elmnazone d Gauss sulla matrce aumentata d s ottene: 4 E E3 E E U. nulla Pochè tutte le colonne d U sono domnant, allora ha come unca soluzone la soluzone, ossa α w + α w + α 3 w 3 α α α 3. Qund {w,w,w 3 } è lnearmente ndpendente.

30 3 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 4 Sano V uno spazo vettorale ed S {v ;v ;v 3 } un nseme lnearmente ndpendente d vettor d V. S dca quale de seguent nsem d vettor d V è lnearmente ndpendente: S {v + v 3 ;v + v 3 ;v + v + v 3 }, S {v v 3 ;v + v ;v + v 3 }. αv + v 3 + βv + v 3 + δv + v + v 3 β + δv + α + δv + α + β + δv 3 β + δ α + δ α + β + δ pochè S è L.I. Facendo un elmnazone d Gauss sulla matrce aumentata d s ottene: E E3 E 3 E3 U. Pochè tutte le colonne d U sono domnant, l unca soluzone d è lnearmente ndpendente., qund S è αv v 3 + βv + v + δv + v 3 α + βv + β + δv + α + δv 3 α + β β + δ α + δ pochè S è L.I. Facendo un elmnazone d Gauss sulla matrce aumentata d s ottene: E3 E3 U.

31 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 3 Pochè U ha una colonna non domnante, ha soluzon, n partcolare ha una soluzone non nulla, qund S è lnearmente dpendente. 5 Sa W l nseme delle matrc real smmetrche. L nseme S { C ;C è un nseme d generator d W. 3 ;C 3 3 S trov una base d W contenuta n S. ;C 4 ;C 5 } MODO Restrngamo un nseme d generator d W. Sa α C + α C + α 3 C 3 + α 4 C 4 + α 5 C 5 O una combnazone lneare nulla de vettor d S. Allora da 3 α + α + α α 4 α + α + α 3 + α 4 α + 3α + α 3 + α 5 α + 3α + α 3 + α 5 α 4 + α 5 + α 5 s ottene l sstema lneare, nelle ncognte α, α, α 3, α 4, α 5 α + α + α 3 + α 4 α + 3α + α 3 + α 5 α 4 + α 5 Facendo una E.G. sulla sua matrce aumentata s ha: 3 E E, per cu l sstema è equvalente al sstema α + α + α 3 + α 4 α + α 3 + α 4 α 5 α 4 + α 5 l cu nseme delle soluzon è h 5k h + 3k h h, k R k k

32 3 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Prendendo una sua soluzone non nulla, ad esempo s ponga h e k, s ottene C C + C 3 O, per cu C,C e C 3 sono combnazon lnear degl altr element d S e cascuno d loro puó essere scelto come elemento da elmnare da S. Sceglamo d toglere da S la matrce C combnazone lneare degl altr element d S e ponamo { } 3 S C ;C 3 3 ;C 4 ;C 5 S è ancora un nseme d generator d W. Sa α C +α C 3 +α 3 C 4 +α 4 C 5 O una combnazone lneare nulla de vettor d S. Allora da 3 α + α α +α 3 +α 3 +α 4 + α 3 3α + α + α 4 3α + α + α 4 α 3 + α 4 s ottene l sstema lneare, nelle ncognte α, α, α 3, α 4 α + α + α 3 3α + α + α 4 α 3 + α 4 Facendo una E.G. sulla sua matrce aumentata s ha: 3 E 3E 3 E per cu l sstema è equvalente al sstema α + α + α 3 α + 3α 3 α 4 α 3 + α 4 l cu nseme delle soluzon è h 5h h R h h Prendendo una sua soluzone non nulla, ad esempo 5 C + 5C 3 C 4 + C 5 O, 3, s ponga h, s ottene

33 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 33 per cu C,C 3, C 4 e C 5 sono combnazon lnear degl altr element d S e cascuno d loro puó essere scelto come elemento da elmnare da S. Sceglamo d toglere da S la matrce C combnazone lneare degl altr element d S e ponamo { } S C 3 ;C 4 ;C 5 S è ancora un nseme d generator d W. Sa α C 3 + α C 4 + α 3 C 5 O una combnazone lneare nulla de vettor d S. Allora da α + α α + α + α 3 α + α 3 α + α 3 α + α 3 s ottene l sstema lneare, nelle ncognte α, α, α 3 α + α α + α 3 α + α 3 Facendo una E.G. sulla sua matrce aumentata s ottene: E E3 E E3 L unca soluzone del sstema è quella nulla, per cu S è lnearmente ndpendente, ed è una base d W contenuta n S. MODO Invece d toglere successvamente vettor che sano combnazon lnear d quell rmast, ossa nvece d restrngere nsem d generator, s puó allargare nsem L.I. Ad esempo:. C per cu {C } è L.I. Tenamo C. Chamamo S S.. {C ;C } è L.I. Tenamo C. Chamamo S S. 3. {C ;C ;C 3 } è L.D. Toglamo C 3. Chamamo S 3 S \ {C 3 } {C ;C ;C 4 ;C 5 }. 4. {C ;C ;C 4 } è L.I. Tenamo C 4. Chamamo S 4 S {C ;C ;C 4 ;C 5 } è L.D. Toglamo C 5. Chamamo S 5 S 4 \ {C 5 } {C ;C ;C 4 }. Dunque S 5 {C ;C ;C 4 } è una base d W contenuta n S.

34 34 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCITAZIONI* 5 a Esste un applcazone lneare f : R R tale che Nf R? {} b Esste un applcazone lneare f : R R tale che Nf R \? c Esste un applcazone lneare f 3 : R \ Sa A α α 3 α +, dove α C. 3 3α 3 α + 3 {} R tale che Nf 3 R \ {}? a Per ogn α C s dca qual è rka α e s trovno una base B α d CA α ed una base D α d RA α. b Sa A A la matrce che s ottene ponendo α. S trov una base dello spazo nullo NA d A. 3 Sano w,w,w 3,z 3,z,z 3 a S prov che B {w ;w ;w 3 } e B {z ;z ;z 3 } sono due bas ordnate d R 3. b S scrva la matrce d passaggo da B a B. a b 4 Sa f : M R R defnta da f c d a S prov che f è un applcazone lneare. a + b. a + c b S determn la matrce A assocata ad f rspetto alle bas ordnate B { ; ; ; } e D { } ; su domno e codomno rspettvamente. 5 Sa A la matrce assocata ad un applcazone lneare f : R 3 3 R rspetto alle bas ordnate B v ;v ;v 3 { } e D w ;w su domno e codomno rspettvamente. S determn la matrce A assocata ad f rspetto alle bas ordnate B v ;v ;v 3 { } e D w ;w su domno e codomno rspettvamente..

35 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 35 Svolgmento delle Eserctazon *5 a Esste un applcazone lneare f : R R tale che Nf R? {} b Esste un applcazone lneare f : R R tale che Nf R \? {} {} c Esste un applcazone lneare f 3 : R \ R tale che Nf 3 R \? a Supponamo che f essta, e vedamo se la condzone mposta, ossa Nf R, contraddce o meno le condzon che f deve soddsfare per essere un applcazone lneare, ossa: I l domno ed l codomno d f devono essere spaz vettoral entramb compless oppure entramb real, II f v + v f v + f v per ogn v,v nel domno d f, III f αv αf v per ogn v nel domno d f, ed ogn scalare α. Osservamo subto che l domno ed l codomno d f sono entramb R, che è uno spazo vettorale reale, e qund che I è soddsfatta a prescndere da. Pochè Nf {v R f v }, allora Nf R f v v R f, ossa se e solo se f è la funzone defnta n R e a valor n R che assoca ad ogn vettore d R l vettore chamamo tale funzone e scrvamo che v R per ogn v R. Occorre qund vedere se la funzone defnta n R e a valor n R verfca II e III, oppure no. Per II: v + v + v + v per ogn v,v R. Per III: αv α v per ogn v R, ed ogn scalare α. Dunque esste un applcazone lneare f : R R tale che Nf R, anz ne esste una sola ed è defnta da f v per ogn v R. D altra parte sapevamo gà che per ogn scalare λ la funzone f λ : R R defnta da f λ v λv è un applcazone lneare. In partcolare prendendo λ s ottene l applcazone lneare. b Procedamo come al punto precedente supponendo che f essta ed osservamo subto che la condzone I è verfcata a prescndere dalla condzone mposta, che n questo caso è {} {v R f v } Nf R \. Dunque s rchede che f e f v per ogn v.

36 36 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Perchè sa soddsfatta la condzone II, occorre che f v + v f v + f v v,v R, n partcolare per ogn v,v R con v v e v +v e v s dovrebbe avere f v +v f v + v f appl. lneare f v + f v ad esempo v v v che non è possble. Dunque f soddsfacente a tutte le condzon rcheste non esste. +, Avremmo potuto rspondere alla domanda con meno fatca rcordandoc che lo spazo nullo d un applcazone lneare è sempre un{ sottospazo } del domno. Qund se f esstesse l suo spazo nullo, che s rchede essere R \, dovrebbe essere un sottospazo d R. Ma {} R \ non è un sottospazo d R. {} Un modo per vedere è osservare che, ad esempo, u R \, ma l multplo {} scalare αu d u con α non appartene a R \ :. {} c Abbamo vsto al punto precedente che R \ non è uno spazo vettorale esste {} {} u R \ ed un suo multplo scalare u / R \ qund ogn funzone defnta {} su R \, non essendo defnta su d uno spazo vettorale, non può essere un applcazone lneare. In altre parole una f 3 soddsfacente le condzon rcheste non esste. Sa A α α 3 α +, dove α C. 3 3α 3 α + 3 a Per ogn α C s dca qual è rka α e s trovno una base B α d CA α ed una base D α d RA α. b Sa A A la matrce che s ottene ponendo α. S trov una base dello spazo nullo NA d A. a A α α 3 α + E3 3E α α + 3 α B α 3 3α 3 α + 3 α

37 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 37 CASO α + 3 coè α { 3, 3} B α 3 α E3 α α! 3 α U α α e rka α 3 Una base B α d CA α è B α ; ; α α Una base D α d RA α è D α ; ;. α Qund: B 3 ; ; e D 3 3 ; 3 ;, 3 B 3 ; ; e D 3 3 ; ; 3. 3 CASO α + 3 coè α / { 3, 3} B α α α + 3 α E α +3 α α α +3 α α Sottocaso α C 3 U rka Una base B d CA è B ; 3. 3 Una base D d RA è D ; 3. Sottocaso α / { 3, 3, } α +3 C α

38 38 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI C α α α α +3 α α +3 E3 α α α α +3 rka α 3 Una base B α d CA α è B α ; α 3 ; α + 3 3α. α + 3 α Una base D α d RA α è D α ; α ;. +3 α α +3 α +3 U α b A Una forma rdotta d Gauss per A è U trovata nel sottocaso. 3 Per l Teorema nulltà+rango, dm NA numero delle colonne d A rk A 4. Pochè NA NU { x C 4 U x }, allora x x x NA x 3 x 4 { x + x 3 + x 4 x + 3 x 3 Prendendo come parametr le varabl corrspondent alle colonne lbere d U, ossa la 3 a e la 4 a, con la sosttuzone all ndetro s ottene x 3 h x 4 k x 3 x 3 3 h x x 3 x 4 h k h k Qund NA NU 3 h h, k C h. Ponendo: k v 3 e v, h k h k

39 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 39 s ottene che una base d NA è v 3 ;v. 3 Sano w,w,w 3,z,z,z 3. 3 a S prov che B {w ;w ;w 3 } e B {z ;z ;z 3 } sono due bas ordnate d R 3. b S scrva la matrce d passaggo da B a B. a Sano A ed A le matrc che hanno come colonne gl 3 element d B e d B rspettvamente. Occorre provare che entrambe hanno rango uguale a 3 s veda l Eserczo Tpo. Facendo una E.G. su A s ottene: A E E3E E3 per cu rkarku 3, ed, analogamente, facendo una E.G. su A s ottene: A E3 3 E36E U 3 per cu rka rku 3. 6 b La matrce d passaggo M B B da B a B è M B B C B z C B z C B z 3 C B C B C B. 3 Puttosto che calcolare separatamente C B, C B e C B, calcolamo C B a b 3 c per un generco vettore a b R 3, e specalzzamo la formula ottenuta a tre dvers vettor c,,. Pochè 3 C B a b c α β δ a b c α + β + δ U

40 4 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI allora C B a b c α β δ α + β α + δ a b β c ossa α, β e δ sono tal che α + β a α + δ b β c α a + c β c δ a + b c per cu C B a a + c b c c a + b c Dunque M B B a b 4 Sa f : M R R defnta da f c d a S prov che f è un applcazone lneare. a + b. a + c b S determn la matrce A assocata ad f rspetto alle bas ordnate B { ; ; ; } e D { } ; su domno e codomno rspettvamente. a Per provare che f è un applcazone lneare occorre provare : a b. f a b + a b f a b + f c d c d? c d c d per ogn a, b, c, d, a, b, c, d R a b a b. fα αf per ogn α, a, b, c, d R c d? c d

41 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 4 a b. f a b + c d c d a + a + b + b a + a + c + c a + b a + b + a + c a + c def. somma matrc propr. assoc. e commut. d + n R def. f a b f c d a + a f b + b c + c d + d a + b + a + b a + c + a + c a b + f c d def. f def. somma vettor colonna. a b fα c d def. prod. d uno scal. per una matr. αa + b αa + c def. prod. d uno scal. per un vett. colonna αa αb f αc αd def. f α a + b a + c def. f αa + αb αa + αc a b αf c d propr. dstr. n R b La matrce A assocata ad f rspetto alle bas ordnate B e D su domno e codomno rspettvamente è la matrce A C D f Dalla defnzone d f s ottene: qund A C D C D C D f C D f f, f f, f C D C D C D f,., Calcolamo le coordnate rspetto alla base ordnata D d un generco elemento a C D b α β t.c. a α + β b. a R b.

42 4 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Facendo un elmnazone d Gauss sulla matrce aumentata del sstema { α + β a α β b ottenamo: a b E a 3 b a E /3 a, a b/3 per cu con la sosttuzone all ndetro { β a b/3 α β + a b a/3 + a a + b/3 a a + b/3 Dunque C D b a b/3 C D a b C D a b, e n partcolare s ha:, C D /3, C /3 D a b a b 4/3, 4/3. La matrce A assocata ad f rspetto alle bas ordnate B e D su domno e codomno rspettvamente è qund la matrce 4/3 /3 A. /3 /3 5 Sa A la matrce assocata ad un applcazone lneare f : R 3 3 R rspetto alle bas ordnate B v ;v ;v 3 { } e D w ;w su domno e codomno rspettvamente. S determn la matrce A assocata ad f rspetto alle bas ordnate B v ;v ;v 3 { } e D w ;w su domno e codomno rspettvamente. La matrce A assocata ad f rspetto alle bas ordnate B e D su domno e codomno rspettvamente è la matrce A M D D AM B B dove M D D è la matrce d passaggo da D a D e M B B è la matrce d passaggo da B a B.

43 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 43 Per calcolare M D D C D w C Dw, calcolamo per prma cosa le coordnate rspetto a a D d un generco R b. a α C D b β Rsolvendo l sstema { a α αw b + βw α + β α + β { α a α a ottenamo α + β b β a + b, qund a C D b a. a + b In partcolare, specalzzando a w e w ottenamo C D w C D, C D w C D a b per cu M D D a b. L nversa d M D D e qund M D D. Per calcolare M B B C B v rspetto a B d un generco C B a b c α β δ Rsolvendo l sstema ottenamo qund a b c a b c R 3., C Bv C Bv 3, calcolamo per prma cosa le coordnate αv + βv + δv 3 α α + β a α + δ b β c + β + δ β c α β + a c + a, δ α + b c + a + b c a + b C B a b a c c. c a + b + c In partcolare, specalzzando a v, v e v 3 ottenamo C B v C B a b c, C B v C B a b c α + β α + δ β,

44 44 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI per cu M B B C B v 3 C B a b c. La matrce A che cerchamo è qund A M D D AM B B 3,.

45 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 45 ESERCITAZIONI* 6 S verfch che φ : C 3 R defnta da φ a b a b + a c + b+c è una norma. c 5 Sano z ed S {x R 4 x z }. S prov che esstono x,x S tal che x x x per ogn x S, e s calcolno x e x. 3 Sa V l sottospazo d C generato da a S verfch che.,. : V V C defnto da a a qund V { a, 4 S trov una base d V ne seguent cas: a V sottospazo d C 3, b V sottospazo d C, c V ; ; ; sottospazo d C. 5 S trov una base ortonormale del sottospazo d C 4 V ; ; ;. a C}. b 3ab è un prodotto nterno. b

46 46 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Svolgmento delle Eserctazon *6 S verfch che φ : C 3 R defnta da φ a b a b + a c + b+c è una norma. c φ φ Pochè φx per ogn x C 3, per provare che basta provare che ossa basta provare che x φx > x φx, φx x. Dalla defnzone d φ s ottene: φx x a a b a b a c a c b b + c b + c c a b c x. φα a b φ αa αb αa αb + αa αc + αb + αc c αc α a b + α a c + α b + c α a b + a c + b + c α φ a b. c 3 φ a b + a b φ a + a b + b c c c + c a + a b + b + a + a c + c + b + b + c + c a b + a b + a c + a c + b + c + b + c a b + a b + a c + a c + b + c + b + c φ a + φ a. b c b c

47 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 47 5 Sano z ed S {x R 4 x z }. S prov che esstono x,x S tal che x x x per ogn x S, e s calcolno x e x. S { { { x R max { x x 5, x 4 } } R x x 5 e x 4 } R 4 x 6 e 3 x 5 } x x x x Qund se x S allora x x x + x , e pochè S e , allora x e x 3 5. x Inoltre se x S allora x x x + x , e pochè 6 e 5 6 6, allora x e x S 5 3 Sa V l sottospazo d C generato da a S verfch che.,. : V V C defnto da a a qund V { a, a C}. b 3ab è un prodotto nterno. b v,u? u,v per ogn u a b,v V a b b a a b, 3ba 3ab,. b a a b def. d.,. def. d.,. u, αv+βz? αu,v+βu,z per ogn u a,v a b,z b c V, α, β C c

48 48 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI a b c a αb + βc u, αv + βz, α + β, 3aαb + βc a b c a αb + βc a b a c α3ab + β3ac α, + β, αu,v + βu,z a b a c 3,? a a? a a,, 3 a a a a,, a R a > a 3aa 3 a a a a, a R a > 4 S trov una base d V ne seguent cas: a V sottospazo d C 3, b V sottospazo d C, c V,,, sottospazo d C. a Se A allora CA V e V CA NA H. Facendo un elmnazone d Gauss su A H ottenamo: A H E Pochè NA H NU e U dmnu numero delle colonne d U rango d U 3, una base d V ha element d altra parte dmv e dmc 3 3, per cu a pror potevamo dedurre che dmv dmc 3 dmv 3. x x x NA H NU x + x + x 3 x 3

49 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 49 h k qund NU h h, k C. k Una base d V è, b Se A allora CA V e V CA NA H. Facendo un elmnazone d Gauss su A H ottenamo: A H + E U Pochè NA H NU e dmnu numero delle colonne d U rango d U 4 3, una base d V ha 3 element d altra parte dmv e dmc 4 4, per cu a pror potevamo dedurre che dmv dmc 4 dmv 4 3. x x x NA H NU x 3 x + x 4 x 4 h r qund NU h, k, r C k. r Una base d V è +,, c Se A, allora CA V e V CA NA H. Facendo un elmnazone d Gauss su A H ottenamo:

50 5 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI A H E 3 E E 3 U E 4 E Pochè NA H NU e dmna numero delle colonne d U rango d U 4, una base d V ha element. x x x x 3 x 4 NA H NU h Qund NA H k h, k C h. k Una base d V NA H è x x + x 3 x 4,. x + x 4 5 S trov una base ortonormale del sottospazo d C 4 V,,,. Costruamo dapprma una base d V: ponamo w, w, w 3, w 4

51 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 5 e calcolamo una base d CA dove A w w w 3 w 4. A w w w 3 w 4 E 4 E 3 E U E 4E Pochè U ha come colonne domnant la a e la 3 a, allora una base d CA V è {w,w 3 }. Trovamo una base ortogonale d V applcando l algortmo d Gram-Schmdt a v w,v w 3. u v u v α u, u α u,v u,u u,v u H v + u,u u H u u v α u v u α 4 Dunque {u,u } è una base ortogonale d V.

52 5 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 3 Costruamo base ortonormale d V normalzzando la base ortogonale trovata al punto, ossa dvdendo cascun elemento della base ortogonale trovata n per la propra norma eucldea. Comncamo con l calcolare la norma eucldea d u ed u : Allora u u,u 4 u u,u è una base ortonormale d V. B { u u, }, u u

53 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 53 ESERCITAZIONI* 7 S calcol la proezone ortogonale d v sul sottospazo U ; ; d C 3. S calcol la proezone ortogonale d v sottospazo U d C 3. 3 S calcol l determnante delle seguent matrc: sul complemento ortogonale U A + 3, B + +, C. del 4 Sa A una matrce n n antsmmetrca, coè tale che A T A. S prov che se n è dspar allora A è sngolare ossa A non ha nversa.

54 54 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Svolgmento delle Eserctazon *7 S calcol la proezone ortogonale d v sul sottospazo U ; ; d C 3. I Trovamo una base ortonormale d U. Ponamo w,w,w 3 A w w w 3. e calcolamo una base d CA dove A w w w 3 U E E 3 E Pochè U ha come colonne domnant la a e la 3 a, allora una base d CA U è {w ;w 3 }. Applchamo ora l algortmo d Gram-Schmdt a v w ;v w 3 per trovare una base ortogonale d U. u v u v α u, u α u,v u,u u,v u H v u,u u H u α u v α u v u

55 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 55 u ;u è una base ortogonale d U. u u,u u u,u u u u ;u u H u u u è una base ortonormale d V. II La proezone ortogonale d v su U è P U v u,vu + u,vu dove u,v u H v u,v u H v. 3 3 Qund P U v 3 u S calcol la proezone ortogonale d v sottospazo U d C 3. sul complemento ortogonale U del Nell eserczo 4 a delle Eserctazon *6 abbamo trovato una base d U : v ;v Applchamo l algortmo d Gram-Schmdt a {v ;v } per trovare una base ortogonale d U.

56 56 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI u v u v α u, u v u u α u,v u,u u,v u H v u,u u H u + α Una base ortogonale d U è: u ;u Per trovare una base ortonormale d U normalzzamo quella appena trovata: Dunque u u u H u u u H u 3 u u ;u u u La proezone ortogonale d v su U è è una base ortonormale d U. P U v u,vu + u,vu

57 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 57 dove Qund u,v u H v + u,v u H v 3. 3 P U v S calcol l determnante delle seguent matrc: A + 3, B + +, C. Convene svluppare DetA rspetto alla rga o alla colonna che contengono pú zer. In questo caso convene svlupparlo rpetto alla a rga oppure alla 3 a colonna. Faccamolo n entramb mod, per eserczo. Rspetto alla a rga: DetA + Det Rspetto alla 3 a colonna: Det DetA 3 +3 Det Det Svluppamo DetB, ad esempo rspetto alla a colonna: Det + + Det + + Det Det

58 58 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Infne svluppamo DetC ad esempo rspetto alla 3 a rga: + DetC Det 3+ Det Det Det + Svluppamo l prmo addendo rspetto alla a colonna, mentre l secondo ed l terzo addendo rspetto alla a rga. Det Det + 3+ Det + + Det + + Det Det Det Det + +3 Det Qund DetC Sa A una matrce n n antsmmetrca, coè tale che A T A. S prov che se n è dspar allora A è sngolare ossa A non ha nversa. Da A T A segue che DetA T Det A. Per la propretà 5 de determnant s ha che DetA T DetA. Inoltre da ponendo c s ottene Dunque se n è dspar abbamo DetcA c n DetA Det A n DetA DetA. n dspar DetA DetA T Det A DetA, per cu DetA. Dalla propretà 7 de determnant segue ora che A è sngolare.

59 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 59 ESERCIZIO TIPO Rsolvere l sstema lneare Ax b dove A e b Trovamo una forma rdotta d Gauss della matrce aumentata del sstema. A b E3 E E E 4 3 U d. Il sstema Ax b è equvalente al sstema Ux d che è una forma compatta per { x x + 3x 3 + x 4 x 3 + x 4 Pochè d è lbera, Ux d ammette soluzon. Pochè U ha esattamente due colonne lbere, Ux d ha soluzon. Sceglamo come parametr le varabl corrspondent alle colonne lbere d U la a e la 4 a e con la sosttuzone all ndetro da ottenamo x h x 4 k x 3 x 4 + k + x x 3x 3 x 4 + h 3 k + k + h k + L nseme delle soluzon del sstema Ux d e qund l nseme delle soluzon del sstema Ax b è h k + h k + h, k C. k

60 6 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO S rsolva l sstema lneare Aαx bα dpendente dal parametro reale α dove α α + α + Aα e bα α α α α α + α α +. Trovamo una forma rdotta d Gauss della matrce aumentata del sstema. α α α + α + α + Aα bα E3 E E α α α α α + α α α E 4 α α α + α α α Bα cα. α α CASO α B c è una forma rdotta d Gauss per A b, qund Ax b è equvalente a Bx c che è una forma compatta per { x + x + x 3 x + x 3 Pochè c è lbera, Bx c ammette soluzon. Pochè B ha esattamente una colonna lbera, Bx c ha soluzon. Sceglamo come parametro la varable corrspondente alla colonna lbera d B la 3 a e con la sosttuzone all ndetro da ottenamo x 3 h x x 3 + h + x x x 3 + h + h +

61 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 6 L nseme delle soluzon del sstema Bx c e qund l nseme delle soluzon del sstema Ax b è h + h C. h CASO α α α α Bα cα E3 α α α α α α E 4 α α α α α Cα dα. α + Sottocaso α C d è una forma rdotta d Gauss per A b, qund A x b è equvalente a C x d che è una forma compatta per x x + x 3 x x 3 x 3 Pochè d è lbera, C x d ammette soluzon. Pochè tutte le colonne d C sono domnant, C x d ammette un unca soluzone. Con la sosttuzone all ndetro da ottenamo x 3 x x 3 + x x x 3 L unca soluzone d C x d e qund d A x b è v. Sottocaso α / {, }

62 6 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI α α α Cα dα E4 α+ α + α α α Dα eα è una forma rdotta d Gauss per Aα bα. Pochè eα è domnante, Dαx eα e qund d Aαx bα non ammette soluzon.

63 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 63 ESERCIZIO TIPO 3 S trovno tutte le nverse destre della matrce A. 3 Un nversa destra d A è una matrce 3 R tale che se R c c, allora c è soluzone d Ax e e c è soluzone d Ax e. Cerchamo tutte le soluzon d e. E E A I 3 3 E U b 6 b. è equvalente a Ux b che è una forma compatta per { x + x x 6x 3 Sceglamo come parametro la varable corrspondente all unca colonna lbera d U la 3 a e con la sosttuzone all ndetro ottenamo x 3 h x 6x 3 + 6h + x x + 6h + + 3h L nseme delle soluzon d è 3h 6h + h C. h è equvalente a Ux b che è una forma compatta per { x + x x 6x 3 Sceglamo come parametro la varable corrspondente all unca colonna lbera d U la 3 a e con la sosttuzone all ndetro ottenamo x 3 k x 6x 3 6k x x 6k 3k +

64 64 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI L nseme delle soluzon d è 3k + 6k k C. k 3h 3k + Le nverse destre d A sono esattamente tutte le matrc del tpo Rh,k 6h + 6k, h k al varare d h, k C. ESERCIZIO TIPO 3 bs S trovno tutte le nverse snstre della matrce A. 3. Ponamo B A T.. Cerchamo tutte lenverse destre d B. Dall ESERCIZIO TIPO 3 sappamo che sono tutte 3h 3k + e sole le matrc del tpo 6h + 6k con h, k C. h k 3. Una matrce è nversa snstra d A se e solo se è la trasposta d una nversa destra d B. 3h 6h + h Qund le nverse snstre d A sono esattamente tutte le matrc del tpo 3k + 6k k al varare d h, k C.

65 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 65 ESERCIZIO TIPO 4 Sa Aα α α α, dove α C. Per quegl α C per cu Aα è non sngolare, s calcol Aα. Aα I 3 α α α E αe α α : A non ha nversa α α α E3 α α α E α α E3 α α : A non ha nversa α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α E 3 α+ α α α E 3 E α α α I 3 Aα. Se α / {, } Aα α α α + + α α α α α. α α

66 66 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 5 S prov che S {v ;v ;v 3 ;v 4 ;v 5 } è un nseme d generator d R 3. Sa S {w ;w S è un nseme d generator d R ;w 3 ;w 4 ;w }. S dca se Per provare che S è un nseme d generator d R 3 occorre provare che per ogn esstono α, α, α 3, α 4, α 5 R tal che a b c R 3 a b c α v + α v + α 3 v 3 + α 4 v 4 + α 5 v 5 α + α + α 3 + α 4 + α 5 α + α + α 3 α + α + α 4 α 3 α 4 + α 5 ossa che l sstema lneare α + α + α 3 a α + α + α 4 b α 3 α 4 + α 5 c nelle ncognte α, α, α 3, α 4, α 5 ha soluzone qualunque sano a, b, c R. Facendo una elmnazone d Gauss sulla matrce aumentata del sstema s ottene a b E c a b a c E 3 E a a b U d. c + b a Pochè d è lbera qualunque sano a, b, c R, allora ha soluzone qualunque sano a, b, c R, per cu S è un nseme d generator d R 3. Per sapere se S è o meno un nseme d generator d R 3 dobbamo verfcare se per ogn

67 a b c ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 67 R 3 esstano o meno α, α, α 3, α 4, α 5 R tal che a b α w + α w + α 3 w 3 + α 4 w 4 + α 5 w 5 c α + α α 3 + α 4 + α α + 3α + α 3 + α 4 + 4α 5 α + 3α + α 4 + 3α 5 α 3 + α 4 + α 5 ossa se l sstema lneare α + 3α + α 3 + α 4 + 4α 5 a α + 3α + α 4 + 3α 5 b α 3 + α 4 + α 5 c nelle ncognte α, α, α 3, α 4, α 5 abba o meno soluzone per ogn a, b, c R. Se avesse soluzone per ogn a, b, c R allora S sarebbe un nseme d generator d R 3, n caso contraro ossa se esstono a, b, c R per cu non ha soluzone no. Facendo una elmnazone d Gauss sulla matrce aumentata del sstema s ottene 3 4 a 3 3 b 3 4 a b a E c c E 3 E 3 4 a a b U d. c + b a Pochè esstono a, b, c R per cu d è domnante ad esempo s prendano a b e c, allora S non è un nseme d generator d R 3 n altre parole: pochè esstono de vettor d R 3 che NON s possono esprmere come combnazone lneare degl element d S, ad esempo l vettore nseme d generator d R 3., allora S NON è un

68 68 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 6 Sano v, v 3, v 4 3. S dca se S {v ;v ;v 3 } C 4 è lnearmente dpendente o lnearmente ndpendente. Sano α, β, δ C tal che αv + βv + δv 3 α + β + δ 3 4 Allora equvale a α + β + δ β + δ 3α + 4β + δ α + δ è un sstema lneare nelle ncognte α, β, δ. ha sempre la soluzone nulla ossa α β δ.. α + β + δ β + δ 3α + 4β + δ α + δ Se essa dovesse essere l unca soluzone d qund se avesse un unca soluzone allora S sarebbe L.I., altrment, se ha anche una soluzone non nulla qund se ha pú d una soluzone allora S è L.D. Cerchamo allora le soluzon d. Facendo una elmnazone d Gauss sulla sua matrce aumentata s ottene 3 4 E 4E 3 3 U E 4 E 3 Dunque è equvalente ad { α + β + δ β + δ Sceglendo come parametro la varable corrspondente all unca colonna non domnante d U δ h la 3 a, con la sosttuzone all ndetro s ottene β δ h α β δ h h h Il sstema ha soluzon: tutt gl element dell nseme h h h R. h.