G. Parmeggiani, 11/1/2019 Algebra Lineare, a.a. 2018/2019, numero di MATRICOLA PARI. Svolgimento degli Esercizi per casa 11 (prima parte) = ( x) 2i x

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Florindo Toscano
4 anni fa
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1 G. Parmggan, //29 Algbra Lnar, a.a. 28/29, Scuola d Scnz - Cors d laura: Studnt: Statstca pr l conoma l mprsa Statstca pr l tcnolog l scnz numro d MATRICOLA PARI Svolgmnto dgl Esrcz pr casa (prma part) Sa A = ( ). S calcolno: gl autovalor d A, l loro moltplctà algbrc l loro moltplctà gomtrc. Il polnomo carattrstco d A è: p A (x) ( ) x = Dt(A xi 2 ) = Dt = ( x) x 2 ( ) = x = = x 2 4. Gl autovalor d A sono gl zr dl polnomo carattarstco p A (x) d A, ossa l soluzon dll quazon p A (x) =. Dal momnto c l soluzon dll quazon sono 2 2, gl autovalor d A sono: x 2 4 = λ = 2 λ 2 = 2. Sano m d m 2 l moltplctà algbrc d d 2 l moltplctà gomtrc d λ λ 2 rspttvamnt. Da p A (x) = x 2 4 = (x + 2)(x 2) = (x λ ) m (x λ 2 ) m2 ottnamo: m = m 2 =.

2 Infn, da d m = pr =, 2, ottnamo: 2 2 Sa A = 8. 6 S calcolno: gl autovalor d A, l loro moltplctà algbrc l loro moltplctà gomtrc. Il polnomo carattrstco d A è: d = d 2 =. p A (x) 2 x = Dt(A xi ) = Dt 8 x = 6 x ( ) 2 x = ( ) 2+2 ( 8 x)dt = 6 x = ( 8 x)[( 2 x)( 6 x) 4 2 ] = = ( 8 x)(2 + 6x + 2x + x 2 + 4) = = ( 8 x)(x 2 + 8x + 6) = = ( 8 x)(x + 4) 2. Gl autovalor d A sono gl zr dl polnomo carattrstco p A (x) d A, ossa l soluzon dll quazon p A (x) =. Dal momnto c l soluzon dll quazon sono 8 4, gl autovalor d A sono: ( 8 x)(x + 4) 2 = λ = 8 λ 2 = 4. Sano m d m 2 l moltplctà algbrc d d 2 l moltplctà gomtrc d λ λ 2 rspttvamnt. Da p A (x) = ( 8 x)( 4 x) 2 = (λ x) m (λ 2 x) m2 ottnamo: 2

3 m = m 2 = 2. Infn, da d m = pr =, 2, ottnamo: d = d 2 2. d 2 = dm(e A (λ 2 )) = dm(e A ( 4)) = dm(n(a + 4I )) = = [numro dll colonn d (A + 4I )] [rk(a + 4I )] = = [rk(a + 4I )]. Da una E.G. su A + 4I ottnamo: 2 A + 4I = 4 2 E 2( 4 ) E( )E( 2 ), 4 pr cu ( rk(a + 4I ) = rk ) = 2 qund d 2 = 2 =. S trovno bas dgl autospaz dll matrc consdrat ngl srcz 2. L matrc consdrat ngl srcz 2 sono: A = ( ) 2 B = 8, 6 d abbamo calcolato:

4 matrc autovalor moltplctà gomtrc A λ = 2 λ 2 = 2 d = d 2 = B λ = 8 λ 2 = 4 d = d 2 = In partcolar, cascuno dgl autospaz E A (λ ) d E B (λ ) pr =, 2 a dmnson, pr cu una sua bas a un unco lmnto. E A (λ ) = E A ( 2) = N(A + 2I 2 ) = N Da una E.G. su A + 2I 2 : E A ( 2) = N 2 ) = N 2 ( ( 2 ) ) 2 ( ) 2 E 2( )E ( 2 ) 2 ) = ( ), sgu { ( ) } C, { ( ) } qund è una bas d E A (λ ) = E A ( 2). 2 ) E A (λ 2 ) = E A (2) = N(A 2I 2 ) = N 2 ( ) 2 E 2( )E ( 2 ) ( ) Da una E.G. su A 2I 2 :, sgu 2 E A (2) = N 2 ) = N 2 ) = { ( ) } C, { ( ) } qund è una bas d E A (λ 2 ) = E A (2). E B (λ ) = E B ( 8) = N(B + 8I ) = N( 6 ) 2 Da una E.G. su B + 8I : 6 2 E( )E( 6 ) 8 4 E2( 8 )E2,

5 sgu c E B ( 8) = N( 6 ) ( = N ) { = C }, 2 { qund } è una bas d E B (λ ) = E B ( 8). E B (λ 2 ) = E B ( 4) = N(B + 4I ) = N( 2 4 ) 2 Da una E.G. su B + 4I : sgu c E( )E( 2 ) 4 E2( 4 ), E B ( 4) = N ( 2 4 ) ( = N ) { = C }, 2 { qund } è una bas d E B (λ 2 ) = E B ( 4). 4 Sa A(α) = α, dov α C. 5 (a) Pr ogn α C s calcolno gl autovalor d A(α) l loro moltplctà algbrc gomtrc. (b) Sano A = A(2) B = A( 8) l matrc c s ottngono ponndo α = 2 d α = 8 rspttvamnt. S trovno bas dgl autospaz d A d B. (a) Gl autovalor d A(α) sono gl zr dl suo polnomo carattrstco. polnomo carattrstco d A(α) è: Il 5

6 p A(α) (x) = Dt(A(α) xi ) = x = Dt α x = 5 x ( ) x = ( ) 2+2 (α x)dt = 5 x = (α x)[( x)( 5 x) 2] = = (α x)(5 + 5x + x + x 2 2) = = (α x)(x 2 + 6x 6). L quazon α x = a un unca souzon: α. L quazon x 2 + 6x 6 = a du soluzon dstnt: 8 2. Qund ottnamo: matrc autovalor moltplctà algbrc moltplctà gomtrc A(α) λ = 8 m = d = α { 8, 2} λ 2 = 2 m 2 = d 2 = λ = α m = d = A = A(2) λ = 8 m = d = λ 2 = 2 m 2 = 2 d 2 2 B = A( 8) λ = 8 m = 2 d 2 λ 2 = 2 m 2 = d 2 = Pr fnr d rspondr alla domanda (a) rsta da calcolar: d 2 = dm(e A(2) (λ 2 )) = dm(e A (2)) d = dm(e A( 8) (λ )) = dm(e B ( 8)). 6

7 dov A = A(2) B = A( 8). ( E A (2) = N(A 2I ) = N ) Da una E.G. su A 2I : E( )E2( )E( ), sgu c d 2 = dm(e A (2)) = dm(n(a 2I ) = = [(numro d colonn d A 2I ) rk(a 2I )] = = 2. Da una E.G. su B + 8I : E B ( 8) = N(B + 8I ) = N( ) E( )E2( )E2 E2( )E2( ), sgu c d = dm(e B ( 8)) = dm(n(b + 8I ) = = [(numro d colonn d B + 8I ) rk(b + 8I )] = 2 =. (b) Al Punto (a) abbamo vsto c la matrc A = A(2) a autovalor λ = 8 λ 2 = 2 con moltplctà gomtrc d = d 2 = 2. E A ( 8) = N(A + 8I ) = N( )

8 Da una E.G. su A + 8I : E( )E2( )E( ) E2( ), sgu c E A ( 8) = N( ) = N( ) { = C }, { } è una bas d E A ( 8). Al punto (a) abbamo vsto c ( E A (2) = N ) ( = N ), pr cu { k E A (2) = }, k C k { ; } è una bas d E A (2). Al punto (a) abbamo anc vsto c la matrc B = A( 8) a autovalor λ = 8 λ 2 = 2 con moltplctà gomtrc d = d 2 =. E B (2) = N(B 2I ) = N( ) Da una E.G. su B 2I : E( )E2( )E( ) E2( ), sgu c 8

9 E B (2) = N( ) = N( ) { = C }, { } è una bas d E B (2). Al punto (a) abbamo vsto c ( E B ( 8) = N ) ( = N ), pr cu { E B ( 8) = } C { } è una bas d E B ( 8). 9

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