Calcolo delle Probabilità: esercitazione 10

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Alessia Corradini
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1 Calcolo dll Probablà: srcazon 0 Argono: Dsrbuzon noral (pag. 47 sgun dl lbro d so). Valor aso, varanza (pag. sgun). Dsrbuzon bvara dscr (pag. 44 sgun) covaranza (pag 45 sgun). NB: asscurars d conoscr l dfnzon, l proprà rchaa l rlav dosrazon quando ncssaro Esrczo Sa Z la una v.a. con dsrbuzon noral sandard. S drn:. la funzon gnrarc d on d Z. la funzon gnrarc d on d Z + µ > 0 µ R Soluzon Z. () E( ) + z + + ( z z) ( z z ± ) z dz dz π π dz π Z + π + ( z z + ) ( z ) dz dz π (ssndo l ngral prcdn qullo d una dnsà noral d da ). () µ Z () µ ( ) ( ) µ+

2 Calcolo dll Probablà: srcazon 0 Esrczo S supponga ch l lvllo d colsrolo n una cra popolazon abba dsrbuzon Noral con da µ dvazon sandard (n g pr 00 l). Sapndo ch µ , ) s calcol la probablà ch l lvllo d colsrolo sa nfror a 360; ) s calcol la probablà ch l lvllo d colsrolo sa supror a 50; 3) s drn l lvllo d colsrolo suprao dal 90% dlla popolazon. S nolr s dspon d una sconda sura Y dl lvllo d colsrolo, ndpndn da cararzzaa da una dsrbuzon Noral con da 50 varanza 3500, 4) s drn la dsrbuzon dlla da arca d Y. Soluzon lvllo d colsrolo n una popolazon N(µ, ) con µ qund 60 ) P(<360) P(Z<5/3) dov Z N(0,); ) P(>50) 05675; 3) x 83. è soluzon dll quazon x 60 x 60 P(>x) P z > 0.9 da cu ) S suppon d dsporr d una sconda sura Y dl lvllo d colsrolo, ndpndn da cararzzaa da una dsrbuzon Noral con da µ Y 50 varanza Y W(+Y)/ ha dsrbuzon Noral con da 55 varanza 775. Infa: Y Y W W() E( ) E E E µ Qus ula è la fg d una noral d da ( + Y ) µ + + µ Y Y µ Y + 55 varanza ( µ +µ Y ) + ( + ) 4 Y

3 Calcolo dll Probablà: srcazon 0 Esrczo 3 S consdr la funzon d probablà d una v.c. bdnsonal dscra (,Y) dfna dalla ablla sgun. Y Y Y 3 0. k k 4 4k 0.5 k. S drn l valor d k ch rnd la prcdn una funzon d probablà bvaraa s drnno l funzon d probablà dll v.c. argnal.. S rapprsnno grafcan l funzon d rparzon dll v.c. argnal. 3. S calcolno P(Y 4) P( 4 Y ). 4. S sablsca s Y sono ndpndn, ovando la rsposa. 5. S calcol Cov(,Y). Soluzon. Affnché la ablla dfnsca una funzon d probablà occorr ch ) p(x,y)>0 da cu k>0 ) p (xy) da cu 0.+k+k+4k+0.5+k y x Sosundo s on 8k0.4 qund k0.05. Y Y Y L funzon d probablà dll v.a. argnal Y sono da, rspvan, da: Poso P( x) p(x) s ha p( ) ¼ p(4) ¾; Poso P(Yy) q(y) s ha q( ) 0.3, q() 0.6 q(3) 0.. 3

4 Calcolo dll Probablà: srcazon 0. Indcando con F(x)P( x) x, 4 s ha F() Analogan pr Y P(Y 4) P(Y, 4) / P( 4) 0.5 / 0.75 / P( 4 Y ) P(Y, 4) / P(Y ) 0.5 / 0.6 5/ Y non sono ndpndn. Infa nl caso d ndpndnza q(y x) q(y) pr ogn x y. Ma nl caso n sa P(Y 4) / P(Y) q() Essndo: E() p( ) + 4 p(4) ¼ + 4 ¾.5 E(Y).0.3 E(Y) , s on Cov(,Y) E(Y) E()E(Y)

5 Calcolo dll Probablà: srcazon 0 Esrczo 4 S supponga ch l lvllo d una sosanza nqunan abba dsrbuzon Noral con da µ dvazon sandard (n crogra pr ro cubo). Sapndo ch µ ,. s calcol la probablà ch l lvllo dll nqunan sa nfror a 340;. s drn l lvllo dll nqunan suprao con probablà S nolr s dspon d una sconda sura Y dl lvllo dll nqunan, ndpndn da con la dsa dsrbuzon Noral, 3. s drn la dsrbuzon conguna d Y, ovando la rsposa; 4. s drn la dsrbuzon dlla dffrnza ra Y, ovando la rsposa. 5. Il lvllo U d un alro nqunan ha dsrbuzon N(µ, ). Sapndo ch la probablà ch l lvllo dll nqunan sa nfror a 8.3 è par a 0. la probablà ch al lvllo sa supror a 359 è par a 0.05, s drnno la da µ la dvazon sandard dlla dsrbuzon d U. Soluzon N(µ, ) con µ P(<340) < < 0.908; 60 P P Z P( Z <.33) x 60. x 6.6 è soluzon dll quazon P(>x) Pz > x 60 Infa s ha. 64 qund x La funzon d dnsà conguna è daa dal prodoo dll dnsà argnal pr l assunzon d ndpndnza ra Y. Dao ch d Y s ha φ ( x, y, µ µ Y 60, Y 60, ρ 0) π Y W Y ha dsrbuzon Noral con da 0 varanza 700. Infa: W () E W Y Y µ+ ( ) µ+ ( ) ( ) E( ) E( ) E( ) () ( ) Y 5

6 Calcolo dll Probablà: srcazon 0 Qus ula è la fg d una noral d da 0 varanza Sapndo ch la probablà ch l lvllo U sa nfror a 8.3 è par a 0. la probablà ch al lvllo sa supror a 359 è par a 0.05, U ha dsrbuzon Noral con da 59.8 dvazon sandard Al rsulao s gung rsolvndo pr µ l ssa P(U>359) P(Z < (359 µ)/) 0.05 P(U < 8.3) P(Z < (8.3 µ)/) 0. 6

7 Calcolo dll Probablà: srcazon 0 Esrczo 5 S drn la dsrbuzon dlla varabl casual ndpndn, nl caso n cu:.,, sono v.a. d Brnoull con pararo θ. S, dov,, sono v.a..,, sono v.a. con dsrbuzon Bnoal con parar θ n,,. 3.,, sono v.a. con dsrbuzon d Posson d pararo rspvan λ,, λ. 4.,, sono v.a. con dsrbuzon aa d parar θ,, 5. S vrfch ch s,, sono v.a. ndpndn con dsrbuzon noral sandard allora ha dsrbuzon ch-quadrao con grad d lbrà 6. S drn la dsrbuzon dlla varabl S nl caso n cu N(µ, ),, fra loro ndpndn Soluzon S S ( ) E E( ). () E pr l ndpndnza d,, θ( ) ( θ + θ ) n S noa co la fg dlla soa d n Brnoull ndpndn d ugualn dsrbu sa ugual alla fg dlla Bnoal. Quso dosra, pr alra va, la rlazon ssn fra la Bnoal la Brnoull. S S ( ) E E( ). () E pr l ndpndnza d,, n ( θ( )) ( θ( )) N con N n 7

8 Calcolo dll Probablà: srcazon 0 8 S noa co qus ula sa la fg d una v.a. Bnoal d parar θ N. Cò dosra la proprà rproduva dlla v.a. Bnoal rspo al pararo rapprsnan l nuro dll prov. 3. ) ( S ( ) S () E pr l ndpndnza d,, ( ) ( ) ( )Λ λ λ dov λ Λ S noa ch qus ula è la fg d una Posson d pararo Λ dosrando così la proprà rproduva dlla varabl casual rspo a quso pararo. 4. ) ( S ( ) S () E pr l ndpndnza d,, A θ θ θ θ θ θ dov A Qus ula è la fg d una aa(θ,a) qund S aa(θ,a) La dsrbuzon gaa è qund rproduva rspo al pararo. 5. χ aa(/,/),, (ch quadro con un grado d lbrà, s vda l srcazon ) aa(/,/) (pr la rproduvà dlla gaa) χ (pr df. d ch-quadro con grad d lbrà) 6. ) S ( ( ) ( ) ( ) + µ + µ S ) ( E E E ( ) µ+ Qus ula è la fg d una noral d parar µ µ ch qund rsula rproduva (pr,,,) rspo ad nrab parar a anch una fagla d dsrbuzon chusa rspo all cobnazon lnar

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