La tecnica lagrangiana applicata al problema del Commesso Viaggiatore (TSP) Paolo Detti Università di Siena

Transcript

1 La cnca lagrangana applcaa al problma dl Commo Vaggaor TSP Paolo D Unvrà d Sna

2 Un lowr bound lagrangano pr l problma dl TSP Dao un grafo GV,A con p ugl arch, una formulazon pr l TSP mmrco è la gun: mn c A δ A V, j: S,j V S n VV S V {,} A

3 Un lowr bound lagrangano pr l problma dl TSP Dfnzomn d -Tr Dao un grafo GV,A Un -Tr è un oografo d G, WV,A al ch A è formao dagl arch d un albro rcoprn nod d V\ da aamn du arch ncdn al nodo.

4 Un lowr bound lagrangano pr l problma dl TSP Dfnzomn d -Tr Dao un grafo GV,A Un -Tr è un oografo d G, WV,A al ch A è formao dagl arch d un albro rcoprn nod d V\ da aamn du arch ncdn al nodo. GV,A WV,A

5 Daa un anza d TSP, un cclo Hamlonano u G è un parcolar -Tr Un lowr bound lagrangano pr l problma dl TSP Sa -T* l -Tr d coo mnmo a C H * l cclo Hamlonano d coo mnmo, ha qund: * * H T C

6 Un lowr bound lagrangano pr l problma dl TSP Rlaamo n modo lagrangano vncol δ rlav a ol nod n V \ {} Il problma Lagrangano è: L mnc A, δ δ A,j: S,j VS V S V {,} A I vncol dfncono l nm d -Tr u G

7 La funzon obvo può rcrvr nl gun modo: mn V, A c δ Un lowr bound lagrangano pr l problma dl TSP,, ;,,,,, ;, mn mn mn V j A j j V, V,, j j j A j, V, A c c c c c δ δ δ δ δ

8 Il problma lagrangano è qund: L mn c c j al ch, δ δ, j A;, j, A V,j: S,j VS S V {, } A Inm d -Tr u G ch può r rolo, fao, calcolando l -Tr d coo mnmo d G n cu p ugl arch dpndono da

9 Calcolo dl -Tr d coo mnmo u G E facl vrfcar ch un -Tr d coo mnmo on: - calcolando l albro rcoprn d coo mnmo ul grafo ndoo u G dall nm d nod V\ - aggungndo agl arch d quo albro rcoprn du arch d coo mnmo ncdn n.

10 Un algormo pr l calcolo d un mnmo albro rcoprn Torma: Dao un oografo G d G. Sa T un albro rcoprn d G a u,v l arco d po mnmo al ch u G v G Allora ra u gl albr rcoprn d G ch conngono u gl arch d T n uno con po mnmo ch conn l arco u,v

11 Un algormo pr l calcolo d un mnmo albro rcoprn. Dao GV,A d un nodo V, a T V,A, V {}, A ;. Sa u,v l arco d po mnmo d G al ch u V v V. Aggung l nodo v a V l arco u,v a A : V V {v}, A A u,v. S V conn u nod d G STOP, alrmn orna al pao.

12 Calcolo dl -Tr d coo mnmo u G E facl vrfcar ch un -Tr d coo mnmo on: - calcolando l albro rcoprn d coo mnmo ul grafo ndoo u G dall nm d nod V\ - aggungndo agl arch d quo albro rcoprn du arch d coo mnmo ncdn n. C H * T * 9

13 L Empo d applcazon dlla cnca lagrangana mn c c j al ch, δ δ, j A;, j, A V,j: S,j VS S V {, } A Inm d -Tr u G ch può r rolo, fao, calcolando l -Tr d coo mnmo d G n cu p ugl arch dpndono da

14 Empo d applcazon dlla cnca lagrangana Fao, l problma Lagrangano con nl calcolar l - Tr d coo mnmo d G n cu p ugl arch ono modfca nl modo gun L mn c c j, δ, j A;, j,

15 Mamzzazon dlla funzon lagrangana Pao L Ma L Applcazon dl Modo dl ubgradn Calcolo dl -r d coo mnmo: L T * T * 9 9

16 Calcolo dl ubgradn: { } \ V δ Applcazon dl Modo dl ubgradn

17 Applcazon dl Modo dl ubgradn Calcolo dl ubgradn: { } \ V δ L UB α θ θ Calcolo dl nuovo vor d molplcaor d Lagrang: θ Supponamo, pr mplcà ch

18 Applcazon dl Modo dl ubgradn,. Inzalzzazon:. Calcolo dl -Tr d coo mnmo: 9 * T L L UB α θ. Calcolo dl ubgradn: { } \ V δ. Calcolo dl nuovo vor d molplcaor d Lagrang: θ θ

19 Applcazon dl Modo dl ubgradn. Soluzon dl nuovo problma Lagrangano: L L Modfca d co dl Grafo

20 Applcazon dl Modo dl ubgradn. Soluzon dl nuovo problma Lagrangano: L L Grafo con co modfca -Tr d po mnmo -T * * T L L

21 Applcazon dl Modo dl ubgradn. Soluzon dl nuovo problma Lagrangano: L L * * H C T L L * C H