Teoria. Tale retta limite non sempre esiste. Si veda il grafico sottostante. Matematica 1

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1 LA ERVATA UNA FUNZONE Toria l problma dlla tangnt Uno di problmi classici c portano al conctto di drivata è qullo dlla dtrminazion dlla rtta tangnt a una curva in un punto. La tangnt ad una circonfrnza è qulla rtta c intrsca la circonfrnza in un solo punto. Qusta dfinizion prò non va bn pr tutt l curv. Ci sono anc rtt c intrscano una curva in un solo punto, ma non sono tangnti alla curva (pr smpio, l ass dlla parabola la intrsca solo nl vrtic, ma non è tangnt). La dfinizion corrtta di rtta tangnt, valida pr tutti i tipi di curv è la sgunt: La rtta tangnt a una curva in un punto è la posizion it, s sist, dlla rtta scant al tndr (sia da dstra sia da sinistra) di a. Tal rtta it non smpr sist. Si vda il grafico sottostant. Matmatica

2 rivata di una funzion ata una funzion dfinita in crto dominio,, pr trovar la rtta tangnt alla curva in un suo punto,, considriamo un altro punto +, + ) dlla curva. Tracciamo la rtta scant il grafico la rtta tangnt al grafico nl punto. Nl triangolo rttangolo la tangnt dll angolo acuto è ugual al rapporto fra il catto opposto all angolo il catto adiacnt, cioè: + Tal sprssion è dtta rapporto incrmntal dlla funzion rlativo al punto. + è dtto incrmnto dlla variabil dipndnt. + è dtto incrmnto dlla variabil indipndnt. Attribundo a valori smpr piu piccoli, ( 0 ), il punto si avvicina smpr di piu al punto. La rtta scant tnd a divntar la rtta tangnt alla curva in. l cofficint angolar dlla rtta scant, ossia il rapporto incrmntal, tnd al cofficint angolar dlla tangnt alla curva in. finizion ata una funzion, dfinita in un intrvallo,, si ciama drivata dlla funzion nl punto, si indica con, il it, s sist d è finito, pr 0, dl rapporto incrmntal di rlativo a. n simboli: + Tal it è da considrarsi sia pr >0, sia pr <0. Una funzion si dic drivabil in un punto s sist finita la drivata. n particolar: - la funzion è dfinita in un intorno dl punto ; - sist finito il it dl rapporto incrmntal di rlativo a + S il it dl rapporto incrmntal non sist o è infinito, si dic c la funzion non è drivabil in qul punto. S la funzion è drivabil in ciascun punto, si dic c ssa è drivabil nll intrvallo,. simboli utilizzati pr indicar la drivata di una funzion sono:. Matmatica

3 La drivata sinistra la drivata dstra Poicé la drivata di una funzion è un it (il it dl rapporto incrmntal), a snso dfinir la drivata sinistra la drivata dstra di una funzion. finizion La drivata dstra di una funzion in un punto è: La drivata sinistra di una funzion in un punto è: + + Significato gomtrico dlla drivata La drivata di una funzion in un punto rapprsnta il cofficint angolar dlla rtta tangnt al grafico dlla funzion nl suo punto di ascissa. n simboli:. La rtta tangnt al grafico dlla funzion nl suo punto di ascissa a quazion: dov 0. La funzion drivata, al variar di, fornisc il cofficint angolar di tutt l rtt tangnti alla funzion Punti stazionari punti stazionari sono qui punti in cui la tangnt al grafico dlla funzion è parallla all ass. Qusto si vrifica quando l quazion dlla tangnt è dl tipo 0 +, ossia quando il cofficint angolar dlla rtta tangnt è zro. Ricordando c si a la sgunt dfinizion. finizion Un punto di una funzion è dtto punto stazionario o punto a tangnt orizzontal s 0. punto di MN RELATVO punto di MAX RELATVO punto di FLESSO punto di FLESSO Matmatica 3

4 Punti di non drivabilità punti di non drivabilità sono qui punti in cui il it dl rapporto incrmntal non sist o è infinito. Esaminiamo i divrsi tipi di non drivabilità. Flssi a tangnt vrtical L rtt scanti passanti pr il punto tndono alla rtta vrtical, man mano c gli ultriori punti di intrszion si avvicinano a. Tutt qust rtt scanti anno cofficint angolar smpr dllo stsso sgno. La funzion a nl punto di ascissa un flsso a tangnt vrtical s: + OPPURE + Cuspidi L rtt scanti passanti pr il punto tndono alla rtta vrtical, man mano c gli ultriori punti di intrszion (punto variabil ) si avvicinano a. Tutt l rtt scanti passanti pr il punto, a sinistra di, anno il cofficint angolar dllo stsso sgno; mntr tutt l rtt scanti passanti pr il punto, a dstra di, anno il cofficint angolar dllo stsso sgno ma opposto a qullo dll rtt scanti passanti pr. La funzion a nl punto di ascissa una cuspid s: + OPPURE Matmatica 4

5 Punti angolosi La funzion a nl punto di ascissa un punto angoloso s: ntramb finit OPPURE una finita l altra infinita ntramb finit una finita l altra infinita La continuità la drivabilità di una funzion S è drivabil nl punto è continua nl punto alla idntità: Si ricava: ; Calcoliamo il it di ntrambi i mmbri: Pr ipotsi è drivabil nl punto, quindi il it Prtanto il it dl mmbro è: Sostitundo nll sprssion si a: + Tal sprssion quival a dir c la funzion la è continua nl punto. nfatti s poniamo + si a: Non val il torma invrso. +. Matmatica 5

6 L drivat fondamntali imostriamo l formul di drivazion dll funzioni più importanti. Qust formul prmttono di calcolar l drivat dll funzioni snza dovr calcolar il it dl rapport incrmntal. La drivata dlla funzion costant è zro Qusto risultato può ssr ottnuto anc graficamnt. nfatti la funzion rapprsnta una rtta orizzontal prtanto la rtta tangnt ad ssa è la rtta stssa, la qual ssndo orizzontal a cofficint angolar zro. La drivata dlla funzion è + +. Qusto risultato può ssr ottnuto anc graficamnt. nfatti la funzion rapprsnta la bisttric dl primo trzo quadrant. Prtanto la rtta tangnt ad ssa è la rtta stssa, la qual a cofficint angolar. La drivata dlla funzion è La drivata dlla funzion è La drivata dlla funzion è con Matmatica 6

7 Prcè nllo sviluppo dlla Potnza di un binomio Mntr 3...! La drivata dlla funzion è con >0 Caso particolar La drivata dlla funzion è. La drivata dlla funzion è f ' ( ) 0 0 f ( + ) f () + log t log 0 + log 0 ( + ) log t t log + log + log t t + log 0 log + ponndo t 0 t t La drivata dlla funzion è log Essndo loga log log log loga log a loga log a loga Matmatica 7

8 La drivata dlla funzion è f ' ( ) 0 f ( + ) f () La drivata dlla funzion è + è La drivata dlla funzion è f ' ( ) sn cos - f ( + ) f () ( cos -) 0 + cos sn 0 cos - sn( + ) sn 0 sn cos + cos sn sn 0 cos - sn sn + cos cos poicé ( cos + ) ( cos + ) 0 sn 0 sn 0 sn sn 0 0 cos + La drivata dlla funzion è f ' ( ) 0 0 cos f ( + ) f () ( cos -) 0 sn sn cos ( + ) cos 0 cos cos sn sn cos 0 cos - sn cos sn - sn La drivata dlla funzion è tg sn cos cos cos cos ( sn ) sn + cos + sn cos cos Matmatica 8

9 TEOREM SULLE ERVATE rivata dlla somma [ f () + g () ] f () + g () [ f() + g() ] 0 [ f ( + ) + g( + ) ] [ f () + g() ] [ f ( + ) f ()] + [ g( + ) g() ] 0 f ( + ) f () g( + ) g() + f () + g () 0 0 rivata dl prodotto [ f () g () ] f () g() + f() g () [ f() g() ] 0 [ f ( + ) g( + ) ] [ f () g() ] f ( + ) g( + ) f () g() + f ( + ) g() f ( + ) g() 0 aggiungndo sottrando f( + ) g() [ g( + ) g() ] + g() [ f ( + ) f ()] f ( + ) 0 g( + ) g() f ( + ) 0 f ( + ) f () + g() 0 f() g () + f () g() rivata dl prodotto di una costant pr una funzion [ k g () ] k f () [ k f() ] k f( + ) k f() k f( + ) k f() k f( + ) f() k f () rivata dl quozint f() g() f ( ) g( ) [ g( )] f ( ) g ( ) f( + ) f() f( + ) g() g( + ) f() f() g( + ) g() g( + ) g() g() 0 0 aggiungndo sottrando f() g() 0 f( + ) g() f() g() g( + ) f() + f() g() g( + ) g() f( + ) f() g( + ) g( g() f() ) + 0 g( ) g() [ g() f () f() g ()] g() g() g() f () f() g () [ g() ]. Matmatica 9

10 rivata dl rciproco di una funzion Applicando la drivata dl quozint di du funzioni si a: 0 rivata dlla funzion composta g Esmpio [ f ()] g [ f() ] f () ln sn cos sn co tg. rivata dlla funzion invrsa f () OVE g( y ) f ( y ) g (y) Esmpio π π SA y arcsn. LA FUNZONE NVERSA È sn y EFNTA N, arcsn sn y cos y sn y Matmatica 0

11 TABELLA ELLE PRNCPAL REGOLE ERVAZONE f ( ) g [ f ()] g [ f() ] f () COSTANTE 0 n n n- [f ()] n n [f ()] n- f ( ) f () f() [f()] n n n n n p p n n n p n sn cos cos sn tg + tg cos cotg log a ( + cotg ) sn log a log n f () f() n n n f() [f()] log a log a p n p f n f f () [f()] () f() () n p sn f () f () cos f () cos f () f () sn f () f () tg f () cos f() f () cotg f () sn f() log f () f () f () log f () f() a a log a a f () a f () log a f () f () f () f () arcsn f () arcsn f () [f()] arccos arctg + arccos f () f a () [f()] f () arctg f () + [f()] arccotg f () arccotg + + [f ()] ( + log ) g () g () g () [ f ()] [ f ()] g () log f () + f () f () Matmatica

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