( ) ESERCIZI PROPOSTI. y x. cos x y. x y. c cos. xlog. x y. ctg 2. sin 1. x + 1. ctgx. c sin = + ( ) 1 = + ( ) ( )

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1 ESERCIZI PROPOSTI I) Dtrminar l intgral gnral dll sgunti quazioni diffrnziali linari dl primo ordin (fr..): ) ' ) ' ) ) ' os ' 5) ' 6) 7) tg ' ' 8) ' ( + log ) 9) ' ) ) log sin os [ log ] ' + ' sin ( + ) ) ' sin ) tg ' ) ' + 5 5) ' + tg ( ) sin os sin ( ) 6) ' + + ( ) 7) ' + ( ) ( )

2 8) ' + ( ) 9) ' + ( ) ) ' ) ) ) ) ( ) ( + ) ' ( ) ' ' + ( ) + + ( ) ' + ( ) ( ) ( ) 5) ' 6) ( ) + + ( ) ( sin + ) ' os + ( ) ( sin + ) 7) ' os 8) ' + ( ) 9) ' ) + + ( ) ( + ) ' + ( ) ( + ) ) ' ) ' ) ' + + ( ) ( ) + + ( ) ( + ) ( ) ) ' ( + os ) ( ) sin 5) ' + ( ) ) ( ) ( + ' + + ) ( ) ( + ) + + 7) ' + ( ) +

3 8) ' tg os + ( ) + os II) Dtrminar l intgral gnral dll sgunti quazioni diffrnziali dl sondo ordin a offiinti ostanti (fr..): ) 6 '' 5 ' + ( ) + + ( ) ) '' 6 ' 9 ) '' ' 5 + ( ) ) '' ' + os+ sin ( ) 5) '' ' + ( ) + ( ) ( + ) 6) '' ' 7) '' ' ( ) ( ) 5 8) '' + ( ) os + 9) '' ' 5 sin + ( ) ( os+ sin) ) '' ' + + ( ) ) '' ' os + sin + ( ) ( os+ sin) ) '' 9 ) + ( ) os + '' ' 6 sin ( ) ( ) ) '' ' + ( ) 5) '' + ( ) os + 6) '' ' sin ( ) 7) '' ' ( ) ( os 7 sin 7 ) + + ( ) 8) '' ' 9) '' + + os+ sin+ + ( ) + + ( ) ) 6 '' 5 '

4 ) '' sin os+ sin sin os+ sin os + sin+ os sin+ os os + sin ( ) ) '' sin + ( ) ) '' sin os ( ) ) '' 6 sin os + + ( ) 5) '' 6 ' 8 6) + ( ) '' ' + ( ) + ( ) 7) '' 8) ( ) '' ' + 5 ( ) 9) '' ( ) ) '' tg + ( ) ) '' tg ) π os+ sin+ os logtg + os+ sin+ sin log tg os+ sin os 7 os+ sin sin+ os log ( ) '' ' + ( ) ) '' 5sin + ( ) ) '' 5sin 7os 5) 6) + ( ) '' ' + ( ) '' ' log + + ( ) ( ) 7) '' ' + + 8) '' 9) ( ) + + ( + ) log( + ) + + ( ) '' ' os+ sin ( ) ( + )

5 ) '' ' os+ sin os sin 5 os+ sin + sin os+ sin os os+ sin + os+ sin os + sin + ( ) ( + ) + ) '' 5 ' 6 + ( ) ) '' ' ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) '' ) '' ' + ( ) ( ) 5) '' ' sin ( ) ( ) 6) '' os + ( ) 7) '' sin + ( ) 8) '' ' sin 9) 5) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) '' ' '' ' + ( ) ( ) 5) '' ' os ( ) ( ) 5) '' ' sin os ( ) + os 5) '' sin 5) ( ) sin os '' ' + ( ) 55) '' ' ( os+ sin ) ( ) + + sin 56) '' ' os+ sin os os+ sin+ sin sin+ os + + ( ) + ( ) ( ) 57) '' ' sin 58) 59) '' 9 sin + + ( ) sin ( ) ( ) '' 5

6 6) '' ( ) + ( + ) + + ( ) ( ) 6) '' ' os 6) '' sin + ( ) 6) '' ' 6) 65) os sin + + os sin + os sin os ( ) '' ' 8 ( ) '' ' ( ) III) Dtrminar l intgral gnral dll quazioni diffrnziali )-), dl primo ordin a variabili sparabili, dopo avr analizzato gli smpi a)-), di sguito riportati: a) ' + Riordando h modo: d ' l quazion prdnt può ssr sritta anh nl sgunt d da ui, sparando l variabili, si ha: d intgrando ambo i mmbri si ottin: d ( + ) d ( ) d d + ( ) d + d + + (intgral gnral) Si ossrvi, in primo luogo, h l urv intgrali, soluzioni dll quazion diffrnzial assgnata, sono proprio dll parabol. S si volss ora dtrminar, tra l suddtt P, (ondizion inizial) si avrbb: parabol, qulla h passa pr il punto ( ) ( ) La parabola rihista ha prtanto quazion: ( ) + + (intgral partiolar) ovvro: b) ' + ( + ) ( + ) + + ( ) 6

7 d Essndo ' l quazion si può anh srivr om sgu: d d d + da ui, sparando l variabili, si ha: d intgrando ambo i mmbri si ottin: ( + ) d ( ) d + avndo posto. ( + ) ( ) d d Dunqu pr l urv intgrali sono dll iprboli mntr pr si ottin la sgunt oppia di rtt: + + ) ' + L quazion diffrnzial divnta: Sparando ora l variabili si ha: d intgrando ambo i mmbri si ottin: d + d + d d + + d d artg artg tg( artg+ ) da ui, utilizzando la formula di addizion dlla tangnt: + tg π ( ) on + kπ, k intro (intgral gnral) tg Si ossrvi ora h l urv intgrali, pr, sono dll iprboli; pr, inv, si ha π la rtta ; pr + kπ, infin, si ottin l iprbol. d) ' sin L quazion diffrnzial divnta: d (*) d sin 7

8 Sparando ora l variabili si ha: (**) d intgrando ambo i mmbri si ottin: d d sin d d log log tg + log sin S si pon ora si riava: tg tg on > da ui: ossia: ± tg ± tg on > ioè: tg on (intgral gnral) Si ossrvi ora h nl passaggio dalla (*) alla (**) si è diviso pr ma iò, om è bn noto, è lito solo s. Con tal oprazion, quindi, si è potuto prdr l intgral. Essndo, prò, un intgral dll quazion diffrnzial assgnata, si può onludr h l intgral gnral è proprio: tg ' ) ( 5) Il sistma assgnato si risolv dtrminando, in primo luogo, l intgral gnral dll quazion diffrnzial poi l intgral partiolar ottnuto imponndo la ondizion 5. inizial ( ) Si ha, prtanto: d d d d d d avndo posto. + 8

9 Pr dtrminar ora l intgral partiolar basta imporr la ondizion inizial, ioè: ( 5) La soluzion dl sistma risulta quindi: 9 (intgral partiolar) ) + ' + ) ' [ ] ) ( + ) ' log( ) ' + ) ( ) + + 5) ( + ) ' + log( + + ) 6) tg + ' + ' arsin + 7) + ' 8) tg + 'tg arsin sin + artg( s ) 9) sinos 'os ) ' ' + ) ' ) + log + ( ) ' + ) ( ) + ' + + ) ( ) ' ( ) 5) ( ) '

10 6) ' 7) ' tg 8) 9) ) log ' sin ' ' ( ) ( + ) + 'tg ) ( ) 6 ' ) ( ) ' + ' ) π ( ) ' ) ( ) + ' 5) ( ) 'os sin 6) π ( ) ' 7) ( ) + os tg ± + log ; ± [ os+ ] sin artg arsin

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