Test di Autovalutazione

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1 Univrsità dgli Studi di Padova Facoltà di Inggnria, ara dll Informazion - Brssanon 7 Analisi Matmatica. agosto 7 Tst di Autovalutazion () Si considri la funzion 5 + log x s x, f(x) = + log x s x =. (a) Dtrminar il dominio, i limiti agli strmi dl dominio gli vntuali asintoti di f. (b) Dtrminar gli intrvalli di monotonia gli vntuali punti di strmo (massimo minimo) rlativo assoluto di f. (c) Dtrminar gli intrvalli di concavità convssità gli vntuali punti di flsso di f. (d) Disgnar un grafico qualitativo di f. () Pr ogni valor di β R, dtrminar il sgunt limit: x sin(βx) + x 3 sin x lim x + log(x + ) cos x. (3) (a) Vrificar, snza calcolarlo, ch il sgunt intgral gnralizzato convrg (x 9) x dx. (b) Calcolar il valor dll intgral. (4) Rapprsntar l soluzioni dlla disquazion z z z Imz (4 bis) Trovar la soluzion dl problma di Cauchy { y + y tan x = cos 3 x y() = (4 tr) (a) Dtrminar il dominio di f(x, y) = log( x y ), disgnarlo stabilir s è chiuso limitato. (b) Dtrminar, s sist, il piano tangnt al grafico di f in (,, f(, )), giustificando la risposta. Tmpo total a disposizion: du or 45 minuti. Lo svolgimnto dgli srcizi dv ssr scritto unicamnt sul foglio protocollo bianco siglato, con adguat giustificazioni di passaggi. I fogli di brutta copia non vanno consgnati comunqu non vngono corrtti. E vitato usar libri, appunti, tlfoni calcolatrici di qualsiasi tipo.

2 Univrsità dgli Studi di Padova Facoltà di Inggnria, ara dll Informazion - Brssanon 7 Analisi Matmatica. agosto 7 SCHEMA DI SOLUZIONE (Si prga di comunicar vntuali rrori a dagnolo@math.unipd.it) Attnzion: qusto è solo un brv schma di soluzion. In sd d sam è richisto ch i risultati siano opportunamnt giustificati. () (a) La funzion è dfinita in R\{± }. Poichè la funzion è pari, pr simmtria limitrmo lo studio alla smirtta x. Ossrviamo ch f si annulla in x = 5. Si ha lim f(x) =, lim x + f(x) = ±, x ± lim f(x) =. x + Quindi vi è un asintoto vrtical x =, d uno orizzontal y = pr x +. Inoltr f è continua in, quindi continua in tutto il dominio. (b) Smpr pr x >, si ha f (x) = x( + log x), quindi f (x) <. N sgu ch f dcrsc in (, ) d in (, + ). Avndosi lim x + f (x) =, l origin è un punto di non drivabilità (cuspid). Il solo strmo rlativo è in, ch è un massimo rlativo. (c) Ancora pr x >, si ha f (x) = log x + 4 x ( + log x) 3. Quindi f è convssa in [, 4 ] d in (, + ), con flsso in x = 4. (d) Abbozzo dl grafico:

3 () Sviluppando all ordin pr x +, si ottin x (log ) = + x log + x sin(βx) = βx + o(x ); + o(x ); x 3 sin x = o(x ) (prché sin x è limitata); log(x + ) = x x + o(x ); cos x = x + x 4 + o(x ); da cui Quindi x sin(βx) + x 3 sin x log(x + ) cos x = x(log β) + x (log ) + o(x ) 5 4 x + o(x ) x sin(βx) + x 3 sin + β < log x lim x + log(x + ) cos x = 5 (log ) β = log β > log pr x + (3) (a) L intgral gnralizzato convrg s solo s convrgono i du intgrali gnralizzati Pr x + si ha x(x 9) dx = x(x + 9) 9 quindi ntrambi gli intgrali convrgono. (b) Posto x = t, t >, si ha x x(x + 9) dx, x(x 9) 9 x(x 9) dx. x [ dx = dt = lim x(x + 9) t + 9 ɛ + 3 arctan t ] = 3 ɛ 3 arctan 3 dx = x(x 9) = lim ɛ + t 9 dt = 3 [ 3 log t 3 t + 3 ] ɛ ( t 3 t + 3 = 3 log. ) dt In dfinitiva x (x + 9) dx = 3 log 3 arctan 3. (4) Posto z = x + iy, la disquazion divnta (x ) + y iy = (x ) y

4 quindi l insim dll soluzioni è costituito dai punti (x, y) dl piano appartnnti all pigrafico (cioè ch stanno al di sopra o sul grafico) dlla funzion (x ) { (x ) pr x < o x > = (x ) pr x il cui grafico è abbozzato qui: (4 bis) Si tratta di un quazion diffrnzial linar dl prim ordin, prtanto, applicando la formula risolutiva, l intgral gnral è dlla forma ϕ(x) = A(x) A(x) cos 3 x dx con A (x) = tan(x). Poichè tan x dx = sin x x dx = log cos x + costant, cos x cos x > in un intorno di, posto A(x) = log cos x si trova: ϕ(x) = cos x cos x cos3 x dx + cos(x) = cos x dx ( = cos x x + ) 4 sin(x) + C Ponndo ϕ() =, si ottin C =. (4 tr) (a) Dv ssr x > log( x ), quindi il dominio di f(x, y) è {(x, y) : x, y > oppur x, y <, y x},

5 (il primo d il trzo quadrant, sclusi gli assi cartsiani la diagonal y = x) ch é aprto illimitato. (b) f(x, y) è continua diffrnziabil su tutto il dominio, prchè composizion di funzioni drivabili con drivat continu, (, ) vi appartin, quindi sist il piano tangnt in (,, f(, ) = ). Il gradint f(x, y) calcolato in (, ) è ( ) ( x log( x), y log( x) (, ) = y log ( x) x y, y log ( x) x l quazion dl piano tangnt è z = f(, ) (x, y ) ( x ) ) (, ) = ( ) y, cioé z = x + y +.