Esercitazione di AM120

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1 Univrsità dgli Studi Roma Tr - Corso di Laura in Matmatica Esrcitazion di AM0 A.A Esrcitator: Luca Battaglia Soluzioni dll srcitazion dl 6 7 Marzo 08 Argomnto: Drivat. Dimostrar, utilizzando la dfinizion di rapporto incrmntal, c l sgunti funzioni sono drivabili pr ogni R calcolarn la drivata: (a) f() a (a > 0); Utilizzando l proprità lmntari dll sponnzial ottniamo: f( + ) f() a + a a a a log a, 0 a dov l ultimo passaggio sgu dal bn noto it notvol log a. (b) f() sin ; Utilizzando l formul di addizion sottrazion ottniamo: f( + ) f() sin( + ) sin sin cos + cos sin sin sin cos + cos sin cos, cos dov nll ultimo passaggio abbiamo utilizzato i bn noti iti notvoli 0 sin. Dunqu f () cos. (c) f() cos ; Com nl caso prcdnt ottniamo f( + ) f() cos( + ) cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin, dunqu f () sin.

2 . Calcolar, utilizzando la linarità dlla drivata il primo punto dl prcdnt srcizio, la drivata dll funzioni sin : cos : +. Innanzi tutto, dall ultimo punto dl prcdnt srcizio con a, si ottin c la drivata ( ) ( ) di è ugual a log. Dunqu, dalla linarità dlla drivazion si ottin (sin ) ( ) ( ) + cos. Analogamnt si ottin (cos ) ( ) + ( ) sin. 3. Calcolar, utilizzando la rgola di drivazion dl prodotto il primo srcizio, la drivata dll sgunti funzioni: (a) f() n sin (n N); Poicé la drivata di sin è data da cos, allora dalla rgola di drivazion dl prodotto ottniamo: f () ( n ) sin + n (sin ) n n sin + n cos n (n sin + cos ). (b) g() c log (c R); Scrivndo c ( c ), la sua drivata sarà data da ( c ) log( c ) c c ; dunqu, g () ( c ) log + c (log ) c c log + c ( c c log + ). (c) () c cos (n N). Ragionando com ni casi prcdnti si ottin: () ( c ) cos + c (cos ) c c cos + c ( sin ) c (c cos sin ). 4. Dimostrar c la drivata dl prodotto di tr funzioni fg è data da f g + fg + fg. Ddurn una simil rgola pr il prodotto di un numro arbitrario di funzioni f f... f n. Posta F () f()g(), sarà sufficint applicar la rgola di Libniz al prodotto F ()() f()g()() applicar nuovamnt la rgola pr calcolar F (): (fg) (F ) F + F (f g + fg ) + (fg) f g + fg + fg. Pr il scondo punto, può ssr natural pnsar c la drivata dl prodotto di n funzioni sia data dalla somma di n trmini, in ciascuno di quali solo un fattor vin drivato, ovvro: (f f... f n ) f f... f n + f f f 3... f n + + f... f n f n. Possiamo dimostrarlo formalmnt procdndo pr induzion: il caso n è la rgola di Libniz, dunqu possiamo supporr c sia vro pr n, cioè c la drivata di F () f ()... f n () sia data da F () f f... f n + f f f 3... f n + + f... f n ;

3 a qusto punto, calcolando con la rgola di Libniz la drivata di F ()f n () si dimostra la formula anc pr n: (F f n ) F f n + F f n ( f f... f n + f f f 3... f n + + f... f n ) fn + f... f n f n f f... f n + f f f 3... f n + + f... f n f n. 5. Dimostrar, utilizzando la rgola di drivazion dl quozint, c l sgunti funzioni sono drivabili calcolarn la drivata: (a) f() tan sin ( kπ + π ) cos, k N ; Utilizzando la rgola dlla drivata dl rapporto i risultati dl primo srcizio, abbiamo f () (sin ) cos sin (cos ) cos cos + sin cos (b) f() cot ( kπ, k N); tan Con la rgola dlla drivata dl rciproco si ottin (c) f() tan sin cos ottin f (tan ) () tan cos tan sin. cos + tan. ( R); Con la rgola dlla drivata dl rapporto si f () (sin ) cos (cos ) sin cos cos sin cos ( ) ( + ( ) + ) ++ ( ) 4 cos. cos 6. Sia f : A B drivabil in 0 A g : B R drivabil in y 0 f( 0 ) B. Dimostrar c la composizion g f : A R è drivabil in 0 la sua drivata val (g f) ( 0 ) g (y 0 )f ( 0 ). Ddurn c, s f è invrtibil g f è l invrsa di f, allora g è drivabil in ogni y 0 f( 0 ) tali c f ( 0 ) 0 val ( f ) (y0 ) f ( 0 ). Poniamo, pr y B, G(y) g(y) g(y 0 ) y y 0 y y 0. Essndo g drivabil nl punto y 0, g (y 0 ) y y 0 G sarà continua in y 0 dunqu poicé f( 0 + ) 0 y 0, allora G(f( 0 + )) G( f( 0 + )) G(y 0 ) g (y 0 ). 0 3

4 Quindi, dalla dfinizion di rapporto incrmntal, ottniamo (g f) ( 0 ) 0 g(f( 0 + )) g(f( 0 )) g(f( 0 + )) g(f( 0 )) 0 f( 0 + ) f( 0 ) 0 0 G(f( 0 + ))f ( 0 ) g (y 0 )f ( 0 ). f( 0 + ) f( 0 ) Infin, s g f, allora (g f)() pr ogni, dunqu drivando i du mmbri dll uguaglianza ottniamo () (g f) () g (f())f (); prciò, s y 0 f( 0 ) f ( 0 ) 0 ottniamo g (y 0 ) f ( 0 ). 7. Siano f, g : I R funzioni drivabili con g() 0 pr ogni I. Dimostrar c l funzioni F () : log f() G() g() sono drivabili calcolarn la drivata. Calcolar infin la drivata di pr > 0. Innanzi tutto, F è drivabil prcé lo sono sia g c il logaritmo log f() è smpr bn dfinito prcé f() non si annulla; pr motivi simili è drivabil anc G. Dall srcizio prcdnt ottniamo: F () (log y ) yf() f () f() f () f () f(). Analogamnt, G () ( y ) yg() g () g() g (). Infin, scrivndo log() log, possiamo calcolarn la drivata usando il punto prcdnt: ( ) ( log ) ( log ( log ) log log + ) (log + ). 8. Dimostrar, utilizzando la rgola di drivazion dll invrsa, c l sgunti funzioni sono drivabili calcolarn la drivata: (a) f() arctan ( R); Posta F (z) tan z, allora f F, dunqu dal prcdnt srcizio dduciamo c s arctan z, allora f () F (z) + tan z + tan (arctan ) +. (b) f() arcsin ( < ); Possiamo ragionar com nl caso prcdnt con F (z) sin z dunqu f () F (z) cos z sin z. sin (arcsin ) Notar c in qusto caso π < z < π scglir la radic quadrata positiva. dunqu cos z > 0, dunqu è stato possibil 4

5 (c) f() arccos ( < ). Com ni casi prcdnti, con F (z) cos z: f () F (z) sin z cos z cos (arccos ). { α > 0 9. Sia f() pr α > Dir, al variar di α, pr quali la funzion è drivabil calcolarn la drivata f (). Pr > 0 si può utilizzar la drivazion dlla composizion di funzioni, scrivndo f() α log : f () ( y ) yα log (α log ) α log α α α αα. Dunqu f è drivabil in ogni > 0, indipndntmnt da α. Pr la drivabilità in 0 è ncssario applicar la dfinizion di it di rapporto incrmntal: f f() f(0) a (0) ; qust ultimo it sist ( val 0) solo pr α >, dunqu dduciamo c f è drivabil in 0 solo pr α >. { ( log ) β (0, ) 0. Sia f() :. 0 0, Dir pr quali valori di β la funzion è continua in 0 /o in pr quali è drivabil. Poicé, pr ogni β R, sappiamo c ( log ) β 0, allora f è continua in 0 pr 0 ogni valor di β. Quanto alla drivabilità, appliciamo la dfinizion di it dl rapporto incrmntal: f f() f(0) (0) ( log ) β. 0 Poicé log +, dduciamo c la funzion è drivabil solo pr β 0: s β 0 0 abbiamo f (0) mntr pr β < 0 abbiamo f (0) 0. In invc abbiamo f() ( log ) β. Poicé log 0, qusto it varrà 0 s solo s β > 0, dunqu qusti sono gli unici valori pr cui f è continua in. Quanto alla drivabilità, abbiamo f( + ) f() ( + )( log( + )) β ( log( + )) β ( log( + )) β ( ) β 0 ( ) β 0 ( ) β. Dunqu, s β < allora f () non sist, s β abbiamo f () infin s β > abbiamo f () 0. 5

6 ( ) sin 0. Sia f() :. 0 0 Dir pr quali la funzion è drivabil calcolarn la drivata f (). Dir pr quali la drivata f è continua. Pr 0 la funzion è ciaramnt drivabil, in quanto composizion di funzioni drivabili; applicando l rgol vist finora, ottniamo ( ) ( ) f () sin + cos ( ) ( ) sin cos. f è anc drivabil in 0 prcé il it dl rapporto incrmntal val ( ) f f() f(0) (0) sin, c val 0 prcé 0 non sist sin n + sin 0 ( ) ( 0.Tuttavia, f non è continua in 0 prcé 0 ) ( ) cos : s nπ con n intro, il it è mntr pr (n + )π è. 6