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1 8 9 DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA La drivata di una funion composta ( funion di funion si ottin (dim all pagin 0 : a drivando la funion principal ( qulla ch si applica pr ultima risptto al suo argomnto (voglio dir: facndo finta ch il suo argomnto non sia a sua volta una funion, ma sia una variabil indipndnt ; al posto di, prò, va smpr scritta l sprssion ch nlla nostra mnt abbiamo sostituito con b poi moltiplicando ciò ch si è ottnuto pr la drivata dll argomnto Il procdimnto a+b va vntualmnt itrato pr gli argomnti più intrni, s si ha una funion composta più volt Capito? Coraggio! Dal punto di vista pratico, vdrai ch non è poi così trribil Gli ESEMPI qui sotto riportati faranno chiara y sn sn sn ( ( ULTIMA funion sn ( sn applicata : il " CUBO" In gnral: α y [ f ] α α f f ' [ ] Si driva PER PRIMA la funion ch è stata applicata PER ULTIMA: in qusto caso, la funion cubo a DERIVIAMO dunqu, DOVE PERO il nostro è il blocco sn ; ottniamo, ossia ( sn ; b POI MOLTIPLICHIAMO pr la drivata di sn, ch è cos In dfinitiva, la drivata crcata sarà y ' ( sn cos sn cos ( + ( y f ( ( f f ( 5 ( + ln ( f ( ln ( y ln ( ln( 5+ f ln f( 5 ( ( sn ( y sn sn f ( sn( f( snf( y ' cos cos y cos y ' sn sn y cos f sn f f ' ( 5 y tg + y tg ( cos ' ( + 5 y cotg + cotg sn f y f f ' y ln f f ' f ' f f y sn f cos f f ' y tg f f ' + tg f f ' cos f y cotg f f ' + cotg f f ' sn f y acos acos lna sn y af af ln a f ' y log( + log log + + y log a f log ' a f f ' cos f ' y sn y sn cos y sn sn f f [ ] ( 6 5 y

2 9 y ln sn5 (qui, com poi nll'smpio succssivo, abbiamo una composiion di TRE funioni! 5( sn ( ln ( 5cos5 5 sn 5 ln sn 5 DUNQUE y ' cos5 5 5cotg 5 sn 5 sn5 In gnral, quando l funioni sono tr: y h( g( f f ( g( h( ( ( ( ( ( f g f h g f S y h g f allora h' g f g ' f f ' Il tutto si può scrivr in modo fficacissimo con la notaion di Libni: dh dh dg df d dg df d ( sn ( y sn sn DUNQUE cos cos Drivaion di una potna ad sponnt qualsiasi Dal torma sgu un risultato molto important ch avvamo già anticipato sna dimostraion, ossia: la formula pr la drivaion di una potna: y n nn già provata nl caso ch l sponnt foss un numro natural: n 0,,,, si stnd a QUALUNQUE sponnt ral (positivo, ngativo, fraionario, irraional: y α αα, α ln Basta scrivr la potna sotto forma di sponnial di un logaritmo: ( α y α α ln dopodichè si avrà: ln ln D( α D ( α α α α α α α, CVD Ad smpio: 5 cos cos y sn ( sn 5 y ' ( sn 5 cos sn sn Drivaion di una funion dlla forma [ ] g ( f Qusto accorgimnto di sprimr la funion data com sponnial di un logaritmo si applica anch pr la drivaion di una funion dlla forma [ f( ] g Si procd com sgu: g [ ] ( ln ( f ( g g { ( ln f ( g ln f } [ ] D f D D g f ' g'ln f + g f ' f g'ln f g f + f Nint paura, prò: la formulaccia prcdnt non è assolutamnt da imparar a mmoria! Si tratta invc di applicar lo stsso procdimnto in tutti i casi particolari di qusto tipo Esmpio: s dvo drivar la funion, mi basta solo ricordar di trasformarla in sponnial-di-un-logaritmo: il rsto vrrà da sé! Ad smpio: D D D { ln + } ( ln+ ln ln ln La drivata dl logaritmo di un valor assoluto La drivata dlla funion y ln è y SU TUTTO, cioè sia con > 0 ch con < 0 Si tratta ancora di una consguna dl torma sulla drivaion di una funion composta: con > 0, si ha y ln ln, con < 0 si ha y ln ln ( ( Ad smpio: D ln qusto val pr tutti i valori di Gli ESERCIZI sulla drivaion dll funioni compost si trovano alla succssiva pagina 0, mntr la DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA è riportata all pagin

3 ESERCIZI Drivar l sgunti funioni: 0 y sn y sn y sn y 5 y ln 6 y ln y ln 8 y ( y sn+ 0 y + sn / y y y sn ln y ln sn 5 y ln ln 6 y ( sn cos y cos + 9 sn 0 y ln ln ln y tg y tg y tg y 5/ tg 8 y ln ( sn 5 ln y + sn cos 0 5 y ln ( sn y + y + 8 y + cos sn y y 5 y log tg 5 y sn 6 y sn y + y 5 ln 8 y 9 y 0 y cos + y ( sn y ( + sn y ln cos y ln cos RISULTATI cos sn cos cos sn 5 ln y ' 6 y ' y ' 8 8 ( ( cos 9 y ' 0 cos ' / y sn + cos ln cos y ' cotg 5 sn ln 6 ( sn cos ( cos + sn sn cos 8 y ' 9 ' sn y sncos 0 sn + ln ln ln ( + tg ( + tg tg( tg cos sn sn cos 0 cos sn5 cos 5 6 sn 8 0 y ' y ' ( sn cos 9 y ' + 8 y ' 5 + 6sn cos y ' sn + ( + ( + ( ' sn ' ln( y + cos + + sn + ( + tg 5 tg 8 sn ( sn sn cos + tg log tg ( ( ( + ( 5 5 ln + y ' + + cos y sn lnsn+ sn tg tg

4 DIMOSTRAZIONE dl torma sulla drivata di una funion composta Pr capir mglio quali sono l divrs quantità in gioco, pnsiamo all smpio spcifico dlla funion y sn ( sn : si part da, a si passa attravrso un calcolo intrmdio applicando a la funion sno ch fornisc il numro sn, b infin si applica la funion cubo a qusto numro, ottnndo il valor final y sn ( sn sn sn ( sn sn y Siamo d accordo con il ruolo di simboli,, y? OK? Possiamo allora partir col caso gnral Noi vogliamo costruir il rapporto incrmntal dlla funion composta y, ch è poi y ch dipnd da ch dipnd da, ossia y y( All ascissa di partna corrispond il valor al qual corrispond poi il valor y S ora noi passiamo da a +Δ, la quantità intrmdia subisc un incrmnto Δ ch la porta al nuovo valor + Δ ; dopodiché, al valor +, corrispondrà un dtrminato valor y+ Δ y : y +Δ + y+δy Δy Il rapporto incrmntal dlla funion composta y y y( è Δ ; Δy Δy ma si può scrivr Δ Δ Ora facciamo tndr Δ a ro Supponiamo ch la funion sia drivabil in : ssa sarà allora crtamnt continua in pr un torma bn noto prtanto anch dunqu avrmo (supponndo altrsì ch la funion y sia drivabil in : Δy ' ( Δ Rsta prciò dimostrato ch Δy Δy lim lim ( ' Δ 0 Δ Δ 0 Δ, cioè la tsi Δ tndrà a 0; C è prò un piccolo guaio Non sarbb onsto affrmar ch qusta dimostraion è dl tutto gnral complta: infatti ssa non tin conto dl fatto ch si potrbb vntualmnt annullar!!! Si d accordo? Può anch capitar, pr una funion, ch, f issata un ascissa dato a un incrmnto Δ, risulti tuttavia ( + Δ ( cioè Δ 0 Ma s così foss, il nostro discorso, ch comporta la prsna di Δ a dnominator, crollrbb Caro lttor, s non si particolarmnt intrssato ad approfondimnti, accontntati pur di quanto scritto sopra (ch costituisc una dimostraion dl torma nl caso, invro di gran lunga il più frqunt, in cui sist pr lo mno un intorno di nll ambito dl qual, qualunqu sia l incrmnto ch si dà alla, la quantità ( subisc smpr un incrmnto non nullo S invc dsidri la dimostraion dl tutto gnral, prosgui la lttura Insim con la dimostraion gnral, darmo anch l nunciato astratto dl torma, ch, s badi, fino a qusto momnto non abbiamo mai formulato, accontntandoci dlla dscriion alla buona iniial (qulla ch avva tanto angosciato Snoopy dlla rassgna di smpi Pr una dimostraion compltamnt gnral dl torma sulla drivaion dll funioni compost, ritngo prfribil indicar l ascissa fissata con 0 aniché con

5 Torma sulla drivaion di una funion composta ( funion di funion f g f g( f F g( f y F Sia f dfinita su tutto un intorno di 0 drivabil in 0 Sia y g( dfinita su tutto un intorno di 0 f( 0 drivabil in 0 Allora la funion composta y F g( f è drivabil in 0 risulta F '( 0 g'( 0 f '( 0 Dimostraion Essndo pr ipotsi g( drivabil in, si ha 0 g ( 0 + g ( 0 lim g '( 0 Δ 0 g ( 0 + g ( 0 da cui (scrittura fuori dal sgno di limit g '( 0 +ε( con ε( 0 quando 0 quindi val l uguagliana ( g ( 0 + g ( 0 [ g'( 0 +ε( ] Δ con ε( 0 quando 0 Bn! Abbiamo quindi scritto la (, nlla qual compaiono gli incrmnti Δ dlla var, calcolati risptto al punto 0 La ( è stata ricavata partndo da un rapporto incr con Δ a dnominator, pr cui va pnsata valida pr 0 ; tuttavia, è proprio il caso Δ 0 la pitra dllo scandalo ch ci ha costrtto a crcar una divrsa dimostraion Ora, s, a postriori, pnsiamo alla ( con Δ 0, vdiamo ch ssa, avndo il primo mmbro nullo il scondo mmbro carattriato dalla prsna di un fattor nullo, continurbb ad ssr valida s non foss pr il fatto ch, in qusto caso, la quantità ε( Δ, ch ra stata introdotta com diffrna fra il rapporto incrmntal la drivata, non avrbb significato Ma noi possiamo attribuir a εδ (, nl caso Δ 0, un valor convnional, ad s ponndo, pr Δ 0, ε( Δ 0 Facciamo dunqu così In dfinitiva, la quantità ε( Δ ch compar nlla ( avrà il valor g ( 0 + g ( 0 εδ ( g'( 0 con 0; εδ ( 0 con Δ 0 la ( risultrà valida anch con Δ 0 La rlaion ( tra la sua vrità dal fatto ch l ipotsi affrma la drivabilità di g( in 0 g( è una funion, dfinita su tutto un intorno di 0 ; fin qui, NON stiamo ancora riguardando com variabil ch dipnd da, stiamo trattando com una variabil indipndnt, indicando con Δ lo scostamnto dl suo valor dal valor-bas 0 Fra un attimo riguardrmo invc com variabil dipndnt da ; al variar di, varirà anch ; con 0, sarà 0, quando subirà un incrmnto algbrico Δ divntando 0 + Δ, allora divntrà 0 +Δ, subndo un bn dtrminato incrmnto algbrico Δ (dipndnt da Δ, ch potrà vntualmnt anch ssr nullo Quindi, nl sguito, il simbolo Δ, prima usato pr indicar un gnrico incrmnto algbrico 0, passrà ad indicar qul bn dtrminato incrmnto algbrico, vntualmnt anch nullo, ch la ( subisc quando da 0 si passa a 0 +Δ Dopo qusta prmssa, andiamo a costruir il rapporto incrmntal in 0 dlla funion F( Avndosi 0 0 f( 0 y0 g( 0 g( f( 0 F( 0 0 +Δ 0 +Δ f( 0 +Δ y0 +Δ y g( 0 +Δ g( f( 0 +Δ F( 0 +Δ g +ε Δ Δ Δ f ( 0 +Δ f( 0 [ g'( 0 +ε( Δ ] [ g'( 0 +ε( ] Δ Δ quindi, facndo tndr Δ a 0, dal momnto ch quando Δ 0, anch 0 d εδ ( 0, avrmo F( 0 +Δ F( 0 f( 0 +Δ f( 0 lim lim [ g'( 0 +ε( ] g'( 0 f '(, CVD Δ 0 Δ Δ 0 Δ 0 sarà F( 0 +Δ F( 0 g( 0 + g( 0 [ '( 0 ]

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