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1 Sistmi Linari Tmpo Invarianti (LTI) a Tmpo Discrto Dfiniamo il sistma tramit una trasformaion T []. La proprità di linarità implica ch [ α 1x1[ n] + α2x2[ n ] α1t x1[ n] + α2t x La proprità di tmpo invariana implica ch, s si indica [ n] T[ x[ n ], allora n n T x n. [ ] [ [ ] n [ ] [ [ n ] T 2 Dato ch ogni squna x [ n] può ssr vista com una somma impulsi discrti δ [ n] [ n] x[ k] [ n k] x δ Dalla proprità di un sistma LTI [ n] T x[ k] δ [ n k] x[ k] T[ δ [ n k ] x[ k] h[ n k] h[ k] x[ n k] x [ k] h[ n k] x[ n] h[ n] con h[ n] T[ δ[ n ] risposta impulsiva dl sistma. Qusta è una dll rapprsntaioni possibili pr un sistma LTI. Rapprsntaion in frquna di un sistma LTI. Una squna x [ n] può ssr scritta com x 1/ T [ n] T X ( f ) j2πnft df T j2πnft ovvro com la somma di oscillaioni complss X ( f ) dω 2π j n Qusto risultato è molto significativo s si nota ch funioni dl tipo ω sono autofunioni di un sistma LTI. Grai a qusta proprità la rapprsntaion dl sistma utiliando la bas di Fourir risulta vantaggiosa. Vdiamo di capir mglio il motivo considrando in ingrsso al sistma la squna x[ n] n ; l uscita dl sistma si può quindi calcolata com [ ] [ ] [ ] [ ] ( n k ) n n h k x n k h k h[ k] il trmin H ( ) h[ k] k k è la trasformata di Fourir di h [ n] prnd il nom di risposta in frquna dl sistma. Qusta è una quantità complssa quindi è possibil scrivr n j H [ ] ( ) ( ) ( ) n n H H 2) 1) 1

2 Equaioni all diffrn linari a cofficinti costanti La tra rapprsntaion ch si prnd in sam è la sgunt M r r N [ n r] a x[ n k] b con a k b r costanti. k k N a M k br [ n] x[ n k] [ n r] k b r 1 b s applichiamo la trasformata Z si ottin. N a ( ) ( ) M k k br r Y X Y( ) k b r 1 b dalla qual si ricava la funion di trasfrimnto N r k ak Y ( ) ( ) k H 3) X ( ) M r b r Considriamo un sistma stabil causal (poli dlla funion con modulo minor di 1 crchio di raggio unitario appartnnt alla rgion di convrgna), in qusto caso è possibil stimar la risposta in frquna dl sistma dal calcolo di ( ) H( ) H Esmpio di Filtro IIR Considriamo il sistma dscritto dalla sgunt funion di trasfrimnto nl dominio Z (confronta pag. 1 libro di tsto). H ( ) 1 1+ a il polo è pari a + a a, s a < 1 il sistma è causal è possibil dtrminar la risposta in frquna calcolando la funion di trasfrimnto pr j ( ) H ω 1 1+ a Nota Matlab 1 + a Vngono mostrati du modi pr stimar la risposta in frquna dl sistma causal stabil data la funion di trasfrimnto in. 1) Si dvono scglir i punti dlla pulsaion risptto ai quali calcolar la risposta in frquna. Nl caso di pulsaion normaliata ω [ π : dω : π] con d ω risoluion nlla pulsaion. Possono ssr quindi calcolati i vttori xp( j * ω), a sguir, 2

3 H ( 1 ^./ ) ( 1 a* ^). La risposta in frquna può ssr rapprsntata in modulo plot ( ω,abs( H ) plot ( ω,angl( H ) 2) Si può utiliar la funion ( ) Esmpio, fas Vr. 1.1 frq pr stimar la risposta in frquna dirttamnt dalla dscriion in dlla funion di trasfrimnto. Nlla documntaion Matlab, i cofficinti dl numrator dlla funion di trasfrimnto vngono dscritti dal vttor B [ b( 1) b( 2) b( N) ] mntr qulli dl dnominator A [ a( 1) a( 2) a( M) ]. Si noti ch la notaion è divrsa da qulla usata nl libro di tsto, avndo invrtito l lttr pr indicar numrator dnominator. È possibil calcolar la risposta in frquna in corrispondna di punti dl vttor ω [ π : dω : π], tramit il comando H frq( B, A,ω). N.B. omttndo l uscita vin fornito dirttamnt il grafico dlla risposta in frquna. Vdiamo la risposta in frquna dl filtro IIR appna dfinito con a.5. >> B[1-1]; %numrator >> A[1.5]; %dnominator >> dwpi/2; %scgliamo una risoluion in frquna >> w[-pi:dw:pi]; % pulsaion normaliata >> frq(b,a,w) oppur >> figur >> plot(w,abs(h)) >> figur;plot(w,angl(h)) Si dv notar la carattristica passa alto dl sistma. 3

4 Stima dlla risposta impulsiva Dalla risposta in frquna H( ) diffrn a + a è possibil ricavar l quaion all Y X Y Y ( ) 1 ( ) + a 1+ a 1+ a X 1 ( )( ) ( )( ) 1 ( ) + ay ( ) X ( ) X ( ) [ n] + a[ n ] x[ n] x[ n ] Pr avr univocamnt dtrminata la risposta dl sistma ad un ingrsso x [ n], è ncssario dfinir l condiioni iniiali ch in qusto caso sono rlativ allo stato dl sistma pr n-1. Noi porrmo [ ]. S vogliamo calcolar la risposta impulsiva possiamo risolvr l quaion all diffrn a x n δ n, pr cui partir da un ingrsso impulsivo [ ] [ ] [ ] + a[ ] x[ ] x[ ] [ ] 1 [ 1] + a[ ] x[ 1] x[ ] [ 1] x[ ] a[ ] a 2 [ 2] + a[ 1] x[ 2] x[ 1] [ 2] x[ 1] a[ 1] a + a 2 3 [ 3] + a[ 2] x[ 3] x[ 2] [ 3] x[ 2] a[ 2] a a la ricorsività indotta dalla prsna di almno un cofficint b r, con r, non nullo fa si ch qusto sistma abbia una risposta impulsiva infinita (Infinit Impuls Rspons, IIR). Nota Matlab 2 Data la dscriion dl sistma in trmini di cofficinti dlla risposta in frquna (vdi Nota Matlab 1), è possibil, anch pr un sistma IIR, stimar alcuni punti dlla risposta impulsiva h [ n] calcolando l uscita ad un modllo dll ingrsso impulsivo unitario dato, ad smpio, da un vttor x [ 1 ] tramit il comando filtr( B, A, x). Si fa notar ch in qusto modo è possibil stimar solo alcuni punti dlla risposta impulsiva, pr cui il sistma non sarà compltamnt carattriato dalla h [ n] così ottnuta. Ad smpio stimando attravrso la TDF dlla h [ n], la risposta in frquna dl sistma dovrmo tnr conto dll fftto dl troncamnto (s x è lungo Q punti, la finstra di ossrvaion è ampia Q punti). In frquna la riposta dl sistma sarà pari a qulla ral convoluta con la trasformata dlla finstra). In ambint Matlab è disponibil il Control Sstm Toolbox, ch prmtt la dscriion di sistmi LTI la possibilità di utiliar funioni apposit pr il calcolo dlla risposta impulsiva o alla funion a gradino. 4

5 Esmpio Considriamo un onda quadra con frquna fondamntal f. 5H con tmpo di campionamnto T1 scondo ossrvata pr 1 scondi. Filtriamola poi con il sistma IIR prcdntmnt dscritto. >> T1; >> t[:t:1]; >> f.5; >> xsquar(2*pi*f*t); >> filtr(b,a,x); >> figur;plot(x); >> figur;plot() Vdiamo com stimar, tramit la TDF, la trasformata di Fourir dll du squn, x. >> Nlngth(x) N 11 >> df1/(n*t); >> fdf*[-(n-1)/2:(n-1)/2]; >> X_ffft(x); >> figur;plot(f,abs(fftshift(x_f)));xlabl('f') >> figur;plot(f,angl(fftshift(x_f)));xlabl('f') 5

6 la stssa analisi può ssr ffttuata sull uscita [n]. Qusta può ssr ottnuta col comando filtr. N.B. il comando filtr prmtt di spcificar l condiioni iniiali dl sistma (max(lungha B, lungha A) -1). L uscita dl comando filtr ha l stss dimnsioni dll ingrsso quindi la taratura dll ass frqunial riman invariata. è possibil stimar anch la risposta impulsiva h[ n] ottnr l uscita com convoluion tra qusta l ingrsso. Ricordiamo ch in qusto caso la risposta dl filtro IIR è troncata quindi approssimata. >> impulso[1 ]; >> hfiltr(b,a,impulso); >> _convconv(h,x); In qusto caso _conv ha NP+Q-1 punti, dov P sono il numro di campioni di h (in qusto caso 8) Q i campioni di x (11 campioni). N in qusto caso è pari a 18. La taratura dll ass frqunial in qusto caso dv ssr così condotta. >> N18; >> df1/(n*t); >> fdf*[-n/2:n/2-1] 6

7 Esmpio di Filtro FIR Considriamo il sistma dscritto dalla sgunt funion di trasfrimnto nl dominio Z H 1 M k k 2 ( ) M Si tratta di un filtro a risposta impulsiva finita (Finit Impuls Rspons, FIR). Si fa notar com i filtri FIR abbiano tutti i poli nll origin dl piano complsso. Procdndo in modo analogo a quanto fatto pr il filtro IIR: - stimar l quaion all diffrn a partir dalla funion di trasfrimnto nl dominio. - calcolar la risposta impulsiva analiticamnt - calcolar la risposta impulsiva tramit matlab - stimar la rapprsntaion tramit i vttori B, A com da simbolismo utiliato in Matlab. - Rapprsntar la risposta in frquna pr M Utiliando M 2 5 filtrar l onda quadra prima dscritta, visualiando l uscita sia nl tmpo ch nl dominio di Fourir. L uscita nl dominio tmporal è pari a 7

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