Esercizio 1. Cov(X,Y)=E(X,Y)- E(X)E(Y).

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1 Esrcizi di conomtria: sri 4 Esrcizio Siano, Z variabili casuali distribuit scondo la lgg multinomial di paramtri n, p, p, p p p.. Calcolar la Covarianza tra l variabili d. Soluzion Dat du variabili dinit sullo stsso spazio di probabilità, la loro covarianza, indicata con Cov(,) è dinita com: Cov(,)E(,) E()E(). Dat tr variabili casuali, Z distribuit scondo una lgg multinomial di paramtri n, p, p, p p p, si ossrva ch l distribuzioni marginali ad ssa rlativa sono dll distribuzioni binomiali. Di consgunza la unzion marginal di è () B(n, p ) il cui valor attso è E()np, mntr la unzion marginal di è () B(n, p ) il cui valor attso è E()np. Riman ora da calcolar il valor attso dl prodotto dll variabili casuali ch è pari a: E ( ) (, )!! n! ( n ) p! p Sulla bas dlla ormula dinita pr la covarianza, si ha: n! Cov(,) p!! ( n )! n ( p p ) n ( p p ) ( np )( np ) p Esrcizio Un giocator di roultt scommtt lir sul rosso d lira sulla sri {,,...,}. Sia {Vincita dalla scommssa sul rosso} {vincita dalla scommssa sulla dodicina}. a. Si dtrmini la varianza di di. b. Si dtrmini la covarianza tra d. Soluzion Siano così diniti du vnti: vincita dalla scommssa sul rosso sul rosso scommtto lir vincita dalla scommssa sulla dodicina sulla dodicina lir Tanto l uscita dl rosso (V ) ch dlla dodicina (V ) sono vnti brnoulliani così diniti: V 8 con p 8 con p 8 Vincita scommssa [valor dlla vincita (V)], da cui: V con con p p 8 6 8

2 Esrcizi di conomtria sri 4 (V ) (V ) ntramb trasormazioni linari di variabili casuali brnoullian. a. Ricordando ch il valor attso la varianza di una variabil casual brnoulliana sono rispttivamnt E() p Var() pq p(p), abbiamo: Var(V )p ( p )(8 )/8 Var(V )p ( p )( 6)/8. Sulla bas dlla proprità dlla varianza Var(a+b) a Var(), si dduc: Var()Var[(V )]6Var() Var()Var[(V )]9Var() b. Pr la covarianza il risultato è 6/6. Esrcizio Siano d distribuit in orma bivariata normal d indipndnt con mdi null varianz unitari a. Ricavar la unzion di dnsità congiunta b. Calcolar P( ) c. Calcolar la distribuzion di + Soluzion a. Dat du variabili casuali distribuit in orma bivariata normal d indipndnt con mdi null varianz unitari, la unzion di dnsità congiunta è così dinita: ( ) ( + ), p π b. Graicamnt la soluzion al qusito è ovvia, basta ossrvar la igura riportata qui a ianco. Su di un piano cartsiano è stata riportata la unzion normal standardizzata bivariata, la cui ara total è pari ad. Poiché si richid di calcolar l ara dlla curva contnuta nl trzo quadrant, pr l carattristich di simmtria dlla stssa possiamo dir ch il valor è pari a,5. Analiticamnt invc il problma si risolv intgrando la curva tra (,), ossia svolgndo il sgunt intgral: P ( ; ) π ( + ) d π π d d d 4

3 Esrcizi di conomtria sri 4 qusto prché ( ) ( ) sono unzioni di normali standardizzat, π π il cui intgral tra (,) è pari a.5, dato ch tra (,) è pari all unità la curva è simmtrica risptto allo zro. c. Dat ch si distribuiscono normalmnt rispttivamnt con mdi µ µ scarti quadratici mdi σ σ, la variabil W, dinita com somma dll variabili appna citat, si distribuisc anch ssa com una normal con mdia pari alla somma dll mdi varianza pari alla somma dll varianz. Quindi: W(+) N(,) la unzion di dnsità è 4 la sgunt: ( w ) p. 8 W w w. π Esrcizio 4 Sono dat l du variabili casuali d con unzion di dnsità congiunta: (, ) ( + ) ( + ), altrimnti a. Trovar l du unzioni di dnsità marginali b. Trovar la unzion di dnsità di condizionata ad c. Provar ch P(>) 7/ Soluzion a. la unzion di dnsità marginal di è la sgunt: dov: ( +) ( ) (, ) d ( + ) d d+ d [ ] d [ ] [ ] (pr l intgrazion pr parti). In dinitiva la unzion marginal di è: + ( ) + ( ) d La unzion marginal di invc è: ( ) ( ) + (, ) d ( ) + d d+ d ( + )

4 Esrcizi di conomtria sri 4 b. Pr quanto riguarda la unzion di dnsità di condizionata ad, i casi ch si possono vriicar sono du: s d sono du variabili casuali indipndnti, tal unzion è pari a qulla di dnsità incondizionata dlla ; s invc d non sono du variabili casuali indipndnti allora: ( ) (, ) ( ) ( +) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) c. Bisogna ora dimostrar ch la P(>) 7 Pr il calcolo dlla probabilità ch sia maggior di utilizziamo la sgunt ormulazion: d ( + ) d ponndo la condizion ch sia maggior di, in quanto l intgral è pr un valor di ch varia tra ad d ( + ) d + d d Risolviamo l intgral tra parntsi quadr spzzandolo in intgrali distinti ) d [ ] d ) Sostitundo abbiamo: d d {[ ] [ ] } ( + ) 7 ( ) + + d + d d+ d cvd Inatti è acil vriicar, utilizzando l intgrazion pr parti, ch: d 4 d Esrcizio 5 Siano d variabili casuali normali bivariat con mdi rispttivamnt varianz rispttivamnt 4. Sia inoltr Corr(, ).5. a. Si drivi la unzion di dnsità marginal dlla

5 Esrcizi di conomtria sri 4 b. Si drivi la unzion di dnsità dlla condizionata ad c. Esistono condizioni sotto l quali d sono indipndnti? Soluzion a. Al in di drivar la unzion di dnsità marginal dlla, si ricordi ch s du variabili sono distribuit congiuntamnt com una normal multivariata, l distribuzioni marginali di sono distribuzioni normali unidimnsionali; cioè è distribuito normalmnt con mdia µ varianza varianza ó ó ; pr cui sostitundo i rlativi valori si ha:, è distribuito normalmnt con mdia µ ( ) µ 8 ( ) p.. πσ σ b. Pr potr drivar la unzion di dnsità dlla condizionata ad nl modo più agvol, si ricordi ch s du variabili sono distribuit congiuntamnt com una normal multivariata, la distribuzion condizionata di dato è normal con mdia ó µ + ñ ( µ ) varianza ó σ ( ρ ) pr cui sostitundo nll sprssion i valori dati si ha ch tal unzion si distribuisc ( ) ( ) (, ) ( ) (, ) ( ) N(,9;/) quindi (.9).5. c. In gnral il conctto di covarianza dinisc un caso particolar di dipndnza, ossia qulla di tipo linar. Ciò signiica ch Cov(,), di consgunza Corr(,), non implica ncssariamnt ch d siano indipndnti, mntr sussist la rlazion invrsa pr cui s d sono indipndnti allora Cov(,) quindi anch la corrlazion. Tutto ciò val in gnral, ma nl caso di una normal bivariata la rlazion val in ntrambi i snsi, ossia: INDIPENDENZA CORRELAZIONE UGUALE A ZERO. Di consgunza ssndo la Corr(,).5 non sussistono condizioni pr cui l variabili siano indipndnti. Esrcizio 6 E dato un campion casual di dimnsion n stratto da una popolazion uniorm nll intrvallo ral (,). a. Qual è la probabilità ch du ossrvazioni di tal campion non diriscano più di.5? b. Qual è la probabilità ch la loro smisomma sia maggior di.6? Soluzion Data una distribuzion uniorm così dinita: 4

6 Esrcizi di conomtria sri 4 (, ) < < < < altrimnti a. Si chid di calcolar P(.5). Risolviamo il qusito mdiant un approccio graico: Com si può notar trovar la probabilità sopra indicata signiica calcolar l ara trattggiata, ch si ottin sottrando all ara dl quadrato l ara di du triangoli uguali di cui sono not l dimnsioni, ossia: P(.5)[(.5.5)/]/ %. b. Ora si tratta di trovar P ( + ) > 6. ch calcolrmo smpr ossrvando la rapprsntazion graica. Com si può notar calcolar la probabilità sopra indicata signiica trovar l ara dl triangolo trattggiato, quindi: P ( ) >.6 ( ) ( ). %. 5

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