e coerentemente con quanto evidenziato dal grafico;

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1 POBLEMA Punto La unzion : - È dinita in ; - Intrsca l ass dll asciss in du unti all sgunti asciss: Si noti ch corntmnt con quanto vidnziato dal graico; - Intrsca l ass dll ordinat in, cornt con il graico; - Non rsnta asintoti di alcun tio; - La drivata rima è ' ; oiché, anch qusta carattristica è d è ositiva r ngativa r rtanto è ascissa di massimo rlativo d assoluto d il massimo è,, corntmnt con il graico; ovvro smr ngativa, rtanto la unzion volg smr concavità vrso il basso, corntmnt con il graico - Non rsnta lssi in quanto la drivata sconda è '' Quindi i valori di intrszion con l ass dll asciss sono: Punto a a I unti di non drivabilità sono i unti angolosi ovvro i unti di contatto tra l vari rlich dll gobb Considriamo quindi i unti ad ascissa La drivata rima di aartnnti ad in è: '

2 La drivata rima di in è: ' Essndo ari a - il rodotto tra i coicinti angolari dll rtt tangnti in dduciamo ch i tratti dl graico a dstra sinistra di unti di non drivabilità sono ortogonali La lunghzza di in, è ari a: d d d Quindi la lunghzza dlla gobba in, è ari alla misura dl lato dl quadrato Punto Alicando la roorzion tra lati omologhi si ha: CL:AM=AC:AL rtanto, ssndo CL=, si ha AM AL AC Quindi si ha AM AL AC d d AC Ma, considrando il triangolo ALM, si ha ALM ALM AM AL ˆ tan ˆ cos Sando ch LM A ' ˆ tan si ottin ' AM AL In conclusion AM AL d ovvro una costant

3 Punto Calcoliamo com atto nl unto l drivat di in, si ha: ' ' Quindi la tangnt con coicint angolar orma con l ass dll asciss un angolo di mnt la tangnt con coicint angolar orma con l ass dll asciss un angolo di Di consgunza il oligono rgolar ch ruota sulla dana ha angoli intrni di - = ovvro è un sagono rgolar

4 wwwmatmaticamntit Maturità 7 a cura di Nicola D osa Problma Punto La unzion è continua in tutto l intrvallo, è non drivabil ni unti angolosi ad ascissa T, T con T,, Poichè è riodica di riodo con valori comrsi tra - d, si dduc ch mntr La unzion è: non sist Di consgunza: ' Di sguito nllo stsso ririmnto cartsiano il graico di in rosso ' in vrd Calcoliamo ora h t dt, si ha: : h tdt

5 wwwmatmaticamntit Maturità 7 a cura di Nicola D osa : h t t dt : h t t dt Punto La unzion s sinb ha riodo s b L ara dl triangolo OBC è \ rtanto la robabilità ch un unto ricada in tal triangolo è il %

6 wwwmatmaticamntit Maturità 7 a cura di Nicola D osa L ara dl triangolo mistilino OAB è sin cos d rtanto la robabilità ch un unto ricada nl triangolo mistilino OAB è % La robabilità ch il unto ricada nlla trza art di iano ovvro tra il graico s() la bisttric dl rimo trzo quadrant r dirnza è % Punto Considriamo i graici di cartsiano s in vrd scuro d in marron nllo stsso ririmnto L ara dl sgmnto arabolico OBC è d rtanto la robabilità ch un unto ricada in tal sgmnto arabolico è circa,% tal valor è in diminuzion ristto al valor calcolato rcdntmnt L ara comrsa tra l ass dll ordinat d sin d s cos d in [,] è cos d sin

7 wwwmatmaticamntit Maturità 7 a cura di Nicola D osa rtanto la robabilità ch un unto ricada in tal szion iana è %; tal valor è in aumnto ristto al valor calcolato rcdntmnt La robabilità ch il unto ricada nlla szion iana tra s d r dirnza è ovvro circa,7%; tal valor è in aumnto ristto al valor calcolato rcdntmnt Punto Il volum di rotazion di h nll intrvallo [,] attorno all ass dll ordinat è: d d d d h d h V

8 QUESITI Qusito Intgrando r arti si ha d d E Analogamnt d d E E Qusito Considriamo la sgunt igura Poniamo AD, OD r con r ; di consgunza OA r Il volum dl cilindro è V r d è crtamnt inrior a V ch r ' La drivata rima di V è V V è strttamnt crscnt r rtanto la unzion V visto da cui dduciamo ch la unzion strttamnt dcrscnt in tal valor massimo è V assum valor massimo r Il volum dlla smisra è VSmisra d i \ di tal volum è V Smisra Poichè dduciamo ch il valor massimo V cilindro, non sura i \ dl volum dlla smisra, di consgunza il volum massimo dl

9 Qusito Si ha: a b a b a b a b a b a b Ainchè il it sia inito si dv imorr b b 8, in qusto modo il it divnta a b a a a Imonndo ch tal valor sia si ha a Qusito Il valor mdio è: V M d d 8 Pr variabili alatori continu non ha snso arlar di robabilità ch sia stratto un valor rciso, rtanto la robabilità di strarr / è nulla La robabilità ch il scondo numro sia minor di è: d d Qusito La rtta assant r A B ha quazion y z quindi i aramtri dirttori sono (, -, -) Imonndo la condizion di rndicolarità il iano ha quazion y z d d imonndo il assaggio r C si ricava d ovvro il iano ha quazion y z Qusito Intorno allo ossiamo dir ch sin o rtanto si ha: sin o o

10 Quindi l unico modo r avr un it ral non nullo ari a è Qusito 7 S il iano è tangnt ad una sra, il raggio ch congiung iano sra è ortogonal al iano d i cntri si trovranno sulla rtta contnnt il raggio La rtta assant r (,,) d ortogonal al iano con dirttori (,, -) unti ha quazion z y ovvro z y Il raggio è ari a z y rtanto, sostitundo l variabili y z scritt sora in unzion di, si ottin:, Quindi i du cntri sono,,,,, Qusito 8 Dtta la robabilità ch il dado si rsnti sull acc non numrat con, si ha 7,7% ovvro %, La robabilità ch in lanci la accia non sca mai è: La robabilità ch in lanci la accia sca volta è: La robabilità richista è % 7, Qusito 9 Calcoliamo i valori dlla unzion agli strmi dll intrvallo [-,] Si ha: arctan arctan

11 Inoltr la drivata rima dlla unzion è ' d è smr ositiva, rtanto visti i comortamnti discordi agli strmi di [-,] la strtta crscnza, la unzion uò annullarsi in uno d un solo unto aartnnt all intrvallo (-,) Qusito Il torma di oll ha com iotsi ch la unzion sia continua in [-,] drivabil in (-,) L iotsi di continuità è soddisatta mntr non è soddisatta l iotsi di drivabilità in quanto i unti ad ascissa sono unti angolosi L ascissa in cui si annulla la drivata rima dlla unzion è, ma ciò non contraddic il torma di oll in quanto s rndiamo l intrvallo [-, ] tal torma è comunqu soddisatto Mostriamo ch sono asciss di unti angolosi Si ha: ' Vdiamo i iti dstro sinistro dlla drivata rima in : ' ' ' ' Essndo divrsi ma initi i iti dstro sinistro in dduciamo ch sono asciss di unti angolosi