FUNZIONI IMPLICITE E MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE

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1 FUNZIONI IMPLICITE E MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE Indic 1. Funzioni implicit 1. Ottimizzazion vincolata. Esrcizi 4.1. Funzioni implicit 4.. Ottimizzazion vincolata 6 1. Funzioni implicit Ricordiamo ch s f : [a, b] R, si indica con il grafico di f. graph(f) = (x, y) [a, b] R : y = f(x), Enunciamo il Torma dlla funzion implicita nl caso di dimnsion N =. Torma 1.1 (di Dini o dlla funzion implicita). Sia F : A R una funzion di class C 1 sull aprto non vuoto A R. Indichiamo con E t (F ) = (x, y) A : F (x, y) = t, l insim di livllo t di F. Supponiamo ch (x 0, y 0 ) E t (F ) Allora sistono h, k > 0 d una funzion tal ch y (x 0, y 0 ) 0. f : [x 0 h, x 0 + h] [y 0 k, y 0 + k] x f(x), ( ) E t (F ) [x 0 h, x 0 + h] [y 0 k, y 0 + k] = graph(f). In altr parol, nll intorno rttangolar [x 0 h, x 0 + h] [y 0 k, y 0 + k] dl punto (x 0, y 0 ), l insim di livllo E t (F ) coincid col grafico di una funzion dlla variabil x. Inoltr, la funzion f è di class C 1 val (x, f(x)) (1) f (x) = x. y (x, f(x)) Ossrvazion 1.. Al fin di tnr a mnt la formula (1), è util ossrvar com si ottin: si noti ch pr costruzion val () F (x, f(x)) = t, pr ogni x [x 0 h, x 0 + h]. 1

2 FUNZIONI IMPLICITE E MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE Infatti, la funzion implicita f è costruita in modo ch il suo grafico coincida (localmnt) con la lina di livllo F = t. Drivando risptto a x l idntità () ricordando la rgola di drivazion di funzion composta in più variabili, si ottin quindi (x, f(x)) + x y (x, f(x))f (x) = 0, ovvro y (x, f(x))f (x) = (x, f(x)). x S adsso si divid pr / y, si ottin la formula (1). Ossrvazion 1. (Drivat succssiv). Nll ipotsi dl Torma 1.1, s F è di class C, anch la funzion implicita f sarà di class C. Val inoltr la formula () f (x) = x (x, f(x)) + F x y (x, f(x)) f (x) + F y (x, f(x)) (f (x)). y (x, f(x)) Com prima, qusta formula non ha nint di mistrioso: la si ottin drivando du volt (). Infatti, abbiamo già visto nll Ossrvazion prcdnt ch drivando una volta si ottin l idntità (x, f(x)) + x y (x, f(x))f (x) = 0, pr x [x 0 h, x 0 + h]. Drivando di nuovo risptto ad x qusta idntità, si ottrrà allora x (x, f(x)) + F x y (x, f(x)) f (x) + F y x (x, f(x)) f (x) + F y (x, f(x)) f (x) f (x) + y (x, f(x)) f (x) = 0 Usando il Torma di Schwarz, si ottin adsso facilmnt la (). Ossrvazion 1.4 (Funzion implicita: vrsion in y). Nl caso in cui y (x 0, y 0 ) = 0 ma x (x 0, y 0 ) 0, allora il Torma 1.1 val nlla sgunt forma, in cui il ruolo di x y si scambia : Supponiamo ch (x 0, y 0 ) E t (F ) Allora sistono h, k > 0 d una funzion tal ch x (x 0, y 0 ) 0. g : [y 0 k, y 0 + k] [x 0 h, x 0 + h] y g(y), ( ) E t (F ) [x 0 h, x 0 + h] [y 0 k, y 0 + k] = graph(g).

3 FUNZIONI IMPLICITE E MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE In altr parol, nll intorno rttangolar [x 0 h, x 0 + h] [y 0 k, y 0 + k] dl punto (x 0, y 0 ), l insim di livllo E t (F ) coincid col grafico di una funzion dlla variabil y. Inoltr, la funzion g è di class C 1 val (g(y), y) (4) g y (y) = (g(y), y) x Il Torma (1.1) l Ossrvazion prcdnt, implicano immdiatamnt il sgunt Corollario 1.5. Sia F una funzion com nll nunciato dl Torma 1.1. S l insim di livllo E t (F ) è non vuoto non contin punti critici di F, allora E t (F ) è il sostgno di una curva rgolar. Inoltr, tal curva rgolar si sprim localmnt com una curva cartsiana. Infin, in ogni punto di E t (F ) il gradint F ha la dirzion dl vrsor normal a qusta curva.. Ottimizzazion vincolata Torma.1 (Wirstrass). Sia C R N un insim chiuso limitato. Sia F : C R una funzion continua. Allora F ammtt massimo minimo su C. Dfinizion.. Sia G : R N R una funzion di class C 1. Supponiamo ch l insim di livllo E 0 (G) = x R N : G(x) = 0, sia non vuoto non contnga punti critici di G, ovvro G(x) 0, Allora E 0 (G) si dic vincolo rgolar. pr ogni x E 0 (G). Proposizion.. Sia G : R N R una funzion continua. Allora, pr ogni t R si ha ch E + t (G) = x R N : G(x) > t è aprto, E t (G) = x R N : G(x) < t è aprto, E t (G) = x R N : G(x) = t è chiuso, E t (G) = x R N : G(x) t è chiuso, E + t (G) = x R N : G(x) t è chiuso. Torma.4 (di moltiplicatori di Lagrang). Sia E 0 (G) un vincolo rgolar sia F una funzion dfinita in un intorno di E 0 (G). Supponiamo ch F sia di class C 1. S x 0 E 0 (G) è soluzion di minf (x) : x E 0 (G) oppur maxf (x) : x E 0 (G), allora sist un numro λ R (dtto moltiplicator di Lagrang) tal ch F (x 0 ) = λ G(x 0 ).

4 4 FUNZIONI IMPLICITE E MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE Dimostrazion. Limitiamoci a far la dimostrazion in dimnsion N =, i.. pr funzioni di variabili. Supponiamo ch (x 0, y 0 ) E 0 (G) sia punto di massimo o di minimo pr la rstrizion di F al vincolo E 0 (G). Dalla rgolarità dl vincolo, si ha ch in un intorno [x 0 h, x 0 + h] [y 0 k, y 0 + k] il vincolo E 0 (G) coincid col grafico di una funzion di una variabil. Snza prdità di gnralità, possiamo supporr ch sia G y (x 0, y 0 ) 0, quindi ch, pr il Torma 1.1, E 0 (G) in [x 0 h, x 0 + h] [y 0 k, y 0 + k] sia il grafico di una funzion x f(x). Considriamo quindi la funzion di una variabil h(x) = F (x, f(x)), x [x 0 h, x 0 + h]. Pr ipotsi, h assum massimo o minimo nl punto x 0, ch è intrno all intrvallo [x 0 h, x 0 + h]. Pr il Torma di Frmat, abbiamo quindi h (x 0 ) = 0. Usando la formula di drivazion di funzion composta in più variabili, si ha 0 = h (x 0 ) = x (x 0, y 0 ) + y (x 0, y 0 ) f (x 0 ). In altr parol, si ha ch [ F (x 0, y 0 ), 1 f (x 0 ) ] = 0, ovvro F (x 0, y 0 ) è ortogonal al vttor (1, f (x 0 )). Si ossrvi adsso ch (1, f (x 0 )) è il vttor vlocità dlla curva cartsiana x (x, f(x)) nl punto (x, f(x 0 )) = (x 0, y 0 ). Com tal, è tangnt alla curva in (x 0, y 0 ). In altr parol, F (x 0, y 0 ) dv ssr ortogonal alla curva di livllo in (x 0, y 0 ). Ricordando ch tal dirzion ortogonal è individuata da G(x 0, y 0 ) (il vincolo infatti è rgolar), s n conclud th F (x 0, y 0 ) G(x 0, y 0 ), dvono ssr parallli..1. Funzioni implicit.. Esrcizi Esrcizio.1. Sia F : R R la funzion dfinita da F (x, y) = x y 4 + y + y sin x + ( x x 1). Si considri l insim di livllo 0, i.. E 0 (F ) = (x, y) R : F (x, y) = 0. Allora: (1) provar ch in un intorno di (0, 0), l insim di livllo E 0 (F ) può ssr rapprsntato com grafico di una funzion x f(x); () calcolar f (0); () calcolar il limit sgunt lim x 0 f(x) sin x.

5 FUNZIONI IMPLICITE E MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE 5 Soluzion. (1) Cominciamo con l ossrvar ch F (0, 0) = 0, quindi (0, 0) E 0 (F ). Inoltr, si ha da cui F (x, y) = (y 4 + y cos x + ( x 1), 4 x y + + sin x), F (0, 0) = (0, ). Abbiamo quindi / y(0, 0) 0 si può applicar il Torm 1.1. Esistono quindi h, k > 0 d una funzion f : [ h, h] [ k, k] di class C 1, tal ch E 0 (F ) coincid con il grafico di f nll intorno dll origin [ h, h] [ k, k]. () Ossrviamo ch f(0) = 0, dal momnto ch (0, 0) sta sia sulla lina di livllo 0 di F ch sul grafico di f. Dalla formula (1), abbiamo quindi f (0) = (0, 0) x 0 = y (x, 0) = 0. () Si ossrvi ch il limit f(x) lim x 0 sin x, si prsnta com una forma indtrminata dl tipo 0/0. Al fin di calcolar qusto limit, possiamo ricordar ch sin x = x + o(x ), pr x 0. S riusciamo a trovar lo sviluppo di Taylor all ordin dlla funzion implicita f intorno a 0, potrmo calcolar qusto limit. Si ossrvi innanzitutto ch F è di class C, quindi anch la f è di class C (vdi Ossrvazion 1.). Inoltr, dalla formula () pr la drivata sconda, si ha f (0) = Ricordando ch x (0, f(0)) + F x y (0, f(0)) f (0) + F y (0, f(0)) (f (0)). y (0, f(0)) f(0) = 0 f (0) = 0, si ha quindi (0, 0) f (0) = x. y (0, 0) Ossrviamo infin ch (x, y) = y sin x + x quindi x Ottniamo allora da cui f (0) = = 1, (0, 0) =. x f(x) = f(0) + f (0) x + 1 f (0) x + o(x ) = x + o(x ).

6 6 FUNZIONI IMPLICITE E MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE Figura 1. L insim di livllo 0 dlla funzion F. Si ossrvi ch, all intrno dl riquadro trattggiato, l insim di livllo coincid col grafico di una funzion f dlla variabil x. In rosso, il grafico dl polinomio di Taylor di ordin dlla funzion implicita f. In dfinitiva, si ha lim x 0 Qusto conclud l srcizio. f(x) x sin x = lim + o(x ) x 0 x + o(x = 1 )... Ottimizzazion vincolata. Esrcizio.. Trovar l soluzioni di sgunti problmi di ottimizzazion vincolata min x x + y : 4 + y 9 = 1, max x + y : x 4 + y 9 = 1. Soluzion. Si ossrvi innanzitutto ch il vincolo (x, y) R x : 4 + y 9 = 1, è un insim chiuso rgolar (infatti, si tratta di un lliss con smiassi di lunghzza, rispttivamnt). Dal momnto ch la funzion (x, y) x + y è continua, allora pr il Torma.1 sappiamo ch i problmi in qustion ammttono soluzion.

7 FUNZIONI IMPLICITE E MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE Figura. Il vincolo dll Esrcizio. Al fin di trovar l soluzion, vogliamo usar il Torma.4 con F (x, y) = x + y G(x, y) = x 4 + y 9 1. Ossrviamo ch l ipotsi dl Torma.4 sono soddisfatt: infatti F è di class C 1 su tutto R. Inoltr il vincolo è rgolar, dal momnto ch G(x, y) = ( x, ) 9 y, ch coincid col vttor nullo s solo s (x, y) = (0, 0). Tuttavia qusto punto non soddisfa x /4 + y /9 = 1, ovvro non appartin al vincolo. In bas al Torma di moltiplicatori di Lagrang, l soluzioni sono da crcarsi tra i punti (x, y) tali ch G(x, y) = 0 F (x, y) = λ G(x, y), pr qualch λ R. In altr parol, dobbiamo risolvr il sistma di quazioni incognit (x, y; λ) dato da Ossrvando ch F (x, y) = λ G(x, y) G(x, y) = 0 F (x, y) = ( x, ),

8 8 FUNZIONI IMPLICITE E MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE qusto sistma divnta x = λ x x = λ 9 y 4 + y = 1. 9 Risolviamo adsso qust ultimo sistma: si ha x = λ x x (4 λ) = 0 = λ 9 y λ y = 7 x 4 + y 9 = 1. x 4 + y 9 x = 0 = 1. λ = 4 λ y = 7 y = 9. x = 0 x y = 7 8 = 1 y 4 9. λ = 4 y = ± y = 7 8 λ = ± 9. x = Ossrvando ch 81/64 > 1, si ottin ch il scondo sistma non da soluzioni, quindi l unich soluzioni trovat sono (x, y) = (0, ) con λ = 9, (x, y) = (0, ), con λ = 9. Al fin di trovar massimo minimo, non ci rsta ch calcolar F ni punti trovati, ovvro F (0, ) = 9 F (0, ) = 9. Abbiamo quindi ch (0, ) è punto di minimo vincolato (0, ) è punto di massimo vincolato. Val inoltr ch min x x + y : 4 + y 9 = 1 = 9, Qusto conclud l srcizio. max x + y : x 4 + y 9 = 1 = 9.

9 FUNZIONI IMPLICITE E MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE 9 Esrcizio.. Trovar l soluzioni di sgunti problmi di ottimizzazion vincolata max x y + y5 5 : x + y 4 1, min x y + y5 5 : x + y 4 1. Soluzion. Ossrviamo ch il vincolo E = (x, y) R : x + y 4 1, è un insim chiuso, grazi alla Proposizion.. In oltr, si tratta di un insim limitato, dal momnto ch s (x, y) E, allora pr dfinizion x x + y 4 1 y 4 x + y 4 1, da cui si ottin ch s (x, y) E, allora x 1 y 1. Qusto dimostra ch E è limitato, in quanto contnuto nl quadrato di cntro (0, 0) lato. Dal momnto ch la funzion F (x, y) = x y + y 5 /5 è continua, pr il Torma.1 sappiamo ch i problmi di ottimizzazion max x y + y5 5 : x + y 4 1, min x y + y5 5 : x + y 4 1, ammttono soluzion. Al fin di trovar l soluzioni, dobbiamo distingur il caso di punti intrni al vincolo qullo sul bordo dl vincolo. In altr parol, dobbiamo considrar sparatamnt i du problmi: (i) trovar i punti di minimo /o massimo locali di F (x, y) ch appartngono all aprto (x, y) R : x + y 4 < 1 ; (ii) punti di massimo minino di F sul bordo (x, y) R : x + y 4 = 1. Una volta ch avrmo trovato tutti i punti candidati, si procdrà a valutar F su qusti punti, al fin di dcidr quanto valgono il massimo d il minimo su tutto l insim E. Procdiamo quindi pr punti: (i) dal Torma di Frmat, sappiamo ch ni punti di massimo o minimo intrni, il gradint dv annullarsi. Troviamo quindi i punti critici di F, ch stanno nll insim (x, y) R : x + y 4 < 1. Si ha F (x, y) = (0, 0) x y = 0 x + y 4 = 0 Com si vd facilmnt dalla sconda quazion, dv risultar (x, y) = (0, 0), ch rapprsnta quindi l unico punto critico di F. Si noti ch (0, 0) appartin all insim (x, y) R : x + y 4 < 1. S vogliamo dcidr la

10 10 FUNZIONI IMPLICITE E MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE 1,5 1 0,5,5 - -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5, -0,5-1 -1,5 Figura. Il bordo dl vincolo dll Esrcizio.. In blu i punti di massimo, in rosso i punti di minimo. natura di qusto punto critico, possiamo provar a studiar il sgno dlla matric Hssiana: si ha [ ] y x HF (x, y) = x 4 y da cui si ottin HF (0, 0) = [ ovvro (0, 0) è un punto critico dgnr. Non possiamo quindi pr il momnto concludr nint. Tuttavia, notiamo ch la rstrizion di F alla curva x = 0 è data da ] h(y) = F (0, y) = y5 5. Tal funzion è monotona crscnt, quindi il punto (0, 0) non può ssr n di massimo n di minimo; (ii) andiamo adsso sul bordo, usando anch stavolta il Torma di moltiplicatori di Lagrang. Si ossrvi ch il vincolo è dlla forma (x, y) R : G(x, y) = 0, con G(x, y) = x + y 4 1. Si tratta di un vincolo rgolar, dal momnto ch G(x, y) = ( x, 4 y ) = (0, 0) s solo s (x, y) = (0, 0), ma qust ultimo punto non appartin al vincolo. sistma di moltiplicatori di Lagrang F (x, y) = λ G(x, y) G(x, y) = 0 Impostiamo quindi il

11 FUNZIONI IMPLICITE E MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE 11 ch divnta in qusto caso x y = λ x x + y 4 = 4 λ y x + y 4 = 1 x (y λ) = 0 x + y 4 = 4 λ y x + y 4 = 1 x = 0 y 4 = 4 λ y y 4 = 1 x = 0 y = ±1 4 λ = ±1 x = 0 y = ±1 4 λ = ±1 y = λ x + λ 4 = 4 λ 4 x + λ 4 = 1 y = λ x = λ 4 4 λ 4 = 1 λ = ±1/ y = ±1/ x = / I punti candidati massimi o minimi sono quindi 6 prcisamnt ( ) ( ) (0, ±1), ±, 1, ±, 1 Ossrviamo adsso ch F (0, 1) = 1 5, F (0, 1) = 1 5, F (± F ( Abbiamo quindi ottnuto max x y + y5 5 : x + y 4 1 min ± ), 1 = 4. = 4, x y + y5 5 : x + y 4 1 = 4, Qusto conclud l srcizio. con con ( ± ( ± ), 1 = 4 ), 1 ), 1 punti di massimo, punti di minimo.