OPERATORI DIFFERENZIALI IN COORDINATE POLARI. Indice 1. Gradiente in coordinate polari 1 2. Laplaciano in coordinate polari 3 3.

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1 OPERATORI DIFFERENZIALI IN COORDINATE POLARI Indic 1. Gradint in coordinat polari 1 2. Laplaciano in coordinat polari 3 3. Esrcizi 4 1. Gradint in coordinat polari Sia f una funzion di class C 1 dfinita su R 2. Supponiamo di far il cambio di variabili x = cos ϑ 0, ϑ [0, 2 π]. y = sin ϑ Allora fx, y = f cos ϑ,, sin ϑ, ch è quindi una funzion dll nuov variabili ϑ. Com cambiano, dopo qusto cambio di variabili? Pr rispondr alla domanda, usiamo intanto la formula di drivazion pr la funzion composta in più variabili. Si ottngono l rlazioni 1 2 = cos ϑ + sin ϑ, = sin ϑ + cos ϑ. Vogliamo adsso invrtir qust rlazioni scrivr in funzion di,. A tal scopo, moltiplichiamo l quazion 1 pr, sin ϑ, moltiplichiamo l quazion 2 pr cos ϑ sommiamo l du quazioni così ottnut. Si ottin sin ϑ = sin ϑ cos ϑ + sin2 ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ + cos2 ϑ sin ϑ, 1

2 2 OPERATORI DIFFERENZIALI IN COORDINATE POLARI da cui, ricordando ch cos 2 ϑ + sin 2 ϑ = 1, si ha 3 = sin ϑ Pr trovar /, procdiamo in modo analogo: moltiplichiamo l quazion 1 pr cos ϑ, moltiplichiamo l quazion 2 pr sin ϑ sommiamo l du quazioni così ottnut. Si ottin cos ϑ sin ϑ = cos2 ϑ + sin ϑ cos ϑ sin ϑ + sin 2 ϑ + cos ϑ sin ϑ sin ϑ. Ricordando di nuovo ch cos 2 ϑ + sin 2 ϑ = 1, si ha 4 = cos ϑ sin ϑ Abbiamo anch 2 f 2 = + = cos ϑ da cui si ottin sin ϑ 2 = cos 2 ϑ + sin2 ϑ 2 + sin 2 ϑ + cos2 ϑ 5 f = 2 + sin ϑ cos ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ, Ossrvazion 1.1 Funzioni a simmtria radial. Supponiamo ch f sia una funzion C 1 dlla forma fx, y = h x 2 + y 2, con h : [0, + R di class C 1 tal ch h 0 = 0. coordinat polari la funzion divnta f cos ϑ, sin ϑ = h, Allora in tal caso in da cui = cos ϑ h f = h. = sin ϑ h

3 OPERATORI DIFFERENZIALI IN COORDINATE POLARI 3 2. Laplaciano in coordinat polari S f è una funzion di class C 2 dfinita su R 2 o vntualmnt su un suo sottoinsim, si chiama Laplaciano l oprator dfinito da fx, y = traccia D 2 fx, y = 2 f 2 x, y + 2 f x, y. 2 Vdiamo com si trasforma qusto oprator in coordinat polari. Ossrvando ch 2 =, 2 =, si tratta di ritrar l formul 3 4. Si ha quindi 2 = cos ϑ sin ϑ = cos ϑ sin ϑ = cos ϑ cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ = cos 2 ϑ 2 f 2 cos ϑ sin ϑ 1 sin ϑ 2 = cos ϑ sin ϑ + sin ϑ sin ϑ = sin ϑ = sin ϑ sin ϑ sin ϑ = sin 2 ϑ 2 f 2 sin ϑ 1 sin ϑ cos ϑ.

4 4 OPERATORI DIFFERENZIALI IN COORDINATE POLARI Quando sommiamo qust du quantità, si ottin f = cos 2 ϑ 2 f 2 cos ϑ sin ϑ 1 sin ϑ cos ϑ + sin ϑ sin ϑ + sin 2 ϑ 2 f 2 + cos ϑ sin ϑ 1 sin ϑ cos ϑ, ovvro, usando ancora l idntità trigonomtrica fondamntal, f = 2 f 2 sin ϑ cos ϑ sin ϑ + sin ϑ Svolgiamo adsso l drivat mancanti: si ottin f = 2 f 2 In dfinitiva, abbiamo ottnuto + sin2 ϑ sin ϑ cos ϑ 2 f sin ϑ cos + ϑ + sin2 ϑ 2 + cos2 ϑ sin ϑ 2 f cos ϑ sin ϑ + cos2 ϑ 2 sin ϑ cos ϑ, = 2 f 2 + cos2 ϑ + sin 2 ϑ + cos2 ϑ + sin 2 ϑ 2. 6 f = 2 f Esrcizi Esrcizio 3.1. Una funzion f di class C 2 su un aprto A R 2 si dic armonica in A s vrifica fx, y = 0, pr ogni x, y A. Vrificar ch pr ogni n N, l funzioni dat in coordinat polari da sono armonich su R 2., ϑ n cosn ϑ, ϑ n sinn ϑ,

5 OPERATORI DIFFERENZIALI IN COORDINATE POLARI 5 Dimostrazion. Bastrà usar la formula 6 pr il Laplaciano in coordinat polari. Prndndo f, ϑ = n cos ϑ si ha pr ogni n 2 f = n n 1 n 2 cosn ϑ + n n 2 cosn ϑ n 2 n 2 cosn ϑ = 0. I casi n = 0 n = 1 sono lasciati com vrifica allo studnt. Ossrvazion 3.2. Ci si potrbb chidr ch forma assumano l funzioni armonich prcdnti, risptto all variabili uclid usuali x, y. Pr n = 1, qust funzioni non sono altro ch Pr n = 2 ricordando ch cos ϑ = x sin ϑ = y. cos2 ϑ = cos 2 ϑ sin 2 ϑ sin2 ϑ = 2 sin ϑ cos ϑ si ha cos2 ϑ = x 2 y 2 sin2 ϑ = 2 x y. Si vrifica facilmnt ch qust du funzioni sono ffttivamnt armonich, usando il Laplaciano nll coordinat uclid usuali. Pr n = 3, si ossrvi ch ch Abbiamo dunqu cos3 ϑ = cos2 ϑ + ϑ = cos2 ϑ cos ϑ sin2 ϑ sin ϑ = cos 3 ϑ 3 sin ϑ cos ϑ sin3 ϑ = sin2 ϑ + ϑ = sin2 ϑ cos ϑ + cos2 ϑ sin ϑ = 3 sin ϑ cos 2 ϑ sin 3 ϑ. 3 cos3 ϑ = x 3 3 x y 2 3 sin3 ϑ = 3 x 2 y y 3. Nuovamnt, è facil vrificar ch qust du funzioni sono ffttivamnt armonich. Si ossrvi ch tutt qust funzioni fin ora ottnut, sono polinomi nll variabili x y. Si può dimostrar ch in fftti qusto è vro pr ogni n N omttiamo i dttagli.

6 6 OPERATORI DIFFERENZIALI IN COORDINATE POLARI Figura 1. La funzion armonica n cosn ϑ, pr n = 3.