α = α λ e Essendo ( ) , sostituendo nella (81) si ottiene: (83) 3 (86) Possiamo adesso scrivere la soluzione generale della (81): ~ 2

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1 Appunti dll lzion dl Prof Stfno D Mrchi dl //6 cur dl Prof Frnndo D Anglo Soluzion di un srcizio ssgnto nll scors lzion (srcizio h) (8) L soluzion gnrl dll quzion ssocit è dt d: (8) ( ) o Ossrvto ch il trmin ch rnd non omogn l quzion è un funzion sponnzil possimo crcr un soluzion prticolr dll non omogn ch si dllo stsso tipo cioè: (8) ( ) sostitundo nll (8) si ottin: Essndo ( ) (8) d cui: (84) (85) ( ) (86) s Possimo dsso scrivr l soluzion gnrl dll (8): o (87) ( ) ( ) ( ) R Trttimo dsso il cso prticolr : (88) rchimo un soluzion prticolr dll non omogn dl tipo: (89) ( ) sostitundo nll (88) si ottin: Essndo ( ) (9) d cui: (9) Allor l soluzion prticolr dll non omogn è: (9) ( ) Possimo scrivr l soluzion gnrl dll (88): o (9) ( ) ( ) ( ) ( ) R Esmpio 7 (94) L soluzion gnrl dll omogn ssocit: (95) è dt d: (96) ( ) o

2 Essndo l (94) un quzion linr possimo crcr un soluzion prticolr dll non omogn dl tipo: (97) ( ) ( ) ( ) con ( ) ( ) soluzioni prticolri rispttivmnt dll quzioni: (98) () ( ) ( ) ( ) Sostitundo nll (98): ( ) ( ) 4 Sostitundo i vlori trovti nll () si ottin: () ( ) 4 (99) () ( ) ( ) Sostitundo nll (99): ( ) ( ) Sostitundo i vlori trovti nll () si ottin: () ( ) ( ) Sostitundo l () () nll (97) si h: (4) ( ) ( ) ( ) ( ) l soluzion gnrl dll (94) è: (5) ( ) ( ) ( ) ( ) R o

3 Equzioni diffrnzili dl primo ordin vribili sprbili Un quzion diffrnzil dl primo ordin vribili sprbili è dl tipo: () ( ) g( ) h[ ( ) ] ov g : I R h : J R sono funzioni dfinit in un sottointrvllo di R Ossrvzion S o è uno zro di h[] llor l funzion () o tnt è soluzion dll () Supposto invc [ ] () h ( ) [ ( ) ] g( ) h l () può porsi nll form: Si G ( ) un primitiv di g ( ) G ( ) g( ) d ( ) intgrimo mbo i mmbri dll () risptto si ottin: () ( ) [ ( ) ] d g h ( )d d d si h d Essndo ( ) d d (4) F ( ) G( ) S F è un funzion invrtibil in h ( ) d [ ( ) ] h( ) J J ricvr l soluzion dll () usndo l funzion invrs: (5) F ( G( ) ) Esmpio (6) ( ) (7) Intgrndo mbo i mmbri: F un primitiv di d F( ) l () divnt: s G( ) F( J ) I I F ( ) h ( ) h( ) d ; llor s dll (4) si può formlmnt (8) d d m ssndo d d si h nch: (9) d d Utilizzndo l rgol di intgrzion si ottin: () d cui:

4 4 () ( ) ( ) L condizion inizil è ( ) quindi sostitundo nll (): () ( ) ( ) quindi l soluzion dll (6) è in dfinitiv: () Qusiti ) sist un soluzion dll (6) dfinit in tutto R? b) l soluzion dll (6) è unic? È fcil rispondr l qusito b): l rispost è no; inftti nch l funzion idnticmnt null ( ) è soluzion Pr rispondr l qusito ) si ossrvi invc ch l funzion dfinit trtti: (4) ( ) < è soluzion dll (6) in tutto R d è ivi continu drivbil inftti: (5) ( ) lim lim l l (6) ( ) < ssndo lim lim È inoltr fcil vrificr ch nch l fmigli di funzioni ( ) ( ) R : (7) ( ) ( ) ( ) < risolv il problm (6) Il problm di uch (6) inftti non soddisf ll ipotsi dl torm ch grntisc l unicità dll soluzion!! Esmpio (8) ( ) Si vrifichi ch l soluzion è unic d è dt d: (9) < in cui è ncssrio rstringr il dominio con l condizion < s voglimo vr un soluzion di clss su un intrvllo

5 Vdimo () Intgrndo mbo i mmbri: () d d m ssndo d d si h nch: () d d Utilizzndo l rgol di intgrzion si ottin: () d cui: (4) L condizion inizil è ( ) quindi sostitundo nll (4): quindi l (5) ( ) soluzion dll (8) è in dfinitiv: (6) < Ossrvzion S voglimo un soluzion di clss (cioè continu con drivt continu) in un intrvllo dobbimo rstringr il dominio con l condizion < L condizion > priori possibil non contin lo zro quindi non è idon soddisfr l condizion inizil dl problm Si ossrvi nll figur lto il grfico dll soluzion Esmpio (7) h ( ) ( ) Dtrminr l vrir di l intrvllo mssiml di sistnz dll soluzion Ossrvzion Pr (il vlor è il punto in cui non è dfinit l funzion h( ) Pr non sist un soluzion iò prmsso (8) ( ) Intgrndo mbo i mmbri: m ssndo d d si h nch: (9) ( ) d d ) sist crtmnt un soluzion 5

6 () ( ) d d Utilizzndo l rgol di intgrzion si ottin: () ( ) ( ) ± L condizion inizil è ( ) quindi sostitundo nll (): () ( ) ± ( ) quindi l soluzion dll (7) è in dfinitiv: () ( ) ± ( ) ± ( ) onsidrimo l soluzion ch si ottin dll () scglindo il sgno : (4) ( ) ( ) Ossrvndo ch nll (4) qundo I (5) ( ) Esmpio 4 (6) ( ) ( ) l intrvllo mssiml è Vrificr ch l unic soluzion è dfinit nll intrvllo mssiml ( ) (7) Intgrndo mbo i mmbri: (8) d d m ssndo d d si h nch: (9) d d Essndo l (9) si può riscrivr nl modo sgunt: (4) d d d d Utilizzndo l rgol di intgrzion si ottin: (4) ln ln ( ) ln L condizion inizil è ( ) quindi sostitundo nll (4): I ov 6

7 7 (4) ( ) ln quindi l soluzion dll (6) è in dfinitiv: (44) ( ) ln L (44) è dfinibil priori nll insim S soluzion dl sgunt sistm: (45) ± > ± ln ln ) / ( ( ) ( ) ( ) ± ± ± ± ± ± Quindi l insim S soluzion dll (45) è: (46) ( ) S Ossrvto ch l condizion inizil dll (6) richid ch pprtng ll intrvllo mssiml l intrvllo mssiml è (47) I Esmpio 5 (48) ( ) Vrificr ch ( ) (cioè l soluzion idnticmnt null) è l unic soluzion in I R Si lsci l lttor pr srcizio

8 Equzioni diffrnzili linri dl scondo ordin omogn cofficinti tnti Si trtt di quzioni dl tipo: (49) ( ) b ( ) c( ) b c R Si crcno soluzioni dl tipo: (5) ( ) con R Sostituimo l (5) nll (49): (5) b c d cui: quindi: (5) ( b c) (5) b c L (5) è dtt quzion crttristic Essndo in qusto cso un quzion di scondo grdo dovrmo considrr tr csi cso: b 4c > Si hnno du rdici rli distint quindi du soluzioni: (54) ( ) ( ) Qusito: sono tli soluzioni linrmnt indipndnti? Pr rispondr dobbimo introdurr il conctto di indipndnz linr n Dti s vttori s con i R truimo l combinzion linr ii con i R tnti rbitrri Dfinizion Si dic ch i vttori s sono linrmnt indipndnti s l quzion s (55) ii i h com unic soluzion qull in cui tutt l tnti i sono null Ossrvzion I vttori s i n i R si possono ritnr d smpio vttori colonn cioè mtrici rttngolri vnti n righ un sol colonn Ad smpio: Esmpio R onsidrimo i sgunti vttori pprtnnti 4 è un vttor colonn (in qusto cso 4 righ colonn) R : Scrivimo l quzion (vdi l (55) in qusto cso s ): (56) 8

9 9 in cui è il vttor nullo in R L (56) si può riscrivr splicitmnt nl modo sgunt: (57) d cui (58) In bs ll dfinizion ssndo l soluzion dll (58) idnticmnt null (cioè tutt l tnti sono null) si può concludr ch i vttori sono linrmnt indipndnti Esmpio onsidrimo i sgunti vttori pprtnnti R : Scrivimo l quzion: (59) ch si può riscrivr splicitmnt nl modo sgunt: (6) d cui (6) In qusto cso l (6) mmtt infinit soluzioni ( non l sol soluzion in cui tutt l tnti sono null); prtnto in bs ll dfinizion si può concludr ch i vttori sono linrmnt dipndnti Dopo qust prntsi tornimo l qusito ch ci simo posti nll pgin prcdnt L soluzioni ( ) ( ) sono linrmnt indipndnti? Pr stbilir s l soluzioni ( ) ( ) sono linrmnt indipndnti invc di pplicr in modo dirtto l dfinizion si ricorr l wronskino dfinito nl modo sgunt: (6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W Il wronskino in qusto cso è il dtrminnt di un mtric S il wronskino è divrso d zro possimo ffrmr ch l soluzioni sono linrmnt indipndnti Vdimo: (6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W ssndo rli distinti nl cso ch stimo trttndo

10 L soluzion gnrl dll () nl cso b 4c > è in dfinitiv: (64) ( ) cso: b 4c b Si hnno du rdici rli coincidnti quindi un soluzion è dt d: (65) ( ) Pr trovr un ltr soluzion linrmnt indipndnt dll (49) utilizzimo il mtodo dll vrizion dll tnt rchimo llor un soluzion dl tipo: (66) ( ) ( ) K con K ( ) funzion incognit Andimo sostituir l (66) nll (49) pr dtrminr ( ) lcolimo l drivt prim scond di ( ) : (67) ( ) K ( ) K( ) [ K ( ) K( ) ] (68) ( ) K ( ) K ( ) K ( ) K( ) K ( ) K ( ) K( ) K [ ] sostituimo (66) (67) (68) nll (49): [ ] b K ( ) K( ) (69) ( ) b ( ) c( ) K ( ) K ( ) K( ) [ ] ck( ) d cui rccoglindo smplificndo: (7) K ( ) ( b) K ( ) ( b c) K( ) Essndo poi b b c l (7) divnt: (7) K ( ) d cui ssndo pr ipotsi si h: (7) K ( ) Un soluzion prticolr dll (7) è snz ltro dt d: K (7) ( ) K ( ) K ( ) Sostitundo l (7) nll (66) ottnimo l soluzion: (74) ( ) Vrifichimo dsso con il clcolo dl wronskino ch l du soluzioni ( ) ( ) linrmnt indipndnti (75) W ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Essndo il wronskino divrso d zro l du soluzioni sono linrmnt indipndnti cso: b 4c < Non ci sono rdici rli L rdici sono complss coniugt: L du soluzioni linrmnt indipndnti sono dt: ω ± iγ / ( ω iγ ) ω ( ω iγ ) ω (76) ( ) [ ( γ) i( γ) ] ; ( ) [ ( γ) i( γ) ] sono

11 Esrcizi ( ) 4 ( ) L quzion crttristic è 4 / / ( i) ( ) ( ) i( ) ± ± L soluzion gnrl dll è dt d: 4 / ± i i i ( ) ( ) ( ) [ ( ) i( ) ] [ ( ) i( ) ] ( ) 4 ( ) L quzion crttristic è 4 ± / / ( ± ) ( ) L soluzion gnrl dll è dt d: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 / L quzion crttristic è ( ) ( ) L soluzion gnrl dll è dt d: ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 5( ) L quzion crttristic è 5 ± 5 ± i i i i ( ) ( i ) ( ) ( i ) L soluzion gnrl dll 4 è dt d: ( ) ( ) ( ) ( i ) ( i ) 5 ( ) 6 ( ) 9( ) 6 L quzion crttristic è 9 ( ) ( ) ( ) L soluzion gnrl dll 5 è dt d: ( ) ( ) ( ) ( ) i