Integrale indefinito

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1 04//05 Intgrl indinito unzion intgrl Dinizion Si un unzion intgrbil scondo Rimnn nll intrvllo [,b] [,b], si dinisc unzion intgrl di, l intgrl dinito: t

2 04//05 Torm ondmntl dl clcolo intgrl Si continu in [,b], llor l unzion intgrl è di clss C [,b] d continu in [,b] si t ], [ b Dimostrzion Scrivimo il rpporto incrmntl di : t t t Torm ondmntl dl clcolo intgrl Pr il Torm dll mdi intgrl pplicto d in [,+], :, Si è ottnuto Ed ssndo continu in [,b] si l tsi: t lim lim 0 0

3 04//05 Intgrl indinito Ossrvzion L ipotsi di continuità pr è ondmntl pr l drivbilità di. Intti s è solo intgrbil non si puo rmr c è drivbil. Esmpio 0 sgn 0 è intgrbil m non è continu, è continu m non è drivbil in =0. Intgrl indinito Dinizion Un unzion, drivbil in [,b], si cim primitiv di s Esmpio [, b] Un primitiv di = cos è l unzion =sin. S =

4 04//05 Intgrl indinito S è un primitiv di lo è nc +c Intti c Dinizion L migli di tutt l primitiv di un unzion continu in [,b] è dtt intgrl indinito si indic: d quindi d c Intgrl indinito Corollrio dl Torm ondmntl dl clcolo intgrl Si un unzion continu su [,b] G un primitiv di. Allor b d G b G G G b b Esmpio 0 cos d sin sin 0 sin 0 d 7 4

5 04//05 Dimostrzion S G è un primitiv di llor c: bst porr =b si ottin G t c b t G b G. Qusto è il lgm tr l intgrl dinito l intgrl indinito b d. d è un numro rl d b è un insim di unzioni d Intgrl indinito, proprità Dll proprità dll drivt si ottin: i g d d g d, ii c d c d, c costnt 5

6 04//05 Intgrl indinito Intgrli indiniti immditi d c d ln c d c, sin d cos c, cos d sin c,, 0, cos d tg c d rcsin c d rccos c d rctg c Intgrli indiniti immditi Ricordndo l drivt di unzion compost, si g g d g c Esrcizio sin d d sin ln cos cos cos c 6

7 04//05 Intgrli indiniti immditi Esrcizio sin cos d sin cos cos d c d d c d d ln rctg c rctg rctg Intgrzion pr prti Sino g du unzioni drivbili con drivt continu, si = ttor inito g d g g d g d ttor dirnzil L ipotsi c l drivt di g sino continu ssicur c gli intgrli sino bn diniti. 7

8 04//05 Intgrzion pr prti Dimostrzion Considrimo l ormul di drivzion di un prodotto g g g Intgrndo mmbro mmbro si g d g d g d ssndo g un primitiv dll su drivt si ottin l tsi g Intgrzion pr prti Esrcizio Utilizzndo il mtodo di intgrzion pr prti clcolr cos d sin sin d sin cos c ln d ln d ln d ln c 8

9 04//05 Intgrzion pr prti cos sin d d sin cos d sin cos sin d sin d sin cos cos cos d cos sin sin cos sin c d cos d cos sin cos d cos sin cos sin cos d c Intgrzion pr sostituzion È bsto sull rgol di drivzion dll unzion compost. Si continu g un unzion drivbil con drivt continu, si d g t g t g t s =gt llor d=g t è il dirnzil di gt. 9

10 04//05 Intgrzion pr sostituzion S è un primitiv di, ricordndo l rgol di drivzion dll unzion compost si g t g t g t g t g t Cioè g t è un primitiv di g t g t Il risultto dll intgrzion pr sostituzion è in unzion di t. Pr sprimrlo in unzion di occorr c gt si invrtibil, in tl cso bstrà risostituir t: t g. Intgrzion pr sostituzion Esrcizio Utilizzndo il mtodo di intgrzion pr sostituzion clcolr d con l sostituzion t, t 0 d 0

11 04//05 Intgrzion pr sostituzion S l intgrl è dinito: b d si ttu l sostituzion =gt, supponndo c c g b si d g b b c d g t g t d Intgrzion pr sostituzion Esrcizio Clcolr d con l sostituzion sint