Scuole Italiane all'estero ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione SECONDA PROVA SCRITTA Tema di Matematica

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Adelmo Vitale
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1 Sssion ordinri Estro Scuol Itlin llestro ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sssion SECONDA PROVA SCRITTA Tm di Mtmtic PROBLEMA E ssnto un cilindro quiltro Q il cui rio di bs misur. ) Si dtrmini il cono C di volum minimo circoscritto l cilindro ( C Q nno bsi complnri); b) Si dtrmini il vlor di pr il qul il volum di C, pprossimto ll prim cir dciml, è, dm ; c) Si dtrmini il volum dll sr S circoscritt C. PROBLEMA Nl pino ririto d un sistm di ririmnto ortoonl monomtrico è dt l curv G di quzion: ) Si studi si rpprsnti G; b) considrt l rtt r di coicint nolr m pssnt pr il punto A(, ), si dtrmini, l vrir di m, il numro dll intrszioni di r con G; c) si clcoli l r dll rion init di pino R, dl primo qudrnt, ditt d G dll ss ; d) si dtrmini il volum dl solido nrto d R in un iro complto intorno ll ss.

2 Sssion ordinri Estro QUESTIONARIO. Enuncir il torm di d L Hôpitl pplicrlo pr dimostrr c:. Mostrr, vntulmnt nc con smpi, c l drivt dl prodotto di du o più unzioni non è il prodotto dll drivt.. Dimostrr c s un polinomio p() è divisibil pr ( ) m llor ( ) m p è divisibil pr. Clcolr l drivt dll unzion: rcsin rctn Dl risultto quli consunz s n possono trrr pr l ()? E un costnt? 5. Si ricvi l ormul c dà il numro dll combinzioni smplici di n lmnti k k. 6. Vriicr c: lo d ( ). Sino b du numri positivi divrsi d. Dimostrr c: lo b lo 8. L somm di du numri non ntivi è 6. Qul è il vlor più bsso c ssum l somm di loro qudrti? Qul il vlor più lto? b L prov ricid lo svonto di uno di du problmi proposti l rispost quttro domnd sclt ll intrno dl qustionrio. Durt mssim dll prov : 6 or E consntito l uso dll clcoltric tscbil non prormmbil l consultzion dl vocbolrio d Itlino.

3 Sssion ordinri Estro PROBLEMA E ssnto un cilindro quiltro Q il cui rio di bs misur. Punto Si dtrmini il cono C di volum minimo circoscritto l cilindro ( C Q nno bsi complnri); Si considri l iur sottostnt riurnt in szion il cono circoscritto l cilindro. C G K F A D H E B Ponimo CH con >. Il cilindro è quiltro pr cui FE DE. I trinoli CHB CKF sono simili pr cui CH HB CK : KF volum dl cono è V Cono ( π HB ) : cioè : HB ( ) : π CH ( ) ttuimo trmit drivzion. L drivt prim dl volum è: V Cono V V V Cono Cono Cono ( ) ( ) π 6 ( ) ( ) d cui HB. Il. L minimizzzion dl volum l ( 6) ( ) π π π π π ( 6) ( ) ( 6) ( ) ( 6) ( ) > > 6 V 6 Quindi il volum minimo lo si pr Punto Cono < < < 6 V 6 strttmnt crscnt in ( 6, ) Cono pr cui strttmnt dcrscnt in (,6) sciss di minimo rltivo proprio vl ( 6) V Cono π ( 6) 9π ( 6 ) Si dtrmini il vlor di pr il qul il volum di C, pprossimto ll prim cir dciml, è, dm ; Il volum di C è dm s π dm, dm π 9π

4 Sssion ordinri Estro Punto Si dtrmini il volum dll sr S circoscritt C. Considrimo l iur sunt: C O A H B L Il trinolo CLB è rttnolo pr cui CB CB CH CL CL. Or CH CB CH HB dov HB pr cui 9 5 CB CH HB 6 pr cui 5 CB 5 CL CH 6 8 pr cui il rio dll sr è CL 5 R d il volum è 6 V Sr 5 π π πr π π 9 56 dm

5 Sssion ordinri Estro 5 PROBLEMA Nl pino ririto d un sistm di ririmnto ortoonl monomtrico è dt l curv G di quzion: Punto Si studi si rpprsnti G; Dominio: l unzion è dinit in tutto R; Intrszioni ss sciss:, ± ; Intrszioni ss ordint: ; Simmtri: l unzion è dispri in qunto Positività:,, > > ; Asintoti: l unzion non né sintoti vrticli, né orizzontli né obliqui; Comportmnto li strmi dl dominio: ± m ; Crscnz dcrscnz: L drivt prim è pr cui,, è strttmnt crscnt in, è strttmnt crscnt in ± > < < < < > Concvità convssità: l drivt scond è pr cui, è un lsso tnnt obliqu con tnnt. Inoltr, < >, pr cui 9 8, è un minimo rltivo 9 8, è un mssimo rltivo. Il rico è di suito prsntto:

6 Sssion ordinri Estro Punto Considrt l rtt r di coicint nolr m pssnt pr il punto A(, ), si dtrmini, l vrir di m, il numro dll intrszioni di r con G; L rtt di coicint nolr m pssnt pr il punto A(,) quzion m( ). Sicurmnt l rtt l cubic nno in comun l soluzion. L soluzion può ssr sinol o doppi: è doppi nl momnto in cui l rtt di quzion m( ) è tnnt ll cubic. In prticolr l rtt m( ) è tnnt ll cubic qundo m. Crcimo llor qunt soluzioni dirnti d nno in comun l rtt l cubic. Intrscndo l rtt r con l cubic si m( ) d cui, dividndo pr il ttor ( ) m ( ) ( m ) in qunto si stnno crcndo soluzioni dirnti d, si. Si trtt quindi di risolvr il sistm m m ( ). L curv ( ) è un prbol con concvità vrso il bsso vrtic in, c intrsc l ss dll sciss in 6

7 Sssion ordinri Estro (,), (,) ; l rtt di quzion m è prlll ll ss dll sciss. Il rico sunt mostr nllo stsso ririmnto crtsino l prbol l rtt di quzion si notno il numro dll soluzioni :. nssun soluzion pr m > ;. du soluzioni coincidnti pri pr m ;. du soluzioni distint, pr m < m.,. D sso In conclusion tnndo in conto nc l soluzion, sinol o doppi c si, si :. un soluzion,, pr m > ;. tr soluzioni di cui du coincidnti un s un s m ;. tr soluzioni distint pr m < m. m o du coincidnti

8 Sssion ordinri Estro Nll immin sottostnt vin rpprsntt l cubic con l rtt tnnt in di quzion, l rtt tnnt in di quzion ( ) l rtt di quzion Punto Si clcoli l r dll rion init di pino R, dl primo qudrnt, ditt d G dll ss ; L r d clcolr è riurt in vrd nll iur sottostnt: 8

9 Sssion ordinri Estro 9 L r vl 8 d S Punto Si dtrmini il volum dl solido nrto d R in un iro complto intorno ll ss. Il volum vl π π π π π d d V

10 Sssion ordinri Estro QUESTIONARIO Qusito Enuncir il torm di d L Hôpitl pplicrlo pr dimostrr c: Enuncimo l rol di d L Hôpitl: S du unzioni dinit in un intorno di, sono drivbili in tl intorno, con ; s l du unzioni, pr tndono ntrmb o s sist il it dl rpporto dll drivt dll unzioni dt, unzioni vl., llor sist nc il it dl rpporto dll Nl cso in sm è possibil pplicr tl torm, dopo vrlo pplicto volt si 6 5 6! L ln ( ln ) ( ln ) n n n Si ossrvi nc c D [ ] n! s n, D [ ] ( ln ). n In ltrntiv, poicé, clcolndo il it si : Qusito D L Hopitl ln. Mostrr, vntulmnt nc con smpi, c l drivt dl prodotto di du o più unzioni non è il prodotto dll drivt. Dimostrimo c l drivt dl prodotto di du unzioni è. L drivt pr dinizion è il it dl rpporto incrmntl pr cui in du prti ottnimo: ( ) ( ) riscrivibil com ( ) iunndo sottrndo l stss quntità 6 8 ( ) ( ) ( ) ( ). Spzzimo il it

11 Sssion ordinri Estro [ ] [ ] [ ] [ ] Un primo smpio è l prbol di quzion : il prodotto dll drivt dll unzioni componnti è mntr l drivt è ; nlomnt pr l cubic il prodotto dll drivt dll tr unzioni componnti è mntr l drivt è. Qusito Dimostrr c s un polinomio p() è divisibil pr ( ) m llor p è divisibil pr m S il polinomio p() è divisibil pr ( ) m sso può ssr scritto com p m l cui drivt è [ ] m m p m m m d cui dducimo l divisibilità di p pr m. Qusito Clcolr l drivt dll unzion: rctn rcsin Dl risultto quli consunz s n possono trrr pr l ()? E un costnt? L unzion rctn rcsin è dinit pr. In rltà ssndo R >, dducimo c il dominio di rctn rcsin è R. L drivt prim è:

12 Sssion ordinri Estro Quindi l drivt è null, d ssndo rcsin rctn dinit in tutto R, dducimo c l unzion è costnt in tutto R il vlor dll costnt può ssr trovto vlutndo l unzion in un punto dl dominio, d smpio ( ). Qusito 5 Si ricvi l ormul c dà il numro dll combinzioni smplici di n lmnti k k. Si dicono combinzioni smplici di n lmnti divrsi prsi k (con n>k) k (o di clss k) tutti i possibili ruppi c si possono ormr prndndo k dli n lmnti in modo d considrr distinti soltnto qui ruppi c diriscono pr l ntur di lmno un lmnto. Si dicono, invc, disposizioni smplici di n lmnti divrsi prsi k k (o di clss k) (con n>k) tutti i possibili ruppi c si possono ormr prndndo k dli n lmnti in modo d considrr distinti qui ruppi c diriscono, o pr l ntur dli lmnti, o pr il loro ordin. Conrontndo l dinizion di combinzioni smplici con qull dll disposizioni smplici, potrmo dir c pr smpio, i du ruppi { bc, cb} sono du disposizioni divrs (diriscono pr l ordin dli lmnti) m ormno l stss combinzion. Dl prcdnt smpio risult vidnt c oni combinzion può nrr tnt disposizioni qunt sono l prmutzioni di suoi k lmnti. Il numro disposizioni smplici di n lmnti divrsi prsi k k (o di clss k) (con n>k) è dto mtmticmnt dl prodotto di k numri intri conscutivi dcrscnti prtir d n: D n, k ( n ) ( n ) L ( n k ) n L n! ( n k)! Il numro di prmutzioni smplici di k lmnti è dto mtmticmnt dl numro disposizioni smplici di k lmnti prsi k k: P ( k ) ( k ) L! k Dk, k k L k Il numro di combinzioni smplici di n lmnti divrsi prsi k (con n>k) k (o di clss k) è dto dl rpporto tr disposizioni smplici di n lmnti divrsi prsi k k (o di clss k) (con n>k) prmutzioni smplici di k lmnti: dov k not com l di tr ttorili. C n, k D n, k P k n! n ( n k) k!! k n n, k n! n è conosciuto com coicint binomil l ormul D Cn, k è Pk n k k!! k

13 Sssion ordinri Estro Qusito 6 Vriicr c: Intrndo pr prti si : lo d ( ) lo Qusito d lo ( ) Sino b du numri positivi divrsi d. Dimostrr c: lo b lo Pr l proprità dl cmbimnto di bs di loritmi si lo b lob lob lo Qusito 8 b b lob b lo b pr cui lo lo L somm di du numri non ntivi è 6. Qul è il vlor più bsso c ssum l somm di loro qudrti? Qul il vlor più lto? Sino 6, 6 pr cui 6. L somm di qudrti è S (, ) b b c può ssr ricondott unzion di un sol dll du vribili: ( 6 ) 56 L unzion 56 S. S è un prbol con concvità rivolt vrso l lto c riun il suo minimo nll sciss dl vrtic, pr cui l summ di qudrti è minim pr 8 vl S MIN S( 8 ) 8. Il mssimo dll somm di qudrti può ssr riunto solo li strmi dll intrvllo [,6]. In tl cso, vist l simmtri dl problm, il vlor mssimo è uul li strmi dll intrvllo [,6] vl S S( 6) ( 6) 56 S MAX.

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