Numeri complessi - svolgimento degli esercizi

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1 Numri complssi - svolgimnto dgli srcizi ) Qusto srcizio richid di calcolar la potnza n-sima (n 45) di un numro complsso. Scriviamo z nlla forma sponnzial z ρ iθ dov ) ( ) ρ ( + θ π 6 dato ch sin θ cos θ. Si ha z 45 ρ 45 i45θ 45 i( 6 π) 45 i( 6 π+8π) i π π cos + i sin π i. ) Qusto srcizio è dl tutto simil al prcdnt. Si ha ρ θ π 4. Quindi ( ) ( ) z i( 4 π) 45 i( 4 π+π) i 4 π cos 4 π + i sin 4 π + i. ) Si tratta di dtrminar l radici trz di w w ρ iθ dov ρ θ π 4. Dtt + i. Scriviamo w nlla forma sponnzial z k R iϕ k (k 0,, ) l tr radici trz di w, siha R ϕ k π 4 +kπ,k0,,. Si ottngono i valori di ϕ 0 π,ϕ 4 π, ϕ 7 π. Si tratta ora di dtrminar la forma cartsiana dll radici trz di w: pr qusto, utilizzrmo du mtodi. Troviamo, dapprima, la forma cartsiana di z 0 i π. Scriviamo z 0 nl sgunt modo z 0 i( π π 4 ) i π i π 4 cos π + i sin π cos π 4 + i sin π 4 + i + i moltiplichiamo numrator dnominator pr i. Si ottin z 0 + i + i i i i 4 + i ( 6+ +i( 6 )).

2 Braids-Tauraso 00/0 Dtrminiamo ora la forma cartsiana di z i 4 π. Si ha subito ( ) ( ) z cos 4 π + i sin 4 π + i. Infin, dtrminiamo la forma cartsiana di z i 7 π. Scriviamo z nl sgunt modo: z i( 4 π+ π) i 4 π i π ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) cos 4 π + i sin 4 π cos π + i sin π ( ) ( + i ) + i 4 ( 6 i( 6+ )). In altrnativa, utilizziamo l formul di biszion calcoliamo sin π cos π. sin π cos π 6 Analogamnt si calcola cos π Si riottngono, quindi, l radici richist in forma cartsiana 4 ( ) z 0 cos π + i sin π 4 ( 6+ +i( 6 )); z + i ; ( z cos ) π π ( + i sin ) π π 4 ( 6 i( 6+ )). 4) Procdndo com nll srcizio prcdnt, scriviamo w + i w i π. Dtt z k R iϕ k (k 0, ) l du radici scond di w, siha nlla forma sponnzial R ϕ k Si ottngono i valori di ϕ 0 π ϕ 4 π. Quindi, si trova π +kπ π + kπ, k 0,. z 0 + i z i. L radici z 0 z sono, vidntmnt, l una l opposta dll altra.

3 numri complssi - srcizi svolti 5) Si ha z i 7 6 π. Quindi z 68 i( π) i 8 π 8 i( π 80π) i( π) i 4 π i. I tr srcizi succssivi non sono divrsi da qulli considrati in prcdnza. Riportiamo, prtanto, soltanto il numro complsso richisto, sottintndndo il procdimnto sguito pr calcolarlo, pr il qual si vda, ad smpio, l srcizio. 6) Si ha z 6 + i. 7) Si ha z 65 + i. 8) Si ha z 67 + i. 9) Risolviamo qusto srcizio, dl tutto simil al prcdnt, con un mtodo altrnativo. Scritto z nlla forma sponnzial z i 4 π, ossrviamo ch z 4. Quindi si ha z 65 z z 64 z(z 4 ) 6 z + i. 0) Indicat con z 0 z l radici scond di w + i,siha z 0 4 ( 6+ +i( 6 )) z z 0. ) Lavorando com nll srcizio prcdnt, si ha z 0 + i z z 0. ) Si trova, procdndo, ad smpio com nll srcizio, z 5 + i. ) Analogamnt, si trova z 8 i. 4) Ricordando quanto calcolato nll srcizio, si ha 6+ cos π ( π 4 sin π ) sin 5 π;

4 Braids-Tauraso 00/0 4 6 sin π ( π 4 cos π ) cos 5 π. Quindi z 4 ( 6 i( 6+ )) si scriv nlla forma z i( 5 π). N sgu z 9 i( 5 9π) i( 5 (4 5)π) 5 i( 0π+ π) i(π+ π ) i π 4 ( 6+ +i( 6 )). 5) L radici scond di w + i i π 6 sono z 0 i π 4 ( 6+ +i( 6 )) z i π z 0. 6) Sia u z + i. Si tratta, allora, di dtrminar i numri complssi u tali ch u i. L radici scond di i i π sono u 0 i π 4 + i u i 5 4 π i. Quindi, i numri complssi z richisti sono z 0 u 0 i ( ) + i z u i ( ) i +. 7) Risolvndo qusto srcizio com il prcdnt, si ha u z u i. L radici scond di i i π sono u 0 i 4 π + i u i 7 4 π i. Si ottin, quindi z 0 u i z u ++ i. 8) In qusto srcizio, si richidono l radici scond di w +i ( ) + i i π 4. Si ha, quindi z 0 4 i π 8 z 4 i 9 8 π.

5 5 numri complssi - srcizi svolti Calcolando sin π 8 cos π 8 applicando l formul di biszion analogamnt a quanto fatto nll srcizio, si ottngono z 0 z in forma cartsiana 4 ( z 0 + +i ) ( ) ++i z z 0. 9) Il modulo di w i è ugual a 4+4, quindi il modulo dll radici scond di w è ugual a. Scriviamo w in forma sponnzial w ( ) i i π 4. Utilizzando l sprssioni di sin π 8 cos π 8 z z 0. z 0 calcolat nll srcizio prcdnt, si ha ( i π 8 + i ) + i 0) Sia u z + i. Si tratta di dtrminar l radici scond di ( ) u + i i π. Si ha u 0 ( ) i π 6 + i u i 7 6 π ( ) + i. Quindi, i numri complssi richisti sono ( ) 6 z 0 u 0 i + i z u i ( ) 6 i +. ) Procdndo com nll srcizio prcdnt, si trova z 0 6 i z 6 +i. ) Scriviamo l quazion data nlla forma quivalnt z 6z +9 4,

6 Braids-Tauraso 00/0 6 cioè da cui si ricava z ±i, cioè z ± i. (z ) (±i), ) Procdiamo com nll srcizio prcdnt. Si trova z z + 4, (z ) (±i). Si ottin z ± i. 4) Scriviamo l quazion data nlla forma quivalnt z iz + i 4, cioè da cui si ricava z i ±. (z i) 4, 5) È dl tutto simil all srcizio prcdnt. Si trova z i ±. 6) Scriviamo l quazion data nlla forma quivalnt Procdndo com in 7, si trova (z ) i. z + i z + i. 7) Si trova z + + i z i. 8) Riscriviamo l quazion data ffttuando la scomposizion (z i)(z +i) 0, da cui si ricava z i z i. In altrnativa, oprando com nll srcizio 6, scriviamo l quazion data nlla forma quivalnt da cui si riottngono z i z i. (z + i) 4,

7 7 numri complssi - srcizi svolti 9) Procdndo com nll srcizio prcdnt, si trova z i z i. 0) Indicat con z k (k 0,, ) l tr radici trz di w 8i, si ha z k i( π 6 + kπ),k0,,. Si dtrmina, quindi, l insim I {Im(z) :z 8i} {Im(z 0 ),Im(z ),Im(z )} {, }. Prciò, min I. ) Oprando com nll srcizio prcdnt, si trova z k i( π + kπ),k0,,. Si dtrmina, quindi, l insim R {R(z) :z 8i} {R(z 0 ),R(z ),R(z )} {, 0, }. Prciò, max R. ) Scriviamo z + i z 6 i π. Quindi Si trova, allora nlla forma sponnzial z i π. Ossrviamo ch z z 9 z 6 z 6 (z ). Im(z 9 z 6 )0. ch ) Sfruttando l ossrvazioni dll srcizio prcdnt, si ha z 40 z 6 z 6 (z z ) z i. Si trova, allora R(z 40 z 6 ). 4) Poniamo, innanzitutto, z u. Si tratta, allora, di risolvr u (+ i)u + i 0. Scriviamo qusta quazion nlla forma quivalnt ( ) ( ) +i +i u (+ i)u + i,

8 Braids-Tauraso 00/0 8 da cui ( +i Posto w u ( u ( )) ( +i +i ), si tratta di risolvr ) i i i i. w i i π. Indicat con w w l radici scond di i, si ha w i 4 π +i w w i. Quindi u w + +i i u w + +i Ricordando la sostituzion inizial, si ha z i z. Dalla prima quazion si ricava. z + i z i, dalla sconda z z 4. Individuiamo ora la soluzion z 0 x 0 +iy 0 dll quazion data ch soddisfa la condizion y 0 x0. Si tratta di z i. ( ) Si ha, infatti. 5) Lavoriamo com nll srcizio prcdnt: riportiamo solo alcuni passi dllo svolgimnto, mantnndo l stss notazioni. Si trova u i u. Si ottngono, inoltr, z + i,z i,z i z 4 i. La soluzion ch soddisfa la condizion richista è quindi z + i. 6) Poniamo w i. Si tratta di dtrminar il modulo dll radici quarantsim di w. Si ha w z 40. Allora, dtto E l insim E { z : z 40 i } si ha E {} d, vidntmnt, inf E.

9 9 numri complssi - srcizi svolti 7) Individuiamo la radic trza di 7i 7 i π avnt part ral positiva. Si ha ( ) w i π 6 + i + i. Inoltr, la radic trza di avnt part ral positiva è z. Si ottin, quindi w z ( ) + i ( w z ) ) Dtrminiamo l radici scond di i i π. Si trova z + i Analogamnt, dtrminiamo l radici scond di 4i 4 i π ( ) z + i.. Si trova ( ) w + i +i ( ) w + i ( ) +i. Quindi, i numri complssi z w sono z w ± ( + ( +i + )) ± (+ i) Si trova, allora z w ± ( ( +i )) (+ i). z w + z w +. Quindi E { z w : z i w 4i} {, } sup E. L srcizio può ssr risolto divrsamnt in modo più vloc, rapprsntando graficamnt z,z,w w nl piano di Gauss considrando ch z w è dato dalla lunghzza dl sgmnto avnt pr strmi i punti z w. Nl piano di Gauss, z z (w w, rispttivamnt) sono l intrszion dlla

10 Braids-Tauraso 00/0 0 circonfrnza cntrata nll origin di raggio ugual a (ugual a, rispttivamnt) con la bisttric dl primo dl trzo quadrant. Si trova, subito ch z w z w da cui sup E. z w z w, 9) L radici scond di 4i 4 i π sono da cui Inoltr, l radici scond di i i π ( ) z, ± i ( ) ± i, sup{r(z) :z 4i}. sono ( ) z, ± + i, da cui Quindi, il numro richisto è sup{im(z) :z i}. ( ).

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