STABILITÀ DELL EQILIBRIO 5. Tensione critica e snellezza. Al carico critico euleriano (1) N cr =

Transcript

1 Tnsion critica snllzza Al carico critico ulriano STABILITÀ DELL EQILIBRIO 5 π EI cr () l do l è la lunghzza libra di inflssion corrispondnt alla smilunghzza d onda dlla sinusoid formata dalla lina lastica, corrispond la tnsion critica do σ cr l ρ cr A min π E è la snllzza dll asta ρ min il raggio d inrzia minimo dlla szion trasrsal dll asta. Prtanto, s la snllzza dll asta tnd a zro la tnsion critica σ cr tnd ad infinito, icrsa s la snllzza tnd ad un alor molto grand (al limit infinito) la tnsion critica tnd a. Al diminuir dlla snllzza dll lmnto tuttaia, il carico critico cr risulta maggior dl carico A f yk ch dtrmina lo snramnto dl matrial. In tal caso, la modalità di collasso cambia, cioè, ast tozz raggiungono il collasso pr schiacciamnto prima ch si rifichi il fnomno dll instabilità. Pr tali ast il limit di rsistnza corrispond al raggiungimnto dalla tnsion di snramnto pr schiacciamnto dl matrial f yk, mntr pr ast snll la crisi si raggiung prima pr instabilità, quando la tnsion raggiung il alor critico fornito dalla formula di Eulro (). () (3) σ cr σ f yk σ p tnsion critica f yk σ p ast tozz ast snll σ cr π EI ε y p snllzza E. Radi Mccanica di solidi dll struttur, a.a. -3

2 STABILITÀ DELL EQILIBRIO 6 l diagramma σ cr - si indiiduano du zon distint sparat dal alor y dlla snllzza. L ast di snllzza < y ngono dfinit tozz; pr ss la tnsion critica ulriana è suprior a qulla di schiacciamnto (σ cr > f yk ). La sconda catgoria è rapprsntata dall ast snll con > y pr l quali si ha σ cr < f yk. La tnsion massima ch l asta può sopportar corrispond a f yk nl campo dll ast tozz (tratto costant) alla σ cr dfinita in () nl campo dll ast snll (tratto iprbolico). Qusti du campi sono dlimitati dal alor di snllzza y pr il qual la tnsion critica ulriana σ cr guaglia la tnsion di snramnto f yk, cioè π E f yk y y E π (4) f La snllzza y è dfinita snllzza critica dipnd solo dal matrial. In particolar, y si riduc all aumntar dlla rsistnza f yk dl matrial. Considrando i alori dll tnsioni di snramnto f yk pr gli acciai laminati, i alori dlla snllzza critica y (riportati in tablla) ariano circa tra 75 yk spssor < 4 mm spssor > 4 mm acciaio f yk y f yk y S S S In raltà la alidità dlla formula di Eulro è limitata dalla richista ch la σ cr non supri il alor dlla tnsion normal al limit di proporzionalità indicato con σ p. Pr la rifica di stabilità dll ast comprss si utilizzano diagrammi simili a qullo dlla figura prcdnt, ni quali i alori dlla tnsion dlla snllzza sono rsi adimnsionali. In particolar, in ordinat si riporta l andamnto dl rapporto χ σ f cr yk A f cr yk dfinito cofficint di riduzion, in funzion dlla snllzza adimnsional y A f cr yk (5) (6) E. Radi Mccanica di solidi dll struttur, a.a. -3

3 STABILITÀ DELL EQILIBRIO 7 χ coff. di riduzion ast tozz χ ast snll snllzza adimnsional Efftti dll imprfzioni nll ast rali L asta di Eulro soggtta ad una forza prfttamnt cntrata rapprsnta un limit idal a cui l situazioni rali possono tndr, ma mai raggiungr compltamnt. La prsnza di imprfzioni nll ast rali dtrmina una riduzion dl carico critico cr risptto a qullo fornito dalla formula di Eulro (). L imprfzioni possono ssr gomtrich (non prftta linarità dlla lina d ass dll asta, non prftta rticalità di pilastri) oppur dl lgam costitutio dl matrial (lgam non indfinitamnt lastico ma lastoplastico) oppur mccanich (prsnza di stati di tnsion intrni dout ai procdimnti di laorazion dll acciaio). In pratica la prsnza di qust imprfzioni fa sì ch in ogni szion sia prsnt una ccntricità non intnzional, pr cui assim alla forza assial è prsnt anch un momnto flttnt inizial, al qual si aggiung qullo prodotto dagli fftti dlla dformazion. La prsnza di qusto momnto cambia snsibilmnt il comportamnto dll asta di sso si d tnr conto quando si rifica un asta snlla soggtta a carico assial. In prsnza di imprfzioni, il fnomno dll instabilità si manifsta infatti attrarso un comportamnto di tipo asintotico, non biforcatio com nl caso dlla asta di Eulro, con spostamnti smpr più grandi all aumntar dl carico di comprssion, ch dintano illimitati in corrispondnza dl alor critico dl carico. Prtanto, sbbn il alor dl carico critico non sia influnzato dall imprfzioni, la struttura può collassar pr carichi infriori al carico critico, in sguito all ntità ccssia dgli spostamnti. Pr studiar qualitatiamnt il fnomno, si analizza ora il problma di un carico di comprssion applicato ad un asta con ccntricità costant. E. Radi Mccanica di solidi dll struttur, a.a. -3

4 STABILITÀ DELL EQILIBRIO 8 l l cr (3) x Pr il problma considrato in figura, l condizioni al contorno da imporr sulla soluzion gnral dll quazion dlla lina lastica sono: (x) C sin αx + C cos αx + C 3 x + C 4 () () in x EI (l) V in x l da cui si ricaano l costanti di intgrazion: C C 3 C 4 C La corrispondnt quazion dlla lina lastica risulta cosαl (x) ( cos αx) (7) cosαl pr cui lo spostamnto all strmità x l (frccia) dinta (l) (8) cosαl Sotto un carico di comprssion ugual al carico critico dlla tra a mnsola cr π 4l EI cioè pr αl π/, si ha cos αl quindi lo spostamnto risulta illimitato. Tuttaia si possono ar notoli incrmnti di spostamnto risptto alla toria dl I ordin anch pr carichi infriori al carico critico dll asta. Tali incrmnti di spostamnto inducono (9) E. Radi Mccanica di solidi dll struttur, a.a. -3

5 STABILITÀ DELL EQILIBRIO 9 corrispondnti incrmnti dll sollcitazioni. In particolar, il momnto massimo all incastro nlla toria dl II ordin risulta pari a M max ( + ) () cosαl Si ha quindi un incrmnto risptto al momnto P calcolato scondo la toria dl I ordin, ch dinta illimitato pr P P cr. In ia approssimata, si può assumr cos αl α π l 4l () π EI cr tal approssimazion è più ch accttabil pr αl < π, com si può ossrar in figura (x/π) cos x π/ π/ x Con la stssa approssimazion, dall () (8) si ha M max cosαl / cr () l (3) / cr / cr cr / cr. 5EI / cr do l (4) EI è la frccia calcolata scondo la toria dl I ordin, cioè alutando l condizioni di quilibrio nlla configurazion indformata nll ipotsi di spostamnti infinitsimi. E. Radi Mccanica di solidi dll struttur, a.a. -3

6 Il trmin β / cr STABILITÀ DELL EQILIBRIO prnd il nom di fattor di amplificazion (β ) A causa dll incrmnto ch d M max subiscono al crscr dl carico, la crisi soprain sotto un carico infrior al carico critico cr. Efftti dlla plasticizzazion S si considrano inoltr gli fftti dlla plasticizzazion, il comportamnto dll asta dinta qullo in trattggio nlla figura sgunt, a cui corrispond un carico massimo max < cr. In tal caso infatti, al crscr dl carico la szion inizia a plasticizzarsi d il comportamnto dlla tra si modifica risptto al comportamnto asintotico (3) corrispondnt ad un comportamnto infinitamnt lastico dl matrial. (5) carico cr (6) I II-E II-EP (3) max frccia A f yk a a Con rifrimnto ad una szion IPE o HE di matrial lastico prfttamnt plastico, si può ricaar il carico ultimo di plasticizzazion tnndo conto anch dgli fftti dl II ordin. In tal caso, la condizion di quilibrio alla rotazion attorno al baricntro dll ala in trazion, alutato nlla configurazion dformata, richid: ( + + a) a A f yk a E. Radi Mccanica di solidi dll struttur, a.a. -3

7 STABILITÀ DELL EQILIBRIO do A è l ara dll ala A f yk è lo sforzo normal di complta plasticizzazion (A tot A). Prtanto, il carico limit dlla struttura risulta (6) + + a Al crscr di quindi il carico limit si riduc tnd a zro pr. Vrifica dll ast comprss scondo TC 8 EC3 Com ricaato in prcdnza, la szion più sollcitata dll asta prssoinflssa con ccntricità accidntal è soggtta ad una forza assial ad un momnto flttnt M β. La tnsion massima nlla szion è quindi σ max + (7) A W ( / cr ) in cui è il momnto dl primo ordin W I/y max indica il modulo di rsistnza dlla szion. Indicando con ρ I/A il raggio di inrzia dlla szion lato al quadrato, la () si può scrir: σ max A m + / (8) cr do è stato introdotto il rapporto A m W y max ρ ch misura il rapporto tra l ccntricità accidntal considrata d il raggio di nocciolo ρ /y max, do ρ I/A indica il raggio di inrzia dlla szion lato al quadrato. La condizion di progtto richid σ max f yk, cioè m + / A f yk, () cr Diidndo ambo i mmbri dlla () pr cr, d utilizzando la rlazion (6) ottnuta pr la snllzza adimnsional si ottin m + / cr cr E. Radi Mccanica di solidi dll struttur, a.a. -3 (9)

8 oro do STABILITÀ DELL EQILIBRIO cr cr φ + () φ ( + m + ) () La () risulta rificata con il sgno di uguaglianza pr la più piccola dll radici ottnut dall quazion di II grado () pr il rapporto cr /, cioè pr cr φ + φ Dall (3) (6) si ottin A f yk cr φ + φ cr pr cui il cofficint di riduzion pr ast comprss in prsnza di imprfzioni risulta χ A φ + φ f yk L norm tcnich (TC, EC3) introducono poi un cofficint di sicurzza γ M.5 sul matrial (ch aumnta a. nl caso di ponti). Pr cui la rifica di stabilità dll ast comprss si sgu controllando ch sia soddisfatta la condizion A f yk χ (5) γ M Il cofficint di imprfzion gnralizzata m dfinito dall norm tcnich dipnd dalla snllzza dll asta scondo la sgunt rlazion (3) (4) α (.) m pr pr >.. do α è il fattor di imprfzion ch dipnd dal tipo di szion dalla dirzion di sollcitazion. In particolar, ngono dfinit 5 cur a cui corrispondono i sgunti alori di α : cura a a b c d α E. Radi Mccanica di solidi dll struttur, a.a. -3

9 STABILITÀ DELL EQILIBRIO 3. coff. di riduzion χ a b c d χ 3 snllzza adimnsional Pr ast tozz di snllzza adimnsional. si ha m quindi dall (3) (4) sgu χ, pr cui l asta non è influnzata da fnomni di instabilità. Mntr pr snllzz grandi, tutt l cur tndono all iprbol di Eulro. L norm tcnich consntono quindi di riportar la rifica di stabilità ad una rifica di rsistnza mdiant un opportuna riduzion dllo sforzo normal di progtto attrarso il cofficint di riduzion χ, il cui alor è dfinito in funzion di: tipo di szion trasrsal (lgata all imprfzioni gomtrich mccanich). snllzza dll lmnto (lgato al alor dl carico critico); tipo di acciaio (lgato al alor dlla tnsion di snramnto f yk ). E. Radi Mccanica di solidi dll struttur, a.a. -3

10 STABILITÀ DELL EQILIBRIO 4 E. Radi Mccanica di solidi dll struttur, a.a. -3