TESTI E SOLUZIONI DEI PROBLEMI

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1 Univrsità dgli Studi di Udin, Corso di Laura in Inggnria Gstional A.A. 04/05, Sssion di Giugno/Luglio 05, Scondo Appllo FISICA GENERALE I CFU, Prova scritta dl 6 Luglio 05 TESTI E SOLUZIONI DEI PROBLEMI PROBLEMA A I du corpi rapprsntati in figura sono collgati da un filo instnsibil, di massa trascurabil lunghzza l = 0.90 m. Il corpo di massa m =.00 kg può scorrr snza attrito lungo un asta orizzontal, l altro, di massa m = 3.00 kg, può ssr approssimato m com un punto matrial. I du corpi vngono lasciati libri di muovrsi con vlocità iniziali null in corrispondnza al valor α = α 0 = 60 dll angolo ch il filo forma con la vrtical. Si calcoli: α l a l ampizza A dl moto oscillatorio dl corpo di massa m m ; b i moduli v v dll vlocità ch i corpi possidono quando si trovano allinati lungo la vrtical. Soluzion Sul sistma non ci sono forz strn ch agiscono lungo l ass orizzontal. Consguntmnt, la componnt orizzontal dlla quantità di moto si consrva d ssndo nulla nll istant inizial i du corpi sono inizialmnt in quit, durant il moto dl sistma l ascissa dl cntro di massa dv rimanr costant! Prndndo l ass x dirtto vrso dstra scglindo la sua origin coincidnt con la posizion inizial di m, possiamo scrivr: x cm = m x +m x m +m = m lsinα 0 m +m, dov x x sono l asciss istantan di du corpi. Il corpo comincrà a muovrsi vrso dstra il corpo vrso il basso vrso sinistra, compindo oscillazioni fra la posizion inizial la posizion in cui il moto si invrt; in tal punto l vlocità di du corpi v v si annullano com nll istant inizial. L invrsion avvrrà solo quando il corpo è alla stssa quota di partnza, pr via dlla consrvazion dll nrgia mccanica sprssa dalla sgunt m v + m v +m gy = m glcosα 0, y è l ordinata dl corpo lungo un ass y orintato vrso l alto, dalla qual nl caso di v = v = 0 si ottin y = lcosα 0 idntica a qulla dl corpo all istant inizial. In tal punto dl moto la massa m è in x = A, mntr m è in x = A lsinα 0, da cui: x cm = m x +m x = m A+m A lsinα 0 m = A lsinα 0. m +m m +m m +m Confrontando tal quazion con l sprssion di x cm scritta sopra si ottin È facil vrificar ch A = x = m m +m lsinα 0 = m. x = m m m +m lsinα 0, nullo s m = m : i du corpi si scambiano l posizioni ch x x = lsinα 0. Quando il corpo raggiung il punto più basso, y = l, la consrvazion dll nrgia mccanica divnta m v + m v = m gl cosα 0. Ma in tal punto, ssndo ntramb l vlocità orizzontali, la consrvazion dlla quantità di moto impon ch v = m m v.

2 Insrndo qust ultima nlla prcdnt, si ricava m v + m v m = m v + m = m gl cosα 0 v m = m m m +m gl cosα 0, infin gl cosα 0 v = m m m +m =.8 m/s; v gl cosα 0 = m =.88 m/s. m m +m PROBLEMA A Un ingranaggio è costituito da du ruot dntat omogn A B, di spssor trascurabil dispost nllo stsso piano vrtical; A B possono ruotar intorno a duassi orizzontali passanti pr i cntri O A O B. L dimnsioni di dnti dll ingranaggio sono piccol il contatto r B F F F fra l du ruot può approssimarsi com puntiform. I raggi l r C mass di A B sono = 0.50 m, r B = 0.75 m, M A = 5.00 kg O A O P B M B = 0.0 kg, rispttivamnt. Un filo instnsibil di massa C trascurabil è avvolto sulla prifria di un disco omogno C, di A B raggio r C = 0.30 m massa M C =.00 kg, coassial alla ruota A saldato ad ssa; all strmità libra dl filo è appso un corpo di massa m = 3.00 kg. Nl punto P vdi figura è applicata una m forza costant F tangnt al disco dirtta vrso l alto. Sapndo ch la corda avvolta intorno a C non scivola, si dtrmini: a il modulo di F ncssario affinché l ingranaggio rsti in quit; b l componnti vrticali R Ay R By dll razioni sviluppat dagli assi su cui sono imprniat A B. A un crto istant la forza F vin liminata l ingranaggio si mtt in movimnto. Calcolar: c il modulo dll acclrazion a con cui scnd il corpo di massa m. Soluzion Nl punto di contatto fra i du ingranaggi agisc una coppia di forz vrticali di azion razion, di modulo f sono dirtt vrso l alto su B vrso il basso su A. Tnndo conto di tali forz dlla forz prodott dalla tnsion T dlla corda, gli quilibri rotazionali dll du ruot l quilibrio dl corpo di massa m sono dtrminati dall sgunti quazioni Il sistma è risolto banalmnt si ottin 0 = r B F r B f 0 = r C T f 0 = mg T F = r C mg = 7.7 N.. Tuttavia, sul sistma agiscono anch altr forz in aggiunta a qull sopra mnzionat: sulla ruota B agiscono la forza gravitazional M B g g g la razion vincolarr RBy sull ass; sulla ruotaala forza gravitazional M A +M C g g g la razion vincolar R RAy. Tutt qust forz sono vrticali non producono momnti risptto agli assi dll ruot. L quilibrio sarà complto imponndo ch la risultant dll forz ch agiscono su ogni ruota è nulla. Si ottin 0 = f +R Ay T M A +M C g R Ay = 0 = F +f +R By M B g R By = M A +M C + r C M B r C m g = 6.8 N. m ] g = 80.4 N;

3 Scriviamo l quazioni dl moto pr il sistma: ma = mg T I AC α A = r C T f I B α B = r B f dov I B = M BrB è il momnto d inrzia dlla ruota B, I AC = M ArA + M CrC è il momnto d inrzia dlla ruot A C considrati com un unico corpo, a è l acclrazion dl corpo di massa m, α A α B l acclrazioni angolari di A B. Qust ultim grandzz sono lgat fra di loro dall sgunti rlazioni: Dalla trza quazion dl sistma si ricava Portiamo tal risultato nlla sconda quazion: a = α A r C, α A = r B α B. I B α B = fr B f = α B M B r B I AC α A = Tr C f MA r A sostituiamo T nlla prima quazion usando a = α A r C : + M Cr C = α A M B + M BrA α A = Tr C ma = mg T ma+ M ArA +M CrC +M BrA rc a = mg da cui infin a = mgr C mr C +M Ar A +M Cr C +M Br A =.8 m/s. PROBLEMA A3 In un rcipint cilindrico vdi figura sono contnut n = 00 mol di un gas idal monoatomico. Il cilindro è chiuso supriormnt da un piston a tnuta libro di scorrr vrticalmnt snza attrito; il piston l parti dl cilindro sono adiabatich. In fondo al rcipint è prsnt una massa m a =.00 kg di acqua ch non si mscola mai al gas. Inizialmnt l acqua il gas com s fossro isolati trmicamnt l una dall altro si trovano in quilibrio alla rispttiv tmpraturt a, = 80.0 CT g, = 0.0 C con il gas ch occupa un volum V =.00 m 3 si noti ch la prssion dl gas, ch rimarrà smpr costant, è suprior a qulla atmosfrica. Supponndo ch da un crto istant in poi l acqua il gas possano scambiar calor libramnt tra loro, dtrminar: a la tmpratura di quilibrio T dl sistma il volum final V dl gas; b la variazion di ntropia S dl sistma. Una volta raggiunto l quilibrio trmico di cui sopra si supponga ch lntamnt, spingndo il piston vrso il basso, il gas vnga riportato al suo volum inizial V. Nll ipotsi ch continui il libro scambio di calor tra acqua gas, dtrminar: c la lgg con cui variano il volum V la tmpratura T dl gas durant tal comprssion; d la tmpratura final T 3 dl sistma. Supporr costant sia il volum dll acqua ch il suo calor spcifico pari a c a = J/kg K] Soluzion Il sistma non scambia calor con l ambint circostant prtanto, procdndo vrso lo stato di quilibrio, i calori scambiati da acqua gas dovranno bilanciarsi a vicnda. Ossrvando ch il gas è mantnuto a prssion costant indicando con T la tmpratura di quilibrio final, potrmo scrivr Q a +Q g = m a c a T T a, +nc p T T g, = 0, gas acqua

4 dov c p = 5 R è il calor spcifico molar a prssion costant dl gas. Ricavando la tmpratura T si ottin Pr il volum final dl gas abbiamo T = m ac a T a, +nc p T g, m a c a +nc p = 333 K = 60. C. T V = T g, V V = T T g, V =.4 V =.4 m 3. La variazion di ntropia dl sistma S sarà pari alla somma dll variazioni di ntropia dll acqua S a dl gas S g. Sfruttando la natura di funzion di stato di S, tali variazioni possono ssr valutat com sgu T T dt S a = ds a = T = m ac a T = m T ac a ln < 0; Prtanto S g = ds g = T a, dq a T T g, dq g T = nc p T a, T T g, dt T = nc pln T T g, T T S = m a c a ln +nc p ln = 4.5 J/K. T a, T g, T a, > 0. Si noti ch sbbn la trasformazion sia adiabatica la variazion di ntropia dl sistma è positiva. Qusto è in prftto accordo con la a lgg dlla trmodinamica dato ch il raggiungimnto dllo stato di quilibrio costituisc una trasformazion spontana quindi intrinscamnt irrvrsibil. Invc s ora immaginiamo di riportar, lntamnt, il gas al suo volum inizial, sguirmo una trasformazion adiabatica rvrsibil. Facndo appllo alla a lgg dlla trmodinamica, possiamo scrivr dq a +dq g = 0 m a c a dt +nc V dt +pdv = 0, dov il dt è la variazion infinitsima di tmpratura sia dl gas ch dll acquai du si mantngono in quilibrio trmico fra loro, mntr dv è la variazion di volum dl solo gas il volum dll acqua è costant. Procdndo in modo analogo a quanto fatto pr ricavar l quazion dll adiabatica rvrsibil di un gas idal, si ha m a c a +nc V dt = pdv = nrt V dv dt T = nr m a c a +nc V dv V, nr dalla qual, dfinndo α = m ac a+nc V intgrando tra gli stati gnrici i f, si ricava α ] Tf Vi Tf Vi ln = αln ln = ln T i Vi α = T f Vf α T i T. i Quindi l quazion ch dfinisc l attual adiabatica è V f TV α = cost. con α = V f nr m a c a +nc V = Utilizzando l quazion digas idali, l adiabatica prcdntpuòssrscrittaanchnllaformapv α+ = cost. Quando il gas ritorna al suo volum inizial, la sua tmpratura sarà pari a α T V α = T 3 V α V T 3 = T = 340 K = 66.8 C. PROBLEMA A4 Lungo di tratti dll ass x vdi la figura sottostant sono distribuit uniformmnt dll carich. In particolar, tra i punti di ascissa x = 4.00 m x =.00 m è distribuita una carica q l = C; invc, tra i punti di ascissa =.50 m x 4 = 5.00 m è distribuita una carica q r = C. Calcolar nll origin dll ass x: V

5 a il campo lttrostatico E E E0 spcificandon anch la dirzion il vrso; b il valor dl potnzial lttrostatico V 0 supponndo ch il potnzial sia nullo all infinito. q l q r x x 0 x 4 x Soluzion Dato ch sia l carich ch l origin dll ass x sono sull ass x stsso, anch il campo risultant sarà paralllo a tal ass. D altra part E E E0 sarà pari alla somma di campi E E El d E E Er prodotti dall du distribuzioni linari. Considrando un lmntino dx in corrispondnza dll ascissa x, possiamo dir ch campo lmntar de l dtrminato dalla carica dq l in dx corrispond alla sgunt de l = dq l x = λ ldx x, dov λ l = q l /x x è la dnsità linar di carica nl tratto di sinistra. Consguntmnt abbiamo E l = λ x l dx x x = λ l ] x = λ l x x q l = x x x x x x Analogamnt, pr il campo E r dtrminato dal tratto carico di dstra abbiamo E r = λ r x4 dx x = λ r x 4 q r =. x 4 x 4 Notar il sgno ch prcd l sprssion di E r ; sso è dovuto al fatto ch ora l carich sono alla dstra dll origin quindi, pr carich positiv il campo sarà ngativo. Il campo complssivo è quindi pari a E 0 = E l +E r = ql q ] r = 00 V/m. x x x 4 Pr il calcolo dl potnzial possiamo procdr similmnt, con la facilitazion ch il potnzial è uno scalar. Il contributo al potnzial nll origin dll ass x di un lmnto dx dl tratto di sinistra è dato da dv = dq l x = λ ldx x = λ ldx x, dov il sgno prsnt nll ultima sprssion driva dal fatto ch ssndo x ngativo, è x = x. Passando all intgral abbiamo V l = λ x l dx x x = λ l x q l ln = x x x ln x q l = x x x ln x. x Analogamnt pr il potnzial V r dtrminato dal tratto di dstra si ha V r = λ x4 r x4 = Quindi, il potnzial complssivo è V 0 = V l +V r = dx x = λ r ln q l x x ln x x q r x 4 ln q r + x 4 ln x4 x4. ] = 4870 V.

6 PROBLEMA B I du corpi rapprsntati in figura sono collgati da un filo instnsibil, di massa trascurabil lunghzza l =.0 m. Il corpo di massa m = 5.00 kg può scorrr snza attrito lungo un asta orizzontal, l altro, di massa m = 3.00 kg, può ssr approssimato m com un punto matrial. I du corpi vngono lasciati libri di muovrsi con vlocità iniziali null in corrispondnza al valor α = α 0 = 45 dll angolo ch il filo forma con la vrtical. Si calcoli: α l a l ampizza A dl moto oscillatorio dl corpo di massa m m ; b i moduli v v dll vlocità ch i corpi possidono quando si trovano allinati lungo la vrtical. Soluzion Procdimnto idntico a qullo dl problma A. Risultati: A = x = m m +m lsinα 0 = m. gl cosα 0 v = m m m +m =.5 m/s; v gl cosα 0 = m =.08 m/s. m m +m PROBLEMA B Un ingranaggio è costituito da du ruot dntat omogn A B, di spssor trascurabil dispost nllo stsso piano vrtical; A B possono ruotar intorno a du assi orizzontali passanti pr i cntri O A O B. L dimnsioni di dnti dll ingranaggio sono piccol il contatto fra l du ruot può r C r F F F approssimarsi com puntiform. I raggi l mass di A B sono r A = B 0.60 m, r B = 0.40 m, M A = 8.00 kg M B = 4.0 kg, rispttivamnt. Un O A O P filo instnsibil di massa trascurabil è avvolto sulla prifria di un disco B C B omogno C, di raggio r C = 0.30 m massa M C =.00 kg, coassial alla A ruota A saldato ad ssa; all strmità libra dl filo è appso un corpo di massa m = 5.00 kg. Nl punto P vdi figura è applicata una forza costant F tangnt al disco dirtta vrso l alto. Sapndo ch la corda avvolta intorno a C non scivola, si dtrmini: m a il modulo di F ncssario affinché l ingranaggio rsti in quit; b l componnti vrticali R Ay R By dll razioni sviluppat dagli assi su cui sono imprniat A B. A un crto istant la forza F F vin liminata l ingranaggio si mtt in movimnto. Calcolar: c il modulo dll acclrazion a con cui scnd il corpo di massa m. Soluzion Procdimnto idntico a qullo dl problma A. Risultati: R Ay = F = r C mg = 4.5 N, M A +M C + r ] C m g = 3 N; R By = M B r C m g = 9.8 N. mgrc a = mrc +M ArA +M CrC +M BrA =.63 m/s. PROBLEMA B3 In un rcipint cilindrico vdi figura sono contnut n = 0 mol di un gas idal biatomico. Il cilindro è chiuso supriormnt da un piston a tnuta libro di scorrr vrticalmnt snza attrito; ilpistonlpartidlcilindrosonoadiabatich. Infondoalrcipintèprsntunamassam a =.00kgdi acqua ch non si mscola mai al gas. Inizialmnt l acqua il gas com s fossro isolati trmicamnt l una dall altro si trovano in quilibrio alla rispttiv tmpraturt a, = 90.0 CT g, = 0.0 C con il gas ch occupa un volum V =.0 m 3 si noti ch la prssion dl gas, ch rimarrà smpr costant, è suprior a qulla atmosfrica. Supponndo ch da un crto istant in poi l acqua il gas possano scambiar calor libramnt tra loro, dtrminar: gas acqua

7 a la tmpratura di quilibrio T dl sistma il volum final V dl gas; b la variazion di ntropia S dl sistma. Una volta raggiunto l quilibrio trmico di cui sopra si supponga ch lntamnt, spingndo il piston vrso il basso, il gas vnga riportato al suo volum inizial V. Nll ipotsi ch continui il libro scambio di calor tra acqua gas, dtrminar: c la lgg con cui variano il volum V la tmpratura T dl gas durant tal comprssion; d la tmpratura final T 3 dl sistma. Supporr costant sia il volum dll acqua ch il suo calor spcifico pari a c a = J/kg K] Soluzion Procdimnto idntico a qullo dl problma A3. Tnndo prsnt ch ora è c p = 7 R si ha T = m ac a T a, +nc p T g, m a c a +nc p = 37 K = 53.6 C; V = T T g, V =.5 V =.38 m 3. Poi, ssndo c V = 5 R, si ha TV α = cost. con α = T T S = m a c a ln +nc p ln = 58.4 J/K. T a, T g, nr m a c a +nc V = 0.30; T 3 = V V α T = 333 K = 59.6 C. PROBLEMA B4 Lungo di tratti dll ass x vdi la figura sottostant sono distribuit uniformmnt dll carich. In particolar, tra i punti di ascissa x = 6.00 m x =.00 m è distribuita una carica q l = C; invc, tra i punti di ascissa =.00 m x 4 = 4.00 m è distribuita una carica q r = C. Calcolar nll origin dll ass x: a il campo lttrostatico E E E0 spcificandon anch la dirzion il vrso; b il valor dl potnzial lttrostatico V 0 supponndo ch il potnzial sia nullo all infinito. q l q r x x 0 x 4 x Soluzion Stsso procdimnto dl problma A4. Risultati: E 0 = E l +E r = V 0 = V l +V r = q l x x ln ql x x q r x 4 x x ] = 70 V/m, q r + x 4 ln x4 ] = 090 V.