Compito di Fisica Generale I (Mod. A) Corsi di studio in Fisica ed Astronomia 4 aprile 2011

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1 Compito di Fisica Gnral I (Mod A) Corsi di studio in Fisica d Astronomia 4 april 2011 Problma 1 Du blocchi A B di massa rispttivamnt m A d m B poggiano su un piano orizzontal scabro sono uniti da un filo Al di sopra dl blocco B, in cntro, a distanza d dai bordi dl blocco B, è posto un altro corpo C di massa m C Sul blocco A agisc una forza orizzontal F ch fa muovr l mass sia µ il cofficint d attrito fra i blocchi d il piano, fra il blocco B d il corpo C Assumndo ch il sistma sia inizialmnt in quit d il filo giá in tnsion, si dtrmini: 1) l acclrazion di blocchi A B; 2) la tnsion dl filo; 3) l istant in cui C cad dal bordo dl blocco B Soluzion Introdotto un ass x dirtto paralllamnt a F notando ch l acclrazioni di A B sono uguali (a A = a B a), l quazioni dl moto di tr corpi lungo x (nl sistma inrzial solidal con il piano di appoggio) sono m A a = F µgm A T m B a = µg(m B + m C ) + T F BC m C a C = F BC, dov T é la tnsion dl filo F BC = µgm C é la forza di attrito ch si splica tra C B Notar ch tal forza agisc nlla dirzion dll x positiv quando applicata al corpo C Infatti, s non foss prsnt nssun attrito, C rstrbb frmo Affinché si muova insim a B (anch s con acclrazion divrsa) é ncssario ch la forza di attrito lo spinga Sommando l prim du quazioni si ottin l acclrazion a a = F µg( + 2m C ) Sostitundo l sprssion ricavata sopra, ad smpio, nll quazion dl moto di A, si ottin la tnsion T = m A a + F µgm A = m BF + 2µgm A m C

2 L acclrazion di C risptto a B si ricava facilmnt dato ch sono not l acclrazioni assolut di B C a C,B = a C a = F 2µg( + m C ) Il moto rlativo di C risptto a B é quindi un moto uniformmnt acclrato, pr cui il tmpo impigato a prcorrr la distanza d, quindi a cadr dal blocco B, si ricava dalla rlazion d = 1 2 a C,Bt 2, cioé 2d( ) t = 2µg( + m C ) F Nl rispondr alla trza domanda si é implicitamnt assunto a C,B > 0 Tuttavia non é dtto ch tal condizion sia soddisfatta Infatti, mntr dv ssr a > 0 (la forza F fa muovr l mass) quindi F µg( + 2m C ) > 0, non é ncssariamnt vro ch F 2µg( + m C ) < 0, quindi a C,B > 0 Nl caso in cui sia a C,B < 0, si arriva comunqu allo stsso risultato pr il tmpo di caduta, con la sola diffrnza ch stavolta C cad dopo avr prcorso una distanza d, cioé cad dal bordo sinistro di B, d = 1 2 a C,B t 2 Dato ch inizialmnt C é nl cntro di B, a distanza d da ntrambi i bordi, l du situazioni sono compltamnt quivalnti

3 Problma 2 Un asta omogna di massa 3m lunghzza 6d poggia su du supporti lisci in A B All strmità C dll asta è appso un filo con un corpo di massa m 1) Si dtrminino l razioni vincolari in A B 2) Si calcoli in qual punto dll asta bisogna appoggiar un corpo di massa 2m affinchè l razioni vincolari in A B siano uguali Soluzion Dato ch sia l asta ch il corpo di massa m sono in quilibrio, dv ssr nulla la risultant dll forz ch agiscono su ciascuno di ssi Indicando con N A N B l razioni vincolari srcitat dai supporti in A in B con T la tnsion dl filo a cui é agganciata la massa m, risulta 0 = N A + N B 3mg T 0 = T mg, dov si é tnuto conto ch tutt l forz (i vincoli sono lisci) agiscono nlla dirzion vrtical Sostitundo la sconda nlla prima si ottin N A + N B = 4mg Essndo l asta un corpo rigido dv ssr nulla anch la somma di momnti dll forz strn Calcolando i momnti risptto al punto A ricordando ch la forza pso é applicata nl CM ch dista 2d da A, si ottin 6mgd + 3dN B 5mgd = 0, da cui, usando l quazion prcdnt, si ricava N A = mg/3, N B = 11mg/3

4 Pr rispondr alla sconda domanda si procd sattamnt allo stsso modo, solo ch é ncssario tnr conto dlla prsnza dlla massa addizional 2m Indicando con x la distanza di 2m da A con N il valor comun dll razioni vincolari (N N A = N B ), l condizioni di quilibrio divntano 2N 3mg mg 2mg = 0 2mgx 6mgd + 3dN 5mgd = 0 Dall du prcdnti quazioni si ricava subito N = 3mg x = d Il corpo di massa 2m dv quindi ssr appoggiato sull strmo sinistro dll asta

5 Problma 3 Una palla da biliardo di massa m raggio r inizialmnt scivola snza rotolar con vlocitá linar v 0 su una suprfici orizzontal Il cofficint di attrito tra la palla la suprfici è µ Ricordando ch il momnto d inrzia di una sfra omogna risptto ad un qualunqu diamtro è I = 2mr 2 /5, si dtrmini: 1) l istant in cui la palla comincia a rotolar snza strisciar; 2) la vlocitá linar dlla palla in qull istant lo spazio prcorso Soluzion Dtta F a la forza di attrito tra la palla il piano, il moto dl corpo é govrnato dall du quazioni cardinali dlla dinamica ma CM = F a = µgm, I CM α = rf a = rµgm Il moto dl cntro di massa avvin con acclrazion costant a CM = µg, mntr la forza di attito produc una rotazion attorno al CM con acclrazion angolar costant α = rµgm = 5µg I CM 2r Tnndo conto ch inizialmnt il corpo scivola snza rotolar, la vlocitá angolar qulla linar variano nl tmpo scondo l lggi ω = 5µg 2r t, v CM = v 0 µgt Il moto di puro rotolamnto comincia quando é soddisfatta la condizion v CM = ωr, quindi quando da cui si ricava 5µg 2 t = v 0 µgt, Pr t = t rot si ha t rot = 2v 0 7µg v CM = v 0 µgt rot = 5v 0 7 x CM = v 0 t rot 1 2 µgt2 rot = 12v2 0 49µg

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