- Radioattività Ci = 3, dis / s. ln 2 T 2T = e ln 2 2 = e 2ln 2 = 1 4

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1 Radioattività - Radioattività Un prparato radioattivo ha un attività A dis / s. A quanti μci (microcuri) si riduc l attività dl prparato dopo du tmpi di dimzzamnto? Sapndo ch: ch un microcuri è: μc 0-6 C 3, ,7 04 dis / s Ci 3,7 00 dis / s dis/s μ C quindi: 4 A μci 4 3,7 0 dalla formula dl dcadimnto radioattivo, A(t) A 0 t sapndo ch t ch ln /, si ha ch: t ln ln ln 4 Dalla qual si ottin : A()A0/ 4 40 / 4 μc A() 0 μc Si potva giungr allo stsso risultato, anch, smplicmnt pnsando ch, pr dfinizion, dopo un tmpo di dimzzamnto, l attività si riduc dlla mtà; quindi dopo tmpi di dimzzamnto, l attività si sarà ridotta du volt dlla mtà: - dopo un tmpo di dimzzamnto, si ha: A ( 40 / ) μc 0 μc - dopo du tmpi di dimzzamnto, si ha: A ( 0 / ) μc 0 μc - -

2 Radioattività Il 4C contnuto nlla matria vivnt dtrmina, in condizioni di quilibrio col CO atmosfrico, un attività di 6 dis / min pr ogni grammo di carbonio natural in ssa contnuto. Dtrminar l tà di rsti vgtali ch hanno un attività di 4 dis / min pr grammo di carbonio. [ mpo di dimzzamnto dl 4C: 5600 anni ] Considrando la lgg dl dcadimnto radioattivo, N(t)N(0) t l attività A(t) dn(t) dt N(t) N(0) t A(0) t A(t)4 dis/min A(0)6 dis/min Pr cui A(t) A(0) 4 6 t ) 4 t Prndndo i logaritmi di ntrambi i mmbri dll ultima quazion: Dalla qual: ln - ln 4 -t - ln 4 -t inoltr: da cui: quindi: ln /, ln /5600 anni -,4 0-4 anni- - ln 4 -t t ln4 ln ln 5600 anni 5600 anni 00 anni N.B. Si potva giungr allo stsso risultato pr una via mno rigorosa: ra sufficint notar ch dimzzando du volt l 6 dis/min iniziali, si ottnvano proprio l 4 dis/min finali. Sapndo ch, il priodo di dimzzamnto, è il tmpo ncssario affinchè l attività di una sostanza radioattiva si dimzzi, d ssndosi, in qusto caso, dimzzata du volt, il tmpo richisto altro non è ch il doppio dl priodo di dimzzamnto: t 5600 anni t 00 anni - 3 -

3 Radioattività 3 Sapndo ch il priodo di dimzzamnto dl Polonio 0 è 38 giorni, calcolar l attività sprssa in curi di un grammo di lmnto. Si ricordi la dfinizion di vlocità di dcadimnto, dtta anch attività. Pr la lgg dl dcadimnto radioattivo: dov : in cui è il priodo di dimzzamnto: quindi: ln A(t) dn(t) dt ln N(t) N(0) 38 giorni s, 07 s ln, 0 7 s 5,8 0 8 s - t A(0) t s N è il numro di Avogadro, N 6,0. 03 molcol pr mol di sostanza (0 g), il numro di molcol prsnti in un grammo di Polonio 0 è: Allora da: si ha: 6, 0 03 N g, 87 0 molcol. 0 A(0) N(0) 8 Ag 5,8 0,87 0 dis/s, dis/s poichè curi è: Pr avr l attività in curi: Ci 3,7 00 dis/s,,66 0 A(0) 3, ,4 0 3 Ci Un prparato radioattivo posto vicino ad un contator Gigr rgistra 400 impulsi al minuto. Riptndo la stssa

4 4 Radioattività misura dopo 8 giorni, il numro d impulsi si è ridotto a 00 al minuto. Calcolar il priodo di dimzzamnto la costant di disintgrazion dl prparato. Dalla lgg dl dcadimnto radioattivo, l attività è data da : dn(t) t t A(t) N(t) N(0) A(0) dt sapndo ch: A(t) 00 impulsi al minuto, A(0) 400 impulsi al minuto, t 8 giorni, si può scrivr: ch, grazi all proprità di logaritmi, divnta: ln ln4-8 ln 4 8 quindi: ln 8 ln 4 rovato, si risal facilmnt al priodo di dimzzamnto, : ln ln ln 4 0, 693 4,7 0 - giorni - giorni 4 giorni N.B. Allo stsso risultato si potva ginungr anch notando ch s in 8 giorni l attività si riducva ad un quarto, ssa si dimzzava du volt. Il tmpo ncssario affinchè ciò avvniss, altro non è ch du volt il priodo di dimzzamnto: allora, s 8 giorni, è immdiato ch 4 giorni. Pr la costant di disintgrazion,, dalla sua dfinizion: ln ln 4 giorni,7 0- giorni S un lmnto radioattivo X ha tmpo di dimzzamnto doppio di qullo di un altro lmnto Y, la probabilità P X

5 Radioattività 5 ch un atomo di X si disintgri è maggior o minor dll analoga probabilità P Y, di disintgrazion di Y? Quanto val il rapporto P A / P B? Dopo un tmpo X qual è il rapporto N X / N Y dgli atomi rsidui supponndo ch inizialmnt i du campioni contnssro lo stsso numro di atomi N 0? S l lmnto radioattivo X ha un tmpo di dimzzamnto, X, doppio di qullo dll lmnto Y, cioè: X Y, significa ch, s ntrambi gli lmnti partono con lo stsso numro di atomi, N 0A N 0B N 0, dopo un tmpo X, si potranno contar in X, N 0 / atomi non ancora dcaduti in Y, N 0 /4, dato ch Y si è dimzzato volt. Quindi, in un crto istant, è più probabil ch si disintgri un atomo di Y ch uno di X, da cui la risposta alla prima domanda è: prob X < prob Y Pr rispondr alla trza, basta ricorrr a quanto ossrvato poc anzi: dopo un tmpo X si ha: mntr: N Y N N 0 X numro di atomi r. non ancora dcaduti pr x N 4 0 N N X Y N0 N0 4 N 0 4 N 0 N x N Ciò significa ch il numro di atomi r. sopravvissuti di X è il doppio di qullo di Y; quindi pr ogni atomo r. di X ch dcad, n dcadono di y: la probabilità di vdr dcadr un atomo r. di B è doppia di qulla di vdrn dcadr uno di A. Pr cui: ch è la risposta alla sconda domanda. P A P B y - 6 -fuorviant Una quantità pari ad g di Ra6 si trova in quilibrio con i suoi prodotti di dcadimnto. Calcolar il numro di nucli ch si disintgrano in scondi d il valor dll attività in curi. Dalla dfinizion di curi, ch rapprsnta l attività di un g di Ra6 nl qual, si disintgrano 3,7 00 nucli in un scondo, discnd ch g di Ra6 ha l attività di Ci, o di 3,7 00 Bq, dato ch Bq dis/s. Quindi in du scondi si disintgrranno: ma l attività di g di Ra6 riman smpr: 3,7 00 7,4 00 nucli di Ra6 3,7 00 Bq curi.

6 6 Radioattività Scrivr la lgg dl dcadimnto radioattivo d illustrar la rlazion sistnt fra la costant di disintgrazion, il tmpo di dimzzamnto la vita mdia τ, spigando anch il significato di qust grandzz. La lgg dl dcadimnto radioattivo è: N(t) N 0 -t dov: N(t) è il numro di atomi prsnti ( cioè non ancora dcaduti ) all istant t; N 0 è il numro di atomi prsnti all istant inizial ( t 0 ). L rlazioni tra, τ sono: ln ln τ ln è il tmpo ncssario affinchè il numro di nucli iniziali (N 0 ) si riduca a N 0 /, cioè il tmpo ncssario affinchè dcadano la mtà di nucli iniziali, in altr parol N()N 0 /. τ è il tmpo ncssario affinchè il numro di nucli iniziali divnti N 0 /, cioè il numro di nucli non ancora dcaduti dopo un tmpo t, N(τ) 0,368 N 0. è una costant di proporzionalità carattristica di ogni sostanza, ha l dimnsioni di [t] Sapndo ch il priodo di dimzzamnto dl Ra6 è 6 anni, calcolar la costant di disintgrazion, la vita mdia l attività di un g di Ra 6 sprssa sia in disintgrazioni al scondo ch in curi. Siccom pr dfinizion un curi ( Ci ) rapprsnta il numro di disintgrazioni al scondo di un grammo di Ra6, cioè Ci 3,7 00 dis/s ( o Bq ). S 6 anni, sarà: : ln τ 4,3 0 0, ,3 0-4 anni - -4 anni τ,3 0 3 anni infin, l attività è, com accnnato, Ci 3,7 00 dis/s ( o Bq ), pr ogni grammo di Ra Uno scavo tombal fornisc un opra ligna ch dà,6 contggi al minuto pr grammo di carbonio prsnt. Il contggio corrispondnt dal lgno di un albro vivnt è 5,3. Quanti anni fa è stata sguita l opra? [ Il tmpo di dimzzamnto dl 4C è di 5600 anni ]. Conoscndo l attività inizial, A 0, ch è 5,3 contggi al minuto, qulla attual, A(t), ch è,6 contggi al minuto, d il tmpo di dimzzamnto dl carbonio, 5600 anni, l tà dl rprto, t, si può ricavar dalla lgg dl dcadimnto radioattivo:

7 Radioattività 7 da cui, ssndo: si ha: quindi: A(t) t - ln A0 - t A(t) A(t) A0 ln - t A(0),6 - ln ln 5,3 ln A(t) ln ln - A ln - t 5600 ln (- 0,77 ) t 38 anni In un campion di roccia il rapporto di pso fra 38U 06Pb è : 0,75. Valutar l tà dlla roccia supponndo ch tutto il 06Pb driva dal dcadimnto dll 38U. [ Il tmpo di dimzzamnto dl 38U è di 4,5 09 anni ]. Poiché tutto il 06Pb driva dal dcadimnto dll 38U, al tmpo t 0, vidntmnt, c ra solamnt 38U. Allora, in ogni istant t, val la formula: Ma sapndo ch: U N (t) Pb N (t) 0.75 dov N U (t) sono gli atomi di 38U sopravvissuti dopo il tmpo t, mntr N PB (t) indica in numro di qulli di 06Pb vnutisi a gnrar dal dcadimnto dll 38U, U U N (t) N (t) Pb U U quindi: N (t) N 0, N (t) U U U U U U U 0,75 N (t) N0 - N (t) ( 0,75 +) N (t) N0 N (t) N0,75 Dalla lgg dl dcadimnto radioattivo: N(t)N(0) t ricordando la dfinizion di : Ottniamo: quindi: N(t) N0 U N (t) U N0,75 t - ln,75 - t - ln ln

8 8 Radioattività t ln, 75 ln 4, , 56 0, 693 t 3,6 09 anni - - La vlocità di dcadimnto di un crto campion radioattivo ra di 50 N s- al tmpo t 0 75 N s- al tmpo t' h. Qual è il tmpo di dimzzamnto dl radionuclid campion? Il numro di nucli sopravvissuti la vlocità di dcadimnto ( attività ) sono lgati dall quazioni: N(t) N - t 0 A(t) t t N(t) N0 A(0) A(0) N 0 50 dis / s al tmpo t h A(t) 75 dis / s Dalla rlazion A(t) A(0) t A(t) 75 ln - t ln - ln 0,7 - A0 50 Dalla qual si ottin: Il tmpo di dimzzamnto,, è dato dalla: ln 0,36,8 0 - h - ln, 8 0-3,85 or - - Quanti dcadimnti al scondo ci sono in una mol di fosforo 3P? A quanti curi corrispond un grammo di fosforo 3P? ( mpo di dimzzamnto dl 3P: 4,3 giorni ) L attività si ricava dall quazion: nlla qual: A(t) N(t) ln

9 Radioattività 9 Sapndo ch, pr dfinizion, una mol di una qualunqu sostanza, è una quantità, sprssa in grammi, pari al pso molcolar di tal sostanza ch contin un numro di molcol pari al numro di Avogadro ( N 6,0 03 ), s 4,3 giorni 4, s 3550 s, l attività di una mol di 3P è: ln 3 ln 7 - A0 N 6,0 0 3,37 0 dis s 3550 Siccom Ci 3,7 00 dis s-, pr avr l attività in curi, basta far il sgunt rapporto: 7 3,37 0 A0 9, 0 0 3,7 0 E qusta è l attività di una mol di 3P cioèl attivita di 3 g di fosforo. Pr avr qulla di un solo grammo di 3P è sufficint dividr l attività di una mol pr il pso molcolar: 3. In qusto caso: 9, 0 A0 g, Una sorgnt radioattiva ha un priodo di dimzzamnto di min ( cioè: min ). All istant t 0 ssa vin posta vicino ad un rivlator, si misura una frqunza di contggio di 000 vnti / s ( Bq ). Si trovino la costant di dcadimnto l frqunz di contggio R, R, R 3, R 0 ngli istanti t min, min, 3 min, 0 min. 6 5 Ci Ci S min, si può trovar subito il valor dlla costant di dcadimnto dato dalla rlazion: ln ln 0,693 min - 0,0 s - R : t min. Siccom è sattamnt un tmpo di dimzzamnto, si ha ch il contggio sarà la mtà di qullo al tmpo t 0: R R R 000 dis s - R : t min. Siccom si hanno tmpi di dimzzamnto satti, si può usar la formula: R n Quindi riptndo il caso di R calcolando R, R 3 d R 0, si ha: n R 0 R R dis s - ( Bq ) R R dis s - ( Bq ) 4 R 3 3 R dis s - ( Bq ) 8

10 0 Radioattività R 0 0 R ,95 dis s - ( Bq ) Il carbonio-4, 4C, ha un tmpo di dimzzamnto 5730 anni. Si calcoli l attività di mg di qusto lmnto radioattivo sia in Bq ch in mci. Il tmpo di dimzzamnto,, sprsso in scondi risulta: 5730 anni ,8 0 s avndo, la costant di disintgrazion,, è data, pr dfinizion: ln 0, 693,8 0 3,8 0 - s - Poiché, pr dfinizion, in una mol di 4C, ch psa 4 g, ci sono N A atomi ( N A 6,03 03, numro di Avogadro ), pr sapr quanti nucli s n trovano in un mg ( ricordando ch è g 03 mg ): N 6,03 0 N A -3 g Nmg 0 4, atomi L attività non è altro ch la vlocità di dcadimnto ( numro di disintgrazioni al scondo ). nndo conto dlla formula: si ha: A 0 ( mg) N mg A0 (mg) 3,8 0 s 4,3 0 atomi,6 0 dis s dato ch Bq è dfinito com dis s-, risulta ch l attività di un mg di 4C è,6 08 Bq. Poichè: si ha ch: infin: Ci 3,7 00 Bq mci 0-3 Ci 3,7 07 Bq Bq 3, 7 0 7,7 0-8 mci,6 08 Bq,6 08, ,3 mci qust ultimo valor rapprsnta l attività di un mg di 4C sprssa in mci Una soluzion contnnt radiofosforo 3P, ch è un nuclo β- mittnt con un priodo di dimzzamnto 4 giorni, circonda un contator Gigr ch rgistra 03 contggi al minuto. S la stssa misura foss sguita 30 giorni più tardi, stimar la nuova vlocità di contggio. -

11 Radioattività 4 gg, min t 30 gg, t min A 0 03 dis min- A(t) A 0 t Dalla dfinizion di ln ln 060 3, min - t ,49 A(4300) 0 3,49 0,3 0 3 contggi al minuto Una radiosorgnt β- mttitric da 5 Ci, si trova a 3 m dalla vostra mano ( di suprfici diciamo 00 cm ). Supponndo ch gli lttroni vngano mssi in modo uniform in tutt l dirzioni, quanti lttroni attravrsano la mano ogni scondo? Dato ch Ci 3,7 00 dis / s, l attività di qusta radiosorgnt β-, ch è di 5 Ci, in dis / s, risulta di: 5 3,7 00 dis / s 5,6 0 dis / s. Ogni scondo lttroni vngono mssi. S l mission avvin in modo isotropo, considrando una suprfici sfrica di raggio R ch gli lttroni attravrsano : all aumntar dl raggio dlla sfra il numro di lttroni ch arrivano pr unità di suprfici di tmpo è proporzional al numro di lttroni mssi al scondo diviso la suprfici dlla sfra di raggio R. Numro di lttroni mssi pr unita' di tmpo dalla Suprfici dlla sfra sorgnt La mano è a 3 m dalla sorgnt, ssa vrrà invstita solo da una frazion dl numro total di lttroni ch arrivano sulla sfra di raggio 3 m. Pr cui S sfra 4 π R 4 π 9 m S sfra 36 π 3, m La dnsita dgli lttroni ch attravrsano pr unita di tmpo da una suprfici di tal raggio data da : lttroni m s

12 Radioattività Pr gli lttroni ch al scondo attravrsano una suprfici di 00 cm posta ad una distanza R dal punto incui avvin l mission ottniamo m 7 Numro di lttroni ch attravrsano la mano al scondo 5,6 0 s 4,9 0 s 3, m E quindi gli lttroni ch attravrsano ogni scondo una suprfici di 00 cm 0,0 m, cioè qulla dlla mano, alla distanza di 3 m dalla sorgnt sono 4, La dos massima ammssa pr i ricrcatori ch oprano in ambinti ov è prsnt la radiazion γ è di 6,5 0-3 rontgn pr ora ( R / h ). Valutar la distanza di sicurzza da una sorgnt di 60C, la qual possid una mission radioattiva di 7 R / h alla distanza di mtro. S la sorgnt vin utilizzata in un contnitor di piombo ch riduc l mission γ all %, fino a qual distanza si possono avvicinar i ricrcatori? Una sorgnt γ mtt una radiazion ch si distribuisc uniformmnt nllo spazio com sulla suprfici di una sfra cntrata nlla sorgnt stssa pr cui l intnsità dlla radiazion pr unità di suprfici diminuisc man mano ch il raggio dlla sfra cio la distanza dalla sorgnt aumnta. al intnsità di mission radioattiva risulta invrsamnt proporzional al quadrato dlla distanza ( dalla sorgnt ). Cio vuol dir ch la dos ad una distanza R dalla sorgnt proporzional a /R. Allora il rapporto tra i quadrati dll distanz, x m, è invrsamnt proporzional a qullo tra l du missioni, E x d E, corrispondnti ( m ) ( x m ) 6,5 0 R 7 h R h x E -3 x 7 3 4,3 0 m E -3 6,5 0 quindi la distanza di sicurzza dalla sorgnt pari a 65,7 m dalla sorgnt. x m In prsnza di uno schrmo ch riduc all % l mission, bisogna trovar, com prima, la distanza alla qual la radiazion γ si è ridotta a 6,5 0-3 rontgn pr ora ( R/h ), con la diffrnza ch, ora, ssndoci il filtro, l mission dlla sorgnt è da considrar com l % di 7 R/h dati: E S 7 00 R h E rifacndo gli stssi calcoli di prima con qust ultimo valor, si ha: quindi: E S E ( m ) ( x S m ) 6, R h,7 0 - R h S,7 0 - x S, x S 43, 6,57 m R h 6, ,3 0 43, m Una crta sostanza radioattiva ha tmpo di dimzzamnto pari a 00 giorni. rovar dopo quanto tmpo il numro di atomi di qusta sostanza si è ridotto al 5 % di qullo inizial.

13 Radioattività 3 Dalla dfinizion di, ln 0, ,5 0-3 giorni - nndo prsnt ch è: N t 5 % N 0 N 0 4 dalla formula dl dcadimnto radioattivo: passando ai logarirmi: da cui: N t N 0 - t N 0 4 N 0 - t 4 ln - ln 4 - t ln 4 t t ln4 t 00 t 400 giorni - t ln ln ln ln [N.B. pr l proprità di logaritmi si ha ch: ln 4 ln ln ] Si potva giungr allo stsso risultato anch considrando il fatto ch ogni volta ch passa un tmpo di dimzzamnto la sostanza dimzza il numro di suoi atomi: da N 0 si passa a N 0 /, cioè a 50 % N 0, quindi, dopo un altro tmpo di dimzzamnto, si passrà da N 0 / a N 0 / 4, cioè a 5 % N 0. Quindi du tmpi di dimzzamnto sono proprio giorni. Un trzo mtodo, poiché il tmpo richisto è sattamnt un multiplo dl tmpo di dimzzamnto, ra qullo di applicar la sgunt formula: ch in qusto srcizio dà: N n n N 0 N 0 4 n N 0 4 n n quindi, anch ora, si parla di du tmpi di dimzzamnto Una sostanza radioattiva ha una costant di disintgrazion 0,0693 giorni-. Dopo quanti giorni l attività si riduc ad / 8? Dalla dfinizion di costant di disintgrazion,, di tmpo di dimzzamnto,, si ha: ln ln 0, 693 0, giorni Pr avr il tmpo ncssario affinchè l attività divnti / 8 di qulla inizial, si può far ricorso alla formula:

14 4 Radioattività R n n R 0 ch, in qusto caso si riduc a : R n R R n R 3 : R 3 3 R 0 cioè: n 3 quindi dbbono passar tr tmpi di dimzzamnto pr far ridurr l attività dlla sostanza ad / 8 di qulla inizial: t giorni t 30 giorni Si potva giungr allo stsso risultato anch utilizzando la formula dl dcadimnto radioattivo: passando ai logarirmi: da cui: N t N 0 - t N 0 8 N 0 - t 8 ln - ln 8 - t ln8 t t ln8 t 3 30 giorni Analogamnt a prima. [N.B. pr l proprità di logaritmi si ha ch: ln 8 ln 3 3 ln ] t 3 ln ln 3 ln ln Una sostanza radioattiva è tal ch dopo 0 s la sua attività è passata da 6 mci a 8 mci. Dopo quanto tmpo l attività si sarà ridotta a mci? In qust istant quant disintgrazioni avvngono nll unita di tmpo? S in 0 s l attività passa da 6 mci a 8 mci, il tmpo di dimzzamnto,, di qusta sostanza sarà proprio 0 s. Allora s dopo l attività è 8 mci, dopo un altro, sarà 4 mci, dopo un trzo, sarà mci. Allora: S 60 s minuto. Pr sapr quant disintgrazioni al scondo avvngono, basta ricordar ch: Ci 3,7. 00 dis / s mci. 0-3 Ci 3,7. 07 dis / s mci 7,4. 07 dis / s - - Una radiosorgnt β- mttitric da 5 mci, si trova a 3 m dalla vostra mano. Quanti lttroni attravrsano ogni cm di mano ogni scondo? Dato ch Ci 3,7 00 dis / s, ch, quindi mci 3,7 07 dis / s, l attività di qusta radiosorgnt β-, ch è di 5 mci, in dis / s, risulta di: 5 3,7 07 dis / s 5,6 08 dis / s.. S l mission avvin in modo isotropo, considrando una suprfici sfrica di raggio R ch gli lttroni

15 Radioattività 5 attravrsano : all aumntar dl raggio dlla sfra il numro di lttroni ch arrivano pr unità di suprfici di tmpo è proporzional al numro di lttroni mssi al scondo diviso la suprfici dlla sfra di raggio R. Numro di lttroni mssi pr unita' di tmpo dalla Suprfici dlla sfra sorgnt La mano è a 3 m dalla sorgnt, ssa vrrà invstita solo da una frazion dl numro total di lttroni ch arrivano sulla sfra di raggio 3 m. Pr cui S sfra 4 π R 4 π 9 m S sfra 36 π 3, m La dnsita dgli lttroni ch attravrsano pr unita di tmpo da una suprfici di tal raggio data da : lttroni m s Ora, pr sapr quanti lttroni attravrsano un cm, è sufficint moltiplicar tal dnsita di lttroni pr unita di suprfici pr la suprfici di cm 0-4 m. Il numro total di lttroni pr unita di tmpo ch attravrsano una suprfici di cm data da : 8 5, Quanti tmpi di dimzzamnto sono trascorsi s l attività di un radionuclid è diminuita allo 0,5 % dl suo valor inizial? Dalla formula: R t R 0 -t ssndo: d anch: si ha: allora: R 0 R 0 - ln t R t 0,5 % R 0 ln R 0 ln 00 - t ln - ln 00 - ln ln t ln 00 t

16 6 Radioattività t ln 00 ln quindi sono passati circa 7,64 tmpi di dimzzamnto. 5,98 0,693 t 7, Dopo la somministrazion di 3I l attività misurata nlla tiroid di un pazint è di nci. Dopo du sttiman qual sarà l attività mssa da qusto organo? Si ricordi ch il tmpo di dimzzamnto dllo 3I è 8 giorni. La formula dl dcadimnto radioattivo: dov è: : quindi: ln R t R 4 GG R t R 0 - t 0, , giorni - R 0 nci R 4 GG nci - 8, nci -, R4 GG 0,30 nci La vlocità di dcadimnto di un campion radioattivo ra di 50 N s- al tmpo t,0 h 75 N s- al tmpo t' 3,0 h. Qual è il tmpo di dimzzamnto dl nuclid campion? Il numro di nucli sopravvissuti la vlocità di dcadimnto ( attività ) sono lgati dall quazioni: A(t) - al tmpo t h A 0 50 dis / s al tmpo t 3h A(t) 75 dis / s facndo il rapporto A(t) / A 0, si ottin: t 3 h t 0 h t - t 0 h s passando ai numri: A(t) A 0 N(t) N - t 0 ΔN ln N t N t Δt - t - t 0 - ( t - t ) 0

17 Radioattività 7 allora: ln ln 0, , Siccom il tmpo di dimzzamnto,, è dato dalla: si ottin : 0, , s - ln ln,4 0 4 s 4, , ,89 or Dalla formula dl dcadimnto radioattivo risulta ch l dimnsioni dlla costant coincidono con l invrso di un tmpo quindi nl S. I. la sua unità di misura è il s-. L uranio 38 ha una vita mdia di 6,5 miliardi di anni, quanto val arrotondata? Prsa una mol di uranio quant disintgrazioni avvngono ntro il primo scondo di ossrvazion? Pr dfinizion è: inoltr è: allora: τ τ 6, anni, anni τ 6, ,5 07,0 07 s τ 5,0 0-8 s -, Pr avr il numro dgli atomi dcaduti nl primo scondo di ossrvazion in una mol di uranio, basta far la diffrnza tra il numro di atomi iniziali pari al numro di Avogadro pr una mol di sostanza il numro di atomi non ancora dcaduti dopo un tmpo t pari ad un scondo pr cui: N t t 3 0 N(s) N0 N0 N0( ) QUESO CALCOLO E IMPOSSIBILE DA FARE CON LA CALCOLARICE ( ) Pr Δt molto minor di τ Il numro dgli atomi dcaduti nll intrvallo di tmpo considrato, Δts,puo ssr calcolato com la diffrnza tra qulli prsnti all inizio qulli prsnti dopo ch è passato il tmpo t infatti dalla dfinizion di attività: N 0 - N - ΔNA(t) ΔtN 0 Δt volndo, ora, sapr quant disintgrazioni avvngono ntro il primo scondo di ossrvazion cioè N 0 - N, quando Δt s, dalla formula vista poc anzi, si ha:

18 8 Radioattività N 0 - N - ΔN N 0 Δ - ΔN , ,0 06 disintgrazioni cioè, nl primo scondo di ossrvazion avvngono tr milioni di disintgrazioni Si calcoli l attività radioattiva in dis / min ( disintgrazioni al minuto ) di un organismo vivnt pr ogni grammo di carbonio contnuto in sso. Si assuma 6 03 il numro di Avogadro, ch il rapporto 4C / C sia ugual a,3 0- ch il tmpo di dimzzamnto dl 4C sia 5730 anni. Si può sprimr in minuti il tmpo di dimzzamnto dl 4C: da cui si ha ch: anni minuti 3,0 09 minuti 4 ln 4 Il numro di atomi prsnti in un grammo di C, N, è: 0,693 3, min -,3 0-0 min - N N A N m in cui: N A numro di Avogadro ( 6 03 ) N m numro di massa ( pr il C, è ) ora, pr il numro di atomi prsnti in un grammo di 4C, si ha: Poichè l attività è data dalla: si ha ch: 5 0 N 4 4C / C N, ,5 00 R N R 4 4 N 4, ,5 00,5 dis min- quindi, in un organismo vivnt, l attività di ogni grammo di 4C è di circa,5 disintgrazioni al minuto Lo iodio 3 vin impigato pr trattar l malatti dlla tiroid. Il suo tmpo di dimzzamnto è di 8, giorni. Un pazint ingrisc una piccola quantità di qusto iodio: calcolar la frazion ch n rsta dopo 7 giorni, dopo 5 giorni dopo 60 giorni nll ipotsi ch ssa non vnga spulsa dal corpo dl pazint. S il tmpo di dimzzamnto,, è noto, si può trovar la costant di disintgrazion, : ln 0,693 8, 8,6 0 - giorni - Pr calcolar la frazion ch riman dopo un crto tmpo t, si può ricorrr alla rlazion: N t N 0 -t N t N 0 - t

19 Radioattività 9 nl caso ch: ) t 7 giorni, si ha: ) t 5 giorni, si ha: 3) t 60 giorni, si ha: N t - t N t - 8, , 0 0-0,55 N t 55 % N 0 N 0 N 0 N t - t N t - 8, , 9 N 0,8 t 8 % N 0 N 0 N 0 N t - t N t - 8, ,6 5, N t 0,6 % N 0 N 0 N Una roccia contin 3 nucli di 07Pb pr ogni nuclo di 35U. Dtrminar l tà dlla pitra, assumndo ch tutto il 07Pb provin dal dcadimnto dll 35U, il cui tmpo di dimzzamnto è 0,7 miliardi di anni. Dalla formula dl dcadimnto radioattivo: N t N 0 - t si ha ch s pr ogni nuclo di 35U s n trovano tr di 07Pb d il piombo provin tutto dal dcadimnto dll uranio, il tmpo crcato è qullo in cui su 4 nucli solo uno è di uranio, cioè: quindi: ricordando ch: N t N 0 4 N 0 4 N 0 - t 4 - t ln - ln 4 - t ln 4 t si ha: ln4 ln ln ln ln ln t t t 7 08,4 0 9 anni Oppur, in modo mno rigoroso: s tutti i nucli di piombo provngono dal dcadimnto di qulli di uranio potrbb ssr sufficint far la sgunt considrazion: all istant inizial, t 0, non c ra nanch un nuclo di piombo; dopo un tmpo di dimzzamnto, t, i nucli di uranio ch sono dcaduti ( la mtà di qulli iniziali ) sono divntati di piombo, quindi, in qust istant, si hanno il 50 % di nucli iniziali di 35U altrttanti di 07Pb; dopo tmpi di dimzzamnto, t, ssndo dcaduti mtà di nucli di uranio rimasti, cioè un quarto di qulli iniziali, si ha ch il 75 % di nucli totali, in tal istant, sono di piombo d il 5 % di uranio: cioè pr ogni nuclo di 35U s n trovano tr di 07Pb. Allora ssndo il tmpo richisto ugual a du tmpi di dimzzamnto sarà:

20 0 Radioattività t 7 08,4 09 anni A quanto si è ridotta l attività di un radionuclid dopo un tmpo pari a mzzo priodo di dimzzamnto? dopo /, ricordando la dfinizion di costant di disintgrazion: ln Pr la lgg dl dcadimnto radioattivo, l attività, R, a un tmpo pari a mzzo priodo di dimzzamnto, È data da : R t R 0 - t R R 0 - R R 0 - ln quindi: R R 0 - ln 0,7 cioè, l attività dl radionuclid in sam, dopo un tmpo pari a mzzo priodo di dimzzamnto, si è ridotta circa al 70% ( R / 0,7 R 0 ), di qulla inizial Supponndo di avr, all istant t 0, 000 nucli radioattivi, quanti nucli dcadono nll intrvallo di tmpo ch intrcorr tra un mzzo priodo di dimzzamnto d una vita mdia τ? Il calcolo è possibil o bisogna conoscr il valor di o di τ, o di ntrambi? Nlla lgg dl dcadimnto radioattivo, ln τ τ ln τ il numro di nucli sopravvissuti a un tmpo pari a mzzo priodo di dimzzamnto, cioè dopo /, ricordando la dfinizion di costant di disintgrazion: è: N t N 0 - t N ln N 0 - N - ln N 0 quindi: N N 0 - ln 0,7

21 Radioattività cioè, dopo un tmpo pari a mzzo priodo di dimzzamnto, sono rimasti circa il 70% di nucli iniziali: s N N 70 % Il numro di nucli sopravvissuti dopo una vita mdia, N τ, pr dfinizion è: N τ N 0 N τ ,9 368 Il numro di nucli dcaduti tra / τ, dato dalla diffrnza tra il numro di nucli non ancora dcaduti al tmpo / il numro di nucli rimasti al tmpo tτ Allo stsso risultato si potva giungr anch pr un altra via: sapndo ch: N 70 % N 0 N τ N 0 sgu: N - N τ 70 % N 0 - N N N 0 passando ai valori numrici: N - N τ 70, ,78 N 0 90, ,8 N 0 90, 3 7,8 N 0 allora: N - N τ 0,33 N 0 quindi s N 0 è 000, i du risultati coincidono. Ciò significa ch non è ncssario, pr sapr qual frazion di N 0 dcad, conoscr il valor di o di τ, o di ntrambi Calcolar la frqunza massima la lunghzza d onda di soglia di raggi X prodotti da lttroni acclrati tramit una diffrnza di potnzial lttrico di V. Si ricordi ch la carica lttrica dll lttron è pari a,6 0-9 C, ch la costant di Planck è h 6, J s, la vlocità dlla luc è c 3 08 m s-. La frqunza massima si ottin dalla: V ν max h carica dll lttron (,6 0-9 C ) V diffrnza di potnzial ch acclra gli lttroni ( V V )

22 Radioattività h la costant di Planck 6, J s nlla qual: quindi: ν max,6 0-9 C V 6, J s ν max, 0 9 Hz ssndo: ν c c ν dov c è la vlocità dlla luc nl vuoto ( c 3 08 m s- ), risulta subito vidnt ch ν sono invrsamnt proporzionali, quindi pr avr min bisogna ricorrr a ν max : min c ν max min m s -, 0 9 Hz, m, A Un topo assorb una dos di 300 rad di protoni da 0 MV il cui fattor EBR è pari a 0,7. Valutar la dos biologica quivalnt in sivrt. Poiché è: il topo assorb: gray 00 rad rad gray S il fattor EBR è 0,7, la dos sprssa in sivrt è: Gy 3 Gy 0,7 3Gy, Sv Il 60C dcad, mttndo radiazion bta, con un tmpo di dimzzamnto di 5,7 anni, nl 60Ni, ch a sua volta mtt raggi gamma pronti ( cioè dopo un tmpo quasi nullo ). Qusti raggi gamma sono qulli normalmnt impigati nl trattamnto radiotrapico di tumori. Calcolar la massa di una radiosorgnt di 60C da 000 Ci. Utilizando la rlazion A 0 N 0 N / si puo risalir alla massa dlla radiosorgnt. S l attività dl 60C dv ssr di 03 Ci, sapndo ch Ci 3,7 00 Bq, l attività di 60C richista sarà: A 60 C 3, A 3,7 03 Bq. Pr il tmpo di dimzzamnto 5,7 anni 5, C ,7 08 s 0, 693, s 4,7 0-9 s -

23 Radioattività 3 pr avr il numro, N, dgli atomi dcaduti quando l attività è 3,7 03 Bq: A 3-0 3,7 0 dis s ACo N N N N 8, ,7 0 s La massa si ricava, ricordando ch N A 6,03 03 è il numro di Avogadro indica quanti atomi ci sono in una mol di una qualsiasi sostanza ch una mol è il pso molcolar sprsso in grammi ( cioè una mol di 60C consta di 60 g ): 60g:N A Xg:N m 60 C 60 d a qusta proporzion si ricava N m N 60 C 60 8, , m 60 A 6, C 0,88 g Pr un tssuto sposto ad una sorgnt radioattiva la dos assorbita in un ora è di 4 03 rad. S la EBR pr l radiazioni mss dalla sorgnt è 0,6, quanto tmpo dv trascorrr prché la dos biologica quivalnt sia di 3 Sv? A quanti rm corrispond qusta dos? S la dos assorbita ( D ASS ) in un ora è di 4 03 rad la EBR 0,6, la dos quivalnt assorbita in un ora è: D EQ D ASS EBR D EQ 4 03 rad 0,6,4 03 rm 4 Sv /ora ( dato ch sivrt ( Sv ) 00 rm ). La dos assorbita in un minuto data da : 4 Sv DEQ ass in un minuto DEQ 0,4 60 min Sv min Affinchè la dos biologica quivalnt sia 3 Sv, il tmpo ch dv passar si ricava dalla: 0.4Sv :(minuti) 3Sv : t(minuti) Infin, com già visto, ssndo: t 3 Sv D EQ t 3 Sv 0, 4 Sv min - 7,5 minuti Sv 00 rm 3 Sv 300 rm Dar una dfinizion prcisa di tmpo di dimzzamnto,, di vita mdia, τ, in un procsso radioattivo. Ricavar, mdiant dimostrazion, l rlazioni ch intrcorrono tra la costant di disintgrazion, tra τ. Pr tmpo di dimzzamnto,, s intnd il tmpo ncssario affinchè, in una sostanza radioattiva, il numro di nucli sopravvissuti, N, si è ridotto alla mtà di qullo inizial, N 0, cioè: Dalla lgg dl dcadimnto radioattivo: N N 0

24 4 Radioattività N t N 0 - t si ha: quindi: N N 0 - N 0 N ln ln - ln - ln ln - qusta è la rlazion tra. Pr vita mdia, τ, s intnd il tmpo ncssario affinchè, in una sostanza radioattiva, il numro di nucli sopravvissuti, N τ, si è ridotto da N 0 a N 0 /, ( nlla qual è la bas di logaritmi naturali ) cioè: Ancora dalla lgg dl dcadimnto radioattivo: si ha: N τ N 0 N t N 0 - t quindi: ln qusta è la rlazion tra τ. N τ N 0 - τ N 0 N 0 - τ - τ - τ ln - ln - τ τ τ S la vita mdia di una crta sostanza radioattiva è τ,886 giorni, quanti giorni si dovrà attndr prima ch l attività si riduca a / 3 dll attività inizial? Dalla formula dl dcadimnto radioattivo, sapndo ch s l attività si riduc a / 3 di qulla inizial significa ch N t si è ridotto a / 3 N 0, si ha: N t N 0 - t ricordando ch: si ha: 3 N 0 N 0 - t ln - ln 3 - t 5 ln t t 5 ln τ t 5 ln 5 τ ln t 5,886 ln 0 giorni Allo stsso risultato si potva giungr anch pr un altra via: poichè il tmpo ncssario affinchè l attività si riduca a / 3 dll attività inizial è sattamnt 5 volt il priodo di dimzzamnto, cioè 5, dato ch 3 5, pr rispondr alla domanda è sufficint trovar. Avndo la vita mdia,

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