PREMIO EQUO E PREMIO NETTO. Prof. Cerchiara Rocco Roberto. Materiale e Riferimenti

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1 PREMIO EQUO E PREMIO NETTO Prof. Crchiara Rocco Robrto Matrial Rifrimnti. Capitolo dl tsto Tcnica attuarial dll assicurazioni contro i Danni (Daboni 993) pagg Lucidi distribuiti in aula

2 La toria dll utilità considra il fatto ch l assicurato, soggtto conomico anch sso avvrso al rischio, acctta l iniquità dl contratto ritnndolo vantaggioso nonostant il caricamnto, P - E( X ), imposto dall assicurator purché sso non sia troppo lvato. Il caricamnto ch dal prmio quo fa passar ad un prmio ntto P maggior di E ( X ) è giustificato anch dall adozion dl critrio dlla probabilità di rovina. Tal critrio con carattr di oggttività, almno apparnt, si propon com altrnativo a qullo dll utilità attsa ch ha carattr soggttivo. L applicazion di qusto critrio consist nll dtrminazion di s quando sia stato fissato un livllo, p 0, pr la probabilità di insolvnza. Il caricamnto di sicurzza è dato da s = P - E( X ). In una forma molto smplificata la toria dl rischio può porsi ni sgunti trmini: sia X la variabil casual ch rapprsnta il costo total di sinistri in un crto priodo. La variabil X (con mdia m scarto mdio s ha com funzion di distribuzion F ( X ). Pr un numro di rischi sufficintmnt grand possiamo applicar il torma dl limit cntral quindi approssimar con una variabil normal. Avrmo cioè: F ( x ) æ x - m» F ç è s ö ø Dnotando pr ogni nll intrvallo 0 - con x y la dtrminazion di X pr la qual si ha F ( x ) = F ( x ) = -, si trattrà di ricrcar una rlazion dl tipo x f ( y ) = In prima approssimazion si ottin: x = m + s y Il sovra-prmio da applicar scondo la toria dl rischio (in qusta forma smplificata) è quindi proporzional allo scarto mdio.

3 A prscindr dall tori applicat, bisogna tnr prsnt ch l imprsa dv garantirsi un profitto industrial ch consntirà la formazion di risrv patrimoniali dstinat a far front al rischio di insolvnza. In ogni caso il prmio ntto P può ssr visto com un quivalnt crto dll importo X, risarcimnto alatorio dll assicurator. S possiamo conoscr o ipotizzar la distribuzion di probabilità di X, l quivalnt crto P n è un suo funzional. Il prmio quo P è un particolar quivalnt crto, il corrispondnt funzional è la spranza matmatica di X, ovvro indicata con F ( x) la funzion di ripartizion dlla distribuzion di X, il prmio quo è pari a P = E + ò 0 ( X ) = x d F( x) Confronti fra vari critri di calcolo dl prmio ntto Vdiamo ora alcuni critri di calcolo dl prmio ntto di un contratto l loro proprità. a) Critrio dlla varianza ( X ) + a var( X ) P = E a > 0 rciproco di un importo b) Critrio dllo scarto quadratico mdio P ( X ) + b s ( X ) = E b > 0 adimnsional c) Critrio dl valor attso o dlla spranza matmatica P ( + g ) E( X ) = g > 0 adimnsional d) Critrio dll utilità attsa: E [ u ( P - X ) ] = 0. utilità quadratica: P = E( X ) + B - B - var( X ) 3

4 X é ù B. utilità sponnzial: P = B ln E ê ú ë û Possiamo far l sgunti ossrvazioni: - Pr una funzion di utilità quadratica il critrio dll utilità attsa si riconduc sostanzialmnt a qullo dlla varianza. - Pr tutti i critri di calcolo sist un caricamnto di sicurzza tal ch P ( X ) > E ( X ). - Pr i critri di utilità quadratica d sponnzial, X M implica ch P ( X ) M, dov M rapprsnta il massimal. Qusto prché il prmio calcolato scondo i du critri è una mdia intrna dl risarcimnto X: s dunqu è 0 X M, è anch 0 P ( X ) M. Pr la funzion di utilità sponnzial P ( X ) è mdia sponnzial di X com tal è mdia intrna. Nl caso dll utilità quadratica, s X M pr potr applicar tal critrio dv ssr B ³ M, quindi sarà anch var( X ) E ( X ) M B. Inoltr dalla P = E ( X ) + B - B - var( X ), si vd ch il prmio è funzion dcrscnt di B, quindi P = E( X ) + M - M - var( X ) è il massimo dgli quivalnti di X scondo il critrio dll utilità attsa quando u ( x) è quadratica. Inoltr è P ( X ) M prché s foss il contrario si ottrrbb ch P = E( X ) + M - M - var( X ) ch conduc all assurdo: [ E ( X )] + var( X ) = E( X ) > M. Qusta proprità non è vrificata dagli altri critri, prché l ntità dl caricamnto potrbb ssr tal da rndr P ( X ) > M. - Pr il critrio dllo scarto quadratico mdio dl valor attso val il principio dll omognità (positiva), ossia P ( a X ) = a P ( X ), a > 0. - Pr tutti i critri, trann qullo dl valor attso, val la proprità traslativa: P ( X + C ) = P ( X ) + C, C >0. 4

5 - Il critrio dlla varianza dl valor attso godono dlla proprità additiva s X Y sono stocasticamnt indipndnti: P X + Y = P X + P Y ( ) ( ) ( ) - Pr il critrio dllo scarto quadratico mdio dl valor attso è possibil ffttuar la dcomposizion di X in du importi non ngativi, X X, in modo tal ch sia P ( X ) = P ( X + X ) P ( X ) + P ( X ). Qusta proprità richid ch non sia mai vantaggioso pr l assicurato stipular, anziché un unico contratto rlativo al rischio X, du o più contratti rlativi a du o più rischi ni quali possa dcomporsi in modo arbitrario X stsso. I du risarcimnti X X in cui può dcomporsi X sono corrlati positivamnt (stocasticamnt dipndnti: un aggravamnto dl rischio X comporta aggravamnti pr ogni sua componnt). 5