Le soluzioni della prova scritta di Matematica del 6 Febbraio 2015

Transcript

1 L soluzioni dlla prova scritta di Matmatica dl Fbbraio 5. Sia data la funzion a. Trova il dominio di f f b. Scrivi, splicitamnt pr stso non sono sufficinti disgnini, quali sono gli intrvalli in cui f è positiva qulli in cui è ngativa c. Dtrmina l vntuali intrszioni con gli assi d. Studia il comportamnto di f agli strmi dl suo dominio, scrivndo l quazion di vntuali asintoti; giustificar i risultati di limiti. Calcola la drivata prima scrivi, splicitamnt pr stso non sono sufficinti disgnini, quali sono gli intrvalli in cui f è crscnt qulli in cui è dcrscnt, trovando l coordinat di vntuali massimi o minimi rlativi o flssi a tangnt orizzontal f. Calcola la drivata sconda scrivi, splicitamnt pr stso non sono sufficinti disgnini, quali sono gli intrvalli in cui f è convssa qulli in cui è concava, trovando l coordinat di vntuali flssi g. Disgna un grafico approssimativo di f scglindo opportunamnt il sistma di rifrimnto a Bisogna imporr ch > Quindi il dominio è dato dall insim D, +. b Poiché, all intrno dl dominio, il dnominator è smpr positivo, si ha / > > < < < < f < Quindi la funzion è positiva nll intrvallo, ngativa nll intrvallo in,+. c Non vi sono intrszioni con l ass y, dato ch D. Quanto all intrszioni con l ass, risolviamo il sistma y y

2 Troviamo dunqu l unica intrszion A,. d Dobbiamo risolvr i sgunti limiti lim + lim + Nl primo limit ci troviamo di front ad una forma indtrminata dl tipo / ch risolviamo col torma di d l Hopital: lim lim lim lim La rtta y è un asintoto orizzontal. Riguardo il scondo limit, il numrator tnd a + d il dnominator tnd a +, di consgunza lim +. + f + f > > Tnndo conto dl fatto ch D, +, la prdtta disquazion è soddisfatta, all intrno dl dominio, s solo s >. Dato ch > > > > abbiamo ch f è crscnt nll intrvallo, + dcrscnt in,. Nl punto di ascissa vi è un minimo rlativo, la cui ordinata è y f. Il minimo rlativo è il punto B,.

3 f f + + Essndo il dnominator smpr positivo, f < < > >. Prtanto, tnndo conto dl dominio, f è convssa nll intrvallo, concava in, +. Nl punto di ascissa vi è un flsso; la sua ordinata è / / / / / / 5 f y. In conclusion, il flsso è dato dal punto 5, C. g

4 . Trovar l quazion dlla circonfrnza tangnt alla rtta r: + y nl punto A-,, d avnt cntro sulla rtta s: + y +. Vi sono divrsi mtodi pr risolvr qusto srcizio. N proponiamo du. Primo mtodo Occorr trovar cntro raggio dlla circonfrnza. Poiché la traccia fornisc un punto dlla circonfrnza il punto A, sarà sufficint trovar il cntro C: una volta noto il cntro, il raggio sarà dato da R dc,a. Poiché il cntro C,y appartin alla rtta s, l su coordinat soddisfano l quazion + y +, quindi la sua ordinata sarà data da y -. In conclusion possiamo dir ch il cntro ha coordinat C,, con al momnto incognito. Dalla toria sappiamo ch, ssndo la circonfrnza tangnt alla rtta r, la distanza di C da r è proprio ugual al raggio dlla circonfrnza. D altra part il raggio è anch ugual alla distanza di C da un punto qualsiasi dlla circonfrnza, pr smpio dal punto A. Prtanto cioè + dc,r dc,a + + Elvando al quadrato ambo i mmbri svolgndo i calcoli si ottin Essndo il discriminant 9, vi sarà un unica soluzion data da Quindi il cntro avrà coordinat C-, d il raggio sarà pari a / 5 5. In conclusion la circonfrnza ha quazion + + y 5

5 Scondo mtodo Essndo la circonfrnza tangnt alla rtta r nl punto A, il cntro dovrà appartnr alla rtta n passant pr A ortogonal a r. Troviamo l quazion di tal rtta n. Essa è ortogonal ad r, quindi il suo cofficint angolar è. Inoltr passa pr A-,. La sua quazion è dunqu cioè y + 7 y +. Sappiamo dunqu ch C s ch C n. Qusto significa ch C s n, cioè l coordinat di C sono soluzion dl sistma + y + 7 y + Sostitundo la sconda quazion nlla prima si ha da cui y +. Quindi il cntro ha coordinat C-, d il raggio è dato da R L quazion dlla circonfrnza è ancora una volta + + y 5.

6 . a Calcolar la drivata dlla funzion f cos arctan b Dopo avr nunciato il Torma Fondamntal dl Calcolo Intgral, dimostrar ch s F : [ a, b] R è una qualsiasi primitiva di una funzion continua f : [ a, b] R, allora si ha ch b f d F b F a. a a f cos sin sin sin arctan + cos arctan + cos arctan arctan arctan + cos + cos arctan arctan arctan arctan + + b Si rinvia a quanto svolto a lzion.

7 . In un laboratorio vin ossrvata la crscita di una colonia di battri sottoposta ad un crto mdicinal. Si nota ch ad una prima rilvazion il numro di battri è crsciuto dl % d a una succssiva rilvazion di un ultrior 5% risptto alla prcdnt. a Calcola la prcntual di crscita mdia di battri cioè la prcntual di crscita ch, s applicata sia alla prima ch alla sconda rilvazion, rstituirbb lo stsso numro final di battri. b Supponndo ch alla fin dll sprimnto la colonia consist in, battri, dir quanti battri vi rano all inizio dll sprimnto. a Pr calcolar la prcntual di crscita mdia è sufficint sottrarr alla mdia gomtrica dll 5 du variazioni + + : 5 + +,,5,7 Mdiamnt i battri crscono dl,7% in ciascuna dll du rilvazioni. Poniamo numro di battri iniziali. Alla prima rilvazion il numro di battri è divntato + + Quindi il numro final di battri sconda ultima rilvazion è dato da D altra part sappiamo ch da cui quindi, 5, + +, 5,5