Matematica per l Economia (A-K) e Matematica Generale 10 novembre 2016 (prof. Bisceglia) traccia A

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1 Matmatica pr l Economia (A-K) Matmatica Gnral novmbr (pro. Biscglia) traccia A. Calcolar una primitiva P dlla unzion p scrivr l quazion dlla rtta tangnt a P in calcolar la distanza dlla rtta tangnt dall origin. p : R. Calcolar il it dlla sgunt unzion sugli lmnti di Rˆ in cui è possibil ttuarsi h : s Q arcsn s. Studiar la sgunt unzion tracciarn approssimativamnt il graico: log sn Q 4. Dati i sgunti insimi: 7 ; 7 ; Z ; Z dir s ciascuno di ssi è una part di R aprta o chiusa giustiicando la risposta.. Data la unzion: g : R arctg vriicar s ha punti di discontinuità s si dir di ch tipo di discontinuità si tratta. N.B. Non si possono usar pna l annullamnto dlla prova: ) calcolatrici cllulari d appunti vari. ) Non si accttano laborati scritti a matita. ) Va consgnato solo il oglio di blla la traccia compilata nl riquadro. Cognom Nom Matricola Firma

2 Matmatica pr l Economia (A-K) Matmatica Gnral 7 sttmbr (pro. Biscglia) traccia B. Calcolar una primitiva P dlla unzion p scrivr l quazion dlla rtta tangnt a P in calcolar la distanza dlla rtta tangnt dal punto p : R. Calcolar il it dlla sgunt unzion sugli lmnti di Rˆ in cui è possibil ttuarsi h : N arctg s s N. Studiar la sgunt unzion tracciarn approssimativamnt il graico: log cos 4. Dati i sgunti insimi: 7 ; 7 ; Z ; Z dir s ciascuno di ssi è una part di R aprta o chiusa giustiicando la risposta.. Data la unzion: g : sn tg vriicar s ha punti di discontinuità s si dir di ch tipo di discontinuità si tratta. N.B. Non si possono usar pna l annullamnto dlla prova: ) calcolatrici cllulari d appunti vari. ) Non si accttano laborati scritti a matita. ) Va consgnato solo il oglio di blla la traccia compilata nl riquadro. Cognom Nom Matricola Firma

3 Svolgimnto prova scritta dl novmbr traccia A. Una primitiva dlla unzion assgnata è data dal sgunt intgral: d Pr potrlo calcolar procdiamo pr parti quindi d 4 d consguntmnt pr qusto scondo procdndo ancora pr parti si ha d 4 d 4 8 d quindi d primitiva dlla unzion p assgnata è: La rtta tangnt y P P P : R 4 4 risulta: 4 y Mntr la distanza di tal rtta dall origin è d r 4. dtta P una.. Data la sgunt unzion h s : Q si ha arcsn s Q L insim dgli lmnti di Rˆ in cui possa ttuarsi il it su quindi Q è s è si ha: h s è ssndo h continua in è: h s è si ha: h h s è ssndo h continua in Q prché rstrizion a Q dlla unzion continua arcsn h arcsn arcsn. la unzion sn log è:

4 Essndo una unzion logaritmica dv ssr arcsn sn sn sn sn ricordando ch la unzion sno è priodica ch risulta -simmtrica prtanto sn sn ricordando ch sn pr cui quindi consguntmnt sn sn tnndo conto ch la unzion sno è strttamnt crscnt in ssndo pr cui sn mntr la unzion sno è strttamnt dcrscnt in pr cui sn quindi. prtanto R sn log : Si ossrva ch la unzion non ha asintoti orizzontali Sgno dlla unzion: Dv ssr log log sn sn sn quindi Inoltr Consguntmnt X Si ossrva ch quindi passa pr il punto d ssndo: sn pr cui y y log sn pr cui y y log Pr cui l rtt d sono rispttivamnt du asintoti vrticali il primo a dstra d il scondo a sinistra pr la unzion. Essndo:

5 log cos sn d è: cos cos cos quindi la rstrizion di a è strttamnt dcrscnt la rstrizion di a crscnt. Risultando inin: è strttamnt log quindi sn sn cos cos log sn sn log è: sn sn cos sn sn prtanto la rstrizion di a è strttamnt convssa. Siamo ora in grado di tracciar il graico di : quindi ddurr ch: In log non è biunivoca la rstrizion di a è biunivoca su sn In d ossrvando ch In è dotata di

6 minimo risulta Min sn In Sup log log sn Sup. Mntr non è dotata di Massimo d il 4. dati i sgunti insimi:. 7 ; 7 ; Z ; Z Essndo ogni intrvallo aprto di R una part aprta di R 7 quanto union di parti aprt di R. è una part aprta di R in 7 non è una part aprta di R prché non sist alcun intorno di incluso in 7 d altra part 7 7 non appartnnti a 7. non è una part chiusa di R dato ch 7 sono punti di accumulazion di Essndo ogni intrvallo chiuso di R una part chiusa di R Z una part chiusa di R Z part chiusa di R. Z è una non è una part aprta di R prché s z è un numro intro divrso da zro non sist alcun intorno di z incluso in Z.. La unzion g : R arctg è continua in punto di discontinuità di sconda spci. R d ssndo g arctg g g ha in zro un

7 Svolgimnto prova scritta dl novmbr traccia B. Una primitiva dlla unzion assgnata è data dal sgunt intgral: d Pr calcolarlo procdiamo pr parti pr cui d consguntmnt pr qusto scondo d d 4 d procdndo ancora pr parti si ha quindi d dtta P una primitiva dlla unzion p assgnata è: d 48 La rtta tangnt y P P P : R risulta: 4 4 y Mntr la distanza di tal rtta dall origin è d r h N arctg. Essndo la unzion : s s N L insim dgli lmnti di Rˆ in cui possa ttuarsi il it su N quindi è s è ssndo h continua in prché rstrizion a unzion continua R è: h si ha: h s è dlla s è è: h arctg arctg. 4. Data la unzion log cos Essndo una unzion logaritmica dv ssr cos cos cos cos arccos ricordando ch la unzion

8 cosno è priodica ch risulta -simmtrica prtanto cos cos cos pr cui cos in ssndo pr cui cos dcrscnt in prtanto ricordando ch tnndo conto ch la unzion cosno è strttamnt crscnt mntr la unzion cosno è strttamnt pr cui cos quindi. : log cos R Si ossrva ch la unzion non ha asintoti orizzontali Sgno dlla unzion: log cos log cos cos Dv ssr quindi Inoltr Consguntmnt Si ossrva ch quindi passa pr il punto d ssndo: Pr cui l rtt cos cos d scondo a sinistra pr la unzion. Essndo: sn log cos pr cui y y log pr cui y y log sono rispttivamnt du asintoti vrticali il primo a dstra d il d è: sn sn sn quindi la rstrizion di a è strttamnt crscnt la rstrizion di a dcrscnt. è strttamnt Risultando inin:

9 log quindi cos cos snsn log cos cos log è: cos sn cos prtanto la rstrizion di a è strttamnt concava. Siamo ora in grado di tracciar il graico di : cos cos quindi ddurr ch: Sup log non è biunivoca la rstrizion di a è biunivoca su cos Sup d ossrvando ch massimo risulta Ma cos Ma log cos In In log. Sup è dotata di. Mntr non è dotata di Minimo d il 4. Dati i sgunti insimi:. 7 ; ; N ; Z

10 Essndo ogni intrvallo aprto di R una part aprta di R 7 quanto union di parti aprt di R. d altra part accumulazion di non appartnnti a è una part aprta di R in non è una part aprta di R prché non sist alcun intorno di incluso in non è una part chiusa di R dato ch sono punti di. Essndo ogni intrvallo chiuso di R una part chiusa di R N una part chiusa di R N part chiusa di R. Z è una non è una part aprta di R prché s z è un numro intro divrso da zro non sist alcun intorno di z incluso in Z. La unzion g : sn tg g è continua nl suo insim di dinizion d ssndo g tg g sn sny y discontinuità di sconda spci quindi non sist il g prtanto g ha in zro un punto di