ANALISI MATEMATICA I CALCOLO DIFFERENZIALE / ESERCIZI PROPOSTI

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1 ANALISI MATEMATICA I CALCOLO DIFFERENZIALE / ESERCIZI PROPOSTI L astrisco contrassgna gli srcizi più difficili.. Calcolar la drivata dll sgunti funzioni (drivabili in tutti i punti dl loro dominio): a) f (x) =4x 8 x/ +4x +5, g(x) = x x +, h(x) =x sin x x + b) f (x) = +x, g(x) = ( + x ), h(x) =logx c) f (x) = arctan + x, g(x) = tan 5x, h(x) =x sin x d) f (x) =log x + x, g(x) =cos log x 4. Sia f una funzion dfinita in un intorno di π talchf (π) = f (π) =. Considrata la funzion g (x) =x arctan f (x), calcolarg (π)....[5π/4]. Sia f una funzion dfinita in un intorno di talchf () =. Considrata la funzion g (x) =f ( sin x cos x), calcolarg (π)....[ 4] 4. Dat l funzioni f (x) =x log x g (x) =(logx) x, calcolar l drivat di g f d f g nl punto x 0 =...[, 0] 5. Ricavar l sgunti formul di drivazion dll funzioni iprbolich: D sinh x =coshx, D cosh x =sinhx pr ogni x R calcolardtanh x... D tanh x = tanh x = pr ogni x R cosh x 6. Provar ch la funzion f (x) = x non è drivabil in x 0 =0,mntrrisulta Ddurr poi ch D x =signx = x x pr ogni x = 0. D log x = x pr ogni x = Sia f : R R una funzion strttamnt monotona drivabil ovunqu. Sapndo ch f (0) = 0, f () =, f () = 5 d f (0) =, calcolar f () d f (0)... 5, 8. Si considri la funzion f (x) = x+log x. Provar ch f è invrtibil su dom f scrivrl quazion dlla rtta tangnt al grafico a) y = f (x) nl punto in cui x =... y = + x b) y = f (x) nl punto in cui y =...[y =x ] c) y = f (x) nl punto in cui y =... y = + x d) y = f (x) nl punto in cui x =... y = x +

2 M.GUIDA, S.ROLANDO 9. Sia f :domf R R drivabil in tutti i punti di dom f siaf :domf R la sua funzion drivata. Dimostrar ch: a) s f è pari, allora f èdispari b) s f è dispari, allora f èpari. 0. Ricavar l sgunti formul di drivazion pr l invrs dll funzioni trigonomtrich: D arcsin x =, Darccos x = x x pr ogni x (, ).. Studiar continuità drivabilità dll sgunti funzioni sul proprio dominio: x log x s x>0 a) f (x) = 0 s x =0, g(x) = x s x = 0 0 s x =0 x s x 0 sin (log x)+x s 0 <x b) f (x) = (x ) s x>0, g(x) = x x s x> c) f (x) = log x, g(x) = x 9 x d) f (x) = 7 x 6 x 7, g(x) = x log + x. Vrificar ch l sgunti funzioni sono prolungabili pr continuità in x 0 =0 stabilir s il loro prolungamnto continuo risulta drivabil in x 0 : a) f (x) =x cos x... f (0) = 0, f (0) non sist b) f (x) = +6x... f (0) = 0, f (0) = x. Dtrminar α R tal ch la funzion f (x) = 4x s x 0 α sin (x) s x>0 risulti ovunqu drivabil in R....[α =] 4. Dtrminar a, b R tal ch la funzion sin (sin (x )) s x f (x) = x (b log x a ) s x> risulti ovunqu drivabil in R....[b =0, a = ] 5. Calcolar i sgunti iti utilizzando la rgola di d L Hôpital: x sin x a) x 0 sin x, x x x 0 sin x, tan x x x 0 x... [0,, 0] x 4 b) x x +5x +6, c) x sin x, x 0 + log (x), x 0 + /x x 0 x log (x), x 0 + sin x π d) x x + arctan 5x π/ arctan x, x + log ( + /x) log (x π/) ) x (π/) + tan x, x (π/) + x... [ 4, 0, 0] x log (sin x)...[+, 0, 0] x 0 + tan x x π... 5,...[0, ] 6. Utilizzando la rgola di d L Hôpital, dimostrar i sgunti iti notvoli: α > 0 x + x x α =+, x + xα x =0, x + log x =0, log x =0. xα x 0 +xα

3 CALCOLO DIFFERENZIALE 7. Utilizzando la rgola di d L Hôpital, ricavar l sgunti quivalnz: arctan x x pr x 0, arcsin x x pr x 0. Calcolar poi i iti x 0 + (x +arctanx) arcsin ( x + x ) x, x 0 + x +4sin x...., 8. Stabilir quali fra l sgunti funzioni soddisfano l ipotsi dl torma di Roll sull intrvallo [, ]: f (x) =x,g(x) = x x, x 0, x<,h(x) = 0, x (0, ], k (x) = 0, x= (x ).,x>, x>...[f,g,k non soddisfano, h soddisfa] 9. Disgnar il grafico dlla funzion x x s x 0 f (x) = x s 0 <x x s x> studiarn continuità drivabilità....[f C (R) ; f non drivabil in 0 (punti angolosi)] Stabilir poi s: a) il torma di Roll è applicabil sugli intrvalli [, 0] [0, 5]... [sì, no] b) il torma di Lagrang è applicabil sull intrvallo [, 5]...[sì] c) f èinittiva...[no] d) f è surittiva (su R)...[no] ) il valor è assunto nll intrvallo [ /, 0]... [sì] 0. Disgnar il grafico dlla funzion arctan x s x 0 arcsin x s 0 <x f (x) = (x ), s <x log (x ) s x> dtrminarn l immagin studiarn continuità drivabilità. im f = π..., + ; f non continua in (salto) ( a spci); f non drivabil in, (punti di discontinuità) (punto angoloso) Stabilir poi s: a) il torma di Lagrang è applicabil sugli intrvalli [, ] [, ]... [no, sì] b) il torma di Roll è applicabil sull intrvallo [ + /, +]... [no] c) f èinittiva...[no]. Dimostrar l sgunti idntità: a) arccos x = π arcsin x pr ogni x [, ] b) arctan x = π arctan x pr ogni x>0 c) arctan x = π arcsin x pr ogni x 0.

4 4 M.GUIDA, S.ROLANDO. Sia f (x) = x + x. a) Dtrminar massimo minimo assoluti di f sull intrvallo [, ]... max f (x) =f () =, max f (x) =f x [,] x [,] = b) Vrificar ch il torma di Lagrang è applicabil sull intrvallo [0, ] dtrminarun punto c (0, ) ch soddisfi la tsi dl torma.... c =. Dtrminar i punti di massimo minimo assoluti dll sgunti funzioni sugli intrvalli I indicati: a) f (x) =x x +,I=[, ]... f () = f () = max I f, f =mini f b) f (x) =x x + x +,I=[, ]... f =maxi f, f ( ) = min I f 4. Dtrminar il numro di zri dlla funzion f (x) =x x. 5*. Sia f : R R una funzion ovunqu drivabil strttamnt positiva. Sapndo ch f () = f () = 0, provar ch la funzion g (x) =x log f (x) ha almno tr punti critici. 6*. Sia f : R R una funzion drivabil con drivata continua su R talchf (0) = f () =, f () = d f () =. Provarchf ha almno du punti critici nll intrvallo (0, ). 7. Dimostrar ch x cos x pr ogni x R. 8. Sia y : R R una funzion strttamnt positiva, drivabil ovunqu tal ch y (0) = y (x) =y (x) x x + pr ogni x R. a) Calcolar y (0), y (0) d y (0). b) Dtrminar gli intrvalli di monotonia di y (x). c) Calcolar la drivata prima in x 0 =0dll funzioni f (x) = y(x)sinx, g (x) =cosy (x) d h (x) =y (cos x).

5 CALCOLO DIFFERENZIALE 5 ALTRE SOLUZIONI. Non sono riportati i risultati ch sono impliciti nll richist dl tsto o ch si possono facilmnt controllar tramit un qualsiasi softwar matmatico (ad smpio qullo disponibil sul sito a) f (x) =x 4 x +4, g (x) = x +x 4 (x +), h (x) =sinx + x cos x b) f (x) = x, g (x) = ( + x ) x +x, h (x) = x c) f x (x) = 4x + x +, sin 5x g (x) =0 5x cos 5x tan, d) f (x) = x x x + x, g (x) = x x sin log x 9. a) f ècontinuaovunqunondrivabilin0. g è continua drivabil ovunqu. b) f è continua ovunqu non drivabil in 0 (punto angoloso). g è continua drivabil ovunqu. c) f è continua ovunqu non drivabil in (punto angoloso). g è continua ovunqu non drivabil in 0 (punto angoloso). d) f è continua ovunqu non drivabil in 0 d in. g è continua ovunqu non drivabil in 0 (punto angoloso). h (x) =x sin x cos x log x + sin x x 9. a) Posto f (x) = arccos x +arcsinx, siha f (x) = + x x =0 pr ogni x (, ) quindi f (x) ècostantsu(, ). Tal costant val il valor dlla funzion in un punto qualsiasi dll intrvallo, ad smpio f (0) = arccos 0 + arcsin 0 = π. Dunqu f (x) = π pr ogni x (, ), cioè arccos x +arcsinx = π pr ogni x (, ). Sostitundo x = ±, sivrifica poi ch tal idntità val su tutto l intrvallo [, ]. b), c) Analoghi al prcdnt. 4. Poiché f (x) =x è ngativa in (, ) positiva altrov, gli intrvalli di monotonia strtta di f sono (, ], [, ] [, + ), sucuif è continua. Allora, pr il torma di sistnza dgli zri, f ha un unico zro in ciascuno di tr intrvalli, in quanto: f (x) = f ( ) = > 0; x f ( ) > 0 f () = < 0; f () < 0 f (x) =+. x + Dunqu f ha sattamnt zri su R. 5. Si ha g (x) =x log f (x)+x f (x) f (x) = x logf (x)+x f (x) f (x) quindi g (0) = 0 g () = log f () + f () f() pr ogni x R =0. Inoltr risulta g (0) = g () (prché g (0) = 0 g () = log f () = 0), pr cui sist x 0 (0, ) tal ch g (x 0 )=0pr il torma di Roll. Dunqu g (x) si annulla almno ni tr punti x =0, x = x 0 d x =(tutti divrsi prché x 0 (0, )).

6 6 M.GUIDA, S.ROLANDO 6. Poiché f (0) = f (), sist x (0, ) tal ch f (x )=0pr il torma di Roll. D altra part, pr il torma di Lagrang, sist c (, ) tal ch f f () f () (c) = = = quindi, siccom f è continua pr ipotsi soddisfa f (c) > 0 d f () = < 0, pr il torma di sistnza dgli zri sist x (c, ) tal ch f (x )=0. Dunqu f (x) si annulla almno in x d x, ch appartngono ntrambi all intrvallo (0, ) prché x (0, ) d x (c, ) con c (, ). 7. Posto f (x) = x cos x, dvo provar ch f (x) 0 pr ogni x R. Poiché f èpari,èsufficint dimostrar ch f (x) 0 pr ogni x 0. Pr ogni x 0, sihaf (x) = x +sinx 0 (ssndo sin x x) quindi f (x) f (0) = 0 (ssndo f dcrscnt su [0, + )). 8. a) Valutando y (x) =y (x) x x + con x =0,sihasubitoy (0) = y (0) =. Drivando ultriormnt y (x) =y (x) x x +,siottin y (x) =y (x) x x + + y (x)(x ) y (x) =y (x) x x + + y (x)(x ) + y (x)(x ) + y (x) = y (x) x x + +y (x)(x ) + y (x), da cui sgu y (0) = y (0) +y (0) ( ) = 4 = y (0) = y (0) +y (0) ( ) + y (0) = + = 8. b) Essndo y (x) =y (x) x x + con y (x) > 0 pr ogni x R, ladrivatay (x) ha lo stsso sgno di x x+, cioè è positiva pr x (, ) (, + ) ngativa pr x (, ). Dunqu y (x) è strttamnt crscnt su (, ] su[, + ) d è strttamnt dcrscnt su [, ]. c) Pr ogni x R si ha f (x) = y(x)sinx D (y (x)sinx) = y(x)sinx (y (x)sinx + y (x)cosx), g (x) = sin y (x) Dy (x) = y (x)siny (x), h (x) =y (cos x) D cos x = y (cos x)sinx. Allora, sapndo ch y (0) = d y (0) =, siottin f (0) = y(0) sin 0 (y (0) sin 0 + y (0) cos 0) =, g (0) = y (0) sin y (0) = sin, h (0) = y (cos 0) sin 0 = 0.