LIMITI. 6. Esempi di riepilogo. 7. Limite per eccesso e per difetto 8. Limiti fondamentali. Nota bene 1. Nota bene 2

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1 LIITI Limit inito in un punto Limit ininito in un punto 3 Limit inito all ininito 4 Limit ininito all ininito 5 Limiti da dstra da sinistra Nota bn 6 Esmpi di ripilogo Nota bn 7 Limit pr ccsso pr ditto 8 Limiti ondamntali

2 Limit inito in un punto Data la unzion () : D C, con D R C R, considrato il punto, con punto d accumulazion di D, si dinisc it inito in il numro ral l ch soddisa alla sgunt condizion: l è it dlla unzion () pr ch tnd ad, si scriv ( ) l δ R R, tal ch ( ) l, ] δ δ [ { }, s NB: in qusta dinizion è intrssant considrar piccolo a piacr, cioè Esmpi Vriicar l sistnza di un it scondo la dinizion, signiica risolvr la disquazion indicata, in qusto caso ( ) l, trovar com risultato un intorno di, privato al più di a Data la unzion ( ), vriica ch ( ) D R \ {} ( ) ( )( ) Vriica mpirica: - k y y k k,5,5,5,5,5,7,7,3,3,3,9,9,,,,95,95,5,5,5,97,97,3,3,3,99,99,,,,999,999,,,,9999,9999,,,,99999,99999,,, tnd a tnd a tnd a tnd a tnd a

3 3 Vriica scondo la dinizion: δ in qusto caso quindi, > Il it indicato è stato vriicato prché, risolvndo la disquazion dlla dinizion, ho trovato com soluzion un intorno di, privato di b Considra la unzion ( ) dll smpio a, vriica ch l armazion ( ) 3 è alsa Inatti, applicando la dinizion, si ottin com risultato un intorno complto di, anziché un intorno di, privato di : > 3 3

4 Limit ininito in un punto 4 Data la unzion () : D C, con D R C R, considrato il punto, con punto d accumulazion di D, si dic ch il it dlla unzion (), pr ch tnd ad, è ininito, si scriv ( ), s R δ R, tal ch ( ) > ] δ δ [ { } NB: a) in qusta dinizion è intrssant considrar grand a piacr, cioè b) in particolar, s il it è ( - ), basta ch sia vriicata la disquazion () > ( () - ) c) la dinizion val pr R, tuttavia pr smplicità convin prndr R Qusto tipo di it implica l sistnza di asintoto vrtical di quazion Esmpio Vriicar l sistnza di un it scondo la dinizion, signiica risolvr la disquazion indicata, in qusto caso ( ) >, trovar com risultato un intorno di, privato al più di a Data la unzion ( ), vriica ch ( ) D R \ {} Vriica mpirica: - k y / y / k k -,5 -,,,5,5 -,3-3,3 3,3,3,3 -, -,,,, -,5 -,,,5,5 -,3-33,3 33,3,3,3 -, -,,,, -, -,,,, -, -,,,, -, -,,,, tnd a tnd a - tnd a tnd a tnd a

5 5 Vriica scondo la dinizion: in qusto caso quindi, > > δ Il it indicato è stato vriicato prché, risolvndo la disquazion dlla dinizion, ho trovato com soluzion un intorno di, privato di La unzion ammtt asintoto vrtical di quazion

6 b Data la unzion ( ), vriica ch ( ) - 6 D R \ { } - > ( - ) ( ) - > - > ricordando ch con si intnd un numro ral' grand a piacr', si ottin : quindi, la disquazion è vriicata pr, con - - Ossrva ch pr molto grand, pr smpio, si ha: , 5, 995 Il it indicato è stato vriicato prché, risolvndo la disquazion dlla dinizion, ho trovato com soluzion un intorno di -, privato di - Dtrmino δ : δ δ ' '' δ δ ' '' 5 5 δ δ '' δ ' 5 Si può concludr, in modo più rainato, ch δ, ch l intorno di 5 5 -, privato di - è \ { }

7 7 3 Limit inito all ininito Data la unzion () : D C, con D R, C R D ilitato, si dinisc it inito pr ch tnd all ininito, il numro ral l ch soddisa alla sgunt condizion: l è it dlla unzion () pr ch tnd a (- ), si scriv ( ) l ( ( ) l ), s R R - ( ] δ [ ) δ, tal ch ( ) l, ]δ [ NB: in qusta dinizion è intrssant considrar piccolo a piacr, cioè Qusto tipo di it implica l sistnza di asintoto orizzontal di quazion y l Esmpi Vriicar l sistnza di un it scondo la dinizion, signiica risolvr la disquazion indicata, in qusto caso ( ) l, trovar com risultato un sottoinsim ilitato di D

8 3a Data la unzion ( ), vriica ch ( ) - 8 D R Vriica mpirica: y, -,5, ,7, , , , , ,65-5,389 tnd a - tnd a Vriica scondo la dinizion: ln > Il it indicato è stato vriicato prché, risolvndo la disquazion dlla dinizion, la soluzion è un sottoinsim ilitato di D : ]- ln() [ ( ) quindi, in qusto caso δ ln( ) La unzion ammtt asintoto orizzontal di quazion y

9 3b Data la unzion ( ), vriica ch ( ) D R \ {- } in qusto caso 5 5 ± > 5 δ, pr -, δ > 5 5, 5 pr 9 Il it indicato è stato vriicato, prché, risolvndo la disquazion dlla dinizion, la soluzion è un sottoinsim ilitato di D : La unzion ammtt asintoto orizzontal di quazion y

10 4 Limit ininito all ininito Data la unzion () : D C, con D R, C R D ilitato, si dic ch il it dlla unzion (), pr ch tnd a più ininito (mno ininito), è ininito, si scriv ( ) ( ( ) ), - s R ( ] δ [ ) δ, tal ch ( ) R > ]δ [ NB: a) in qusta dinizion è intrssant considrar grand a piacr, cioè b) in particolar, s il it è ( - ), basta ch sia vriicata la disquazion () > ( () - ) Esmpi Vriicar l sistnza di un it scondo la dinizion, signiica risolvr la disquazion indicata, in qusto caso ( ) >, trovar com risultato un sottoinsim ilitato di D 3 4a Data la unzion ( ), vriica ch ( ) ± D R Vriica scondo la dinizion: 3 > - 3 > 3 quindi, in qusto caso δ 3, pr -, δ 3 pr Il it indicato è stato vriicato prché, risolvndo la disquazion dlla dinizion, ho trovato com soluzion un sottoinsim ilitato di D : ] [ ] [

11 4b Data la unzion ( ) ln, vriica ch ( ) D R ln ( ) > ln( ) > ln( ) > > Il sottoinsim util di D è >, con δ Ossrvazion: vista la natura dl it si può procdr in modo più sinttico: ln > >, con δ ( )

12 5 LIITI DA SINISTRA E DA DESTRA Pr i iti, initi o ininiti, in un punto si diniscono i iti da sinistra da dstra risptto Limit inito in un punto da sinistra da dstra Data la unzion () : D C, con D R C R, considrato il punto, con punto d accumulazion di D, si dinisc it inito in da sinistra (da dstra) il numro ral l ch soddisa alla sgunt condizion: l è it dlla unzion () pr ch tnd ad da sinistra (da dstra), si scriv ( ) ( ( ) ) - ( ) l l, s R δ R, tal ch l, ] δ [ ( ] δ [ )

13 3 Esmpio 5 Data la unzion ( ), vriica ch ( ) ± ± ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) con δ con δ - pr pr R D,, > >

14 Limit ininito in un punto da sinistra da dstra 4 Data la unzion () : D C, con D R C R, considrato il punto, con punto d accumulazion di D, si dic ch il it dlla unzion (), pr ch tnd ad a sinistra (da dstra), è ininito, si scriv (, s R δ R ( ] δ[ ) - ( ) ( ) ), tal ch ( ) > ] δ [ Esmpio 5 Data la unzion ( ) ( vdi smpio a), vriica ch ( ) ± ± Nll smpio a abbiamo considrato il it all ininito in valor assoluto ( ), in qusto contsto lo considriamo in snso rlativo ( ± ) D R \ {} > > >, δ >, δ Nota bn Una unzion ammtt it in un punto soltanto quando in qusto punto sist il it da dstra da sinistra dlla unzion qusti du iti sono uguali (in valor assoluto pr il it ininito) il valor comun di du iti è il valor dl it dlla unzion in qul punto: ( ) l ( oppur ) ( ) l ( ) ( ) l ( )

15 In droga a qusta rgola, si può armar ch una unzion ammtt it in snso assoluto in un punto, anch quando qusto it coincid solamnt o con it sinistro o con il it dstro, s a dstra o a sinistra di la () non è dinita 5 Esmpi:, con, in sistono i iti da dstra da sinistra, ma ssndo - Dall smpio 5, ossrvo ch, data la unzion ( ) ± ( ) ± divrsi, non sist il it in snso assoluto - Dall smpio 5, ossrvo ch, data la unzion ( ), con ( ) ± ± in sistono i iti da dstra da sinistra, sono uguali ( in valor assoluto ), quindi sist il it in snso assoluto val, - Dall smpio 6, ossrvo ch, data la unzion ( ), con - in sistono i iti da dstra da sinistra, ma ssndo divrsi, non sist il it in snso assoluto, - Dall smpio 6, ossrvo ch, data la unzion ( ) ln( ), avnt D R - : [ - ] ln( ) - ln( ) - con - { } in - sist solamnt il it sinistro, mntr in sist solamnt il it dstro, tuttavia, considrando il D, si può armar ch la unzion in ntrambi i punti ammtt it in snso assoluto,,

16 6 ESEPI DI RIEPILOGO 6 6 Data la unzion () /, vriica i sgunti iti: a) b) c) - ± a) ln ln Il it indicato (it inito in un punto da sinistra) è stato vriicato prché, risolvndo la disquazion dlla dinizion, ho trovato com soluzion un intorno di sinistra di, privato di : in qusto caso δ ln ln

17 7 b) > > > ln ln > Il it indicato (it ininito in un punto da dstra) è stato vriicato prché, risolvndo la disquazion dlla dinizion, ho trovato com soluzion un intorno di dstra di, privato di : ln in qusto caso δ ln c) ± > ln > ln ( ) ( ) ln ln ( ) ( ) > Il it indicato è stato vriicato prché, risolvndo la disquazion dlla dinizion, la soluzion è un sottoinsim ilitato di D : - ( ) ( ) ln - ln La unzion ammtt asintoto orizzontal di quazion y

18 8 6 Data la unzion () ln( -), vriica i sgunti iti: a) - ln ( ) - b) ln( ) - c) ln( ) ± a) ( ) - ln( ) ln - > Il it indicato (it ininito in un punto da sinistra) è stato vriicato prché, risolvndo la disquazion dlla dinizion, ho trovato com soluzion un intorno di sinistra di -, privato di -: ] [ in qusto caso - δ - La unzion ammtt asintoto vrtical di quazion -

19 ( ) - ln( ) vdi caso a) b) ln > Il it indicato (it ininito in un punto da dstra) è stato vriicato prché, risolvndo la disquazion dlla dinizion, ho trovato com soluzion un intorno - di dstra di, privato di : ] [ anch in qusto caso - δ - ( ossrva ch la unzion è pari ) La unzion ammtt asintoto vrtical di quazion 9 c) ± ln ( ) ln( ) > > > > In qusto casoδ pr - δ pr 63 Data la unzion ( ) k, con k R (unzion costant), vriica ch La vriica è immdiata: ( ) ( ) k ± D R ( ) ( ) ( ) k k k, R R In gnral si può quindi dir ch il it di una costant è la costant stssa Ossrvo ch D R la unzion è dinita, ammtt it tal it coincid con il valor dlla unzion: ( ) k ( ) ± k ( unzion continua in )

20 64 Vriica ch : ( ) ± ± a) ± sgn b) ± a) () sgn(), D R sgn sgn ( ) sgn( ), R R ( ) sgn( ), R R Ossrvo ch nl punto la unzion è dinita, ma non ammtt it: sgn ( ) sgn( ) sgn( ), D R i iti si vriicano com in a) il graico è idntico al prcdnt, trann pr, dov la unzion non è dinita b) ( ) Ossrvo ch nl punto la unzion non è dinita non ammtt it:

21 65 Vriica ch D 4 δ' R 4 4 ( ) ( ) ( ) '' 4 δ 4 ( ) 4, quindi δ δ' δ'' > Si può concludr, in modo più rainato, ch δ 4, ch l intorno di 4, privato di 4, è \ { 4 } Ossrvo ch nl punto 4 la unzion è dinita, ammtt it tal it coincid con il valor dlla unzion: ( 4) 4 in 4 ) 4 ( unzion continua 66 Data la unzion ( ), vriica ch ( ) 3 pr pr D R la vriica dl it è nll smpio a Ossrvo ch nl punto la unzion è dinita, ammtt it tal it non coincid con il valor dlla unzion: ( ) 3 ( )

22 sin 67 Data la unzion ( ), vriica ch ( ) D quindi dlla R la ch > ( ) disquazion vriicano la disquazion di sin partnza è crtamnt sin, cioè sin soddisatta da > dai, valori Il it indicato è stato vriicato prché, risolvndo la disquazion dlla dinizion, la soluzion è un sottoinsim ilitato di D : - - La unzion ammtt asintoto orizzontal di quazion y 68 Data la unzion part intra ( ) [ ], vriica ch [ ] [ ], s Z all' intro immdiatamnt prcdnt, s Z ±

23 3 [ ] [ ] ] [ [ ] [ ] ] [ R, R, R D 3 Ossrvo ch nl punto ( così in tutti i punti Z ) la unzion è dinita, ma non ammtt it: ( ) [] [] [] 69 Data la unzion ( ) ln, vriica ch - ln ( ) - R D - - > > ln ln

24 4, vriica ch tg π π D R : kπ, con k Z tg tg > quindi tg > tg 6 Data la unzion ( ) tg π ( > ) π sclgo un angoloα, con α, pr cui tgα tg > tgα tg tgα ( -α) sin( α) sin cos > cos sicuramnt tgα > pongo tg - tgα > tg tgα sin cosα-sinαcos sin cosα sinαcos da cui >, cos cosα cos cosα applicando a num l ormul di addizion ossrvando ch cosα >, si ha sin sin ( - α) ( α) > pr -α π > pr α π π π cos > pr - α π α - α π α

25 Il it indicato (it ininito in un punto) è stato vriicato prché, risolvndo la disquazion dlla dinizion, ho trovato com soluzion un intorno di π/, π privato di π/ : ] α π α [ qusto intorno è tanto più piccolo quanto più α tnd a π/, cioè quanto più è grand La unzion ammtt asintoto vrtical di quazion π/ 5 6 Non sistono i sgunti iti: sin cos tg cotg, inatti, poiché sono unzioni priodich, non si può dtrminar alcuno di sottoinsimi di D ch soddisano all disquazioni dll dinizioni di it inito all ininito ininito all ininito 6 Data la unzion ( ) a) sin, con D R, considra i sgunti iti: sin non sist b) sin a) Il it non sist, prché in un qualsiasi intorno dl punto, la unzion compi ininit oscillazioni, tutt di ampizza ugual a, ch vanno rstringndosi al tndr di a zro: non è applicabil alcuna dinizion di it in un punto b) Basta ossrvar ch s, allora /, quindi posto α /, si ha: sin sinα, it di vriica immdiata α La unzion ammtt asintoto orizzontal di quazion y

26 6 63 Data la unzion ( ) D R vriicata R ( sin ] - [ - { } ) sin, vriica ch ( sin ) sin, disquazion sicuramnt prso ( intorno di in modo ch, privato di, cioè ) Ossrva ch sin R, ch quindi sin sin sin

27 7 64 Data la unzion ( ) cos, vriica ch cos cos, R N B Si possono vriicar i iti analoghi, anch pr l altr unzioni goniomtrich, D, cioè in gnral: sin sin D cos cos ( ( ) l ( ) ( ) è continua in ) tg tg cotg cotg cos cos - sin ossrvo ch, sin in gnral, cos - cos sin sin, ( prostarsi ) sin R (vdi nota), quindi: sin sin 4, pr cui la disquazion di partnza è crtamnt soddisatta dai valori dlla ch vriicano la disquazion 4, cioè

28 N B pr - pr Inatti: qualunqu sia, qusto è un intorno complto di

29 Nota bn 9 Dagli smpi si ossrva ch, data una unzion () avnt dominio D considrato un punto, punto d accumulazion di D, il comportamnto dlla () al tndr di a può prsntar i sgunti casi: nl punto la () è dinita, sist il it tal it coincid con ( ) ( unzion continua in ) vdi s: la () è dinita, sist il it tal it non coincid con ( ) vdi s: 66 3 la () è dinita non sist il it vdi s: 64(a) 68 4 la () non è dinita d sist il it vdi s: a a 6(a,b) la () non è dinita non sist it vdi s: 6(a,b) 5 64(b) 6(a)

30 7 Limit pr ccsso pr ditto 3 Dinizion di it pr ccsso (ditto): diciamo ch () tnd a l pr ccsso (ditto), si scriv ( ) l ( ) l, s R δ R tal ch l ( ) l ( l - ( ) l ), ad un opportuno sottinsim dl D Esmpi: Vdi smpio 3b : ± m Vdi smpio 3a : ( ) Vdi smpio 6 : a) c) - ± ±

31 8 Limiti ondamntali 3 n 4 ( ) ± ± n 5 ± ( ) 3 4 ± n n ( ) 5 6 ± ± n n ± ( ) 3 ± 7 a s a > ± ( )

32 3 8 a s a ± ( ) 9 log > a s a ( ) ln log a s a ( ) log 5, ± π tg ( ) tg ctg ( ) ctg ±

33 3 ± π arctg π ( ) arctg 33 arcctg π 4 ( ) arcctg ±