Algebra lineare Geometria aprile 2006

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1 Algbra linar Gomtria april ) Nllo spaio vttorial R [] si considrino i sottoinsimi U {p() R [] p() } V {p() R [] p() p(-)} la union : R [] R [] tal ch p() R [] (p()) p(-) i) Si vriichi ch U V sono sottospai vttoriali di R [] pr ciascuno di ssi si dtrmini una bas la dimnsion Esplicitiamo mglio il sottoinsim U U {p() a b c d p() ; a, b, c, d R} {a b c d a } U {b c d b, c, d R} Sia B {,,, } bas pr R [] Si ha ch U {b c d b, c, d R} <,, >, pr cui U R [] Risulta B U {,, } dimu (sono i vttori dlla bas) OSSERVAZIONE Ricordiamo ch dimr [] 4, in gnral, dimk n [] n Esplicitiamo mglio il sottoinsim V V {p() a b c d p() p( ); a, b, c, d R} {a b c d a b c d a b c d } {a b c d b b b d } princ id polin d d V {a c a, c R} <, > V R [] Risulta B V {, } dimv ii) Si costruiscano i sottospai U V U V Costruiamo il sottospaio somma ch, pr diniion, è U V : <U V> <,,,, > Sono cinqu vttori, ma la dimnsion di R [] è 4 Si nota ch il scondo il quinto sono lgati (in particolar sono uguali) Eliminando il quinto risulta U V <,,, > R [] Dalla diniion di intrsion driva ch U V {p() R [] p() U p() V} {p() p() p() p ( )} a a b c d { c ; c R } b d La ormula di Grassman (dim(u V) dim(u V) dimu dimv) suraga il risultato ottnuto: dim(u V) 4

2 iii) Dopo avr vriicato ch è un ndomorismo, s n dtrmini il nuclo Kr l immagin Im s n scriva la matric risptto alla bas canonica di R [] Dominio codominio di coincidono, prciò, prché sia ndomorismo, basta solo vriicar ch è omomorismo (pagina AL) Dobbiamo provar ch, p(), q() R [], α, β R, si vriica ch (αp()βq())? α(p()) β(q()) Siano p() a b c d, q() h k l m (αp()βq()) (α(a b c d ) β( h k l m )) (αa αb αc αd βh βk βl βm ) αa αb αc αd βh βk βl βm D altra part α(p()) β(q()) α(a b c d ) β(h k l m ) α(a b c d ) β(h k l m ) αa αb αc αd βh βk βl βm Prciò è ndomorismo In luogo di calcolar subito, scondo l diniioni, i sottospai kr Im, scriviamo prima la matric dll ndomorismo Ricavrmo poi da ssa inormaioni su nuclo immagin Abbiamo già visto ch la bas canonica pr R [] è B {,,, } Pr scrivr la matric dll ndomorismo risptto alla bas canonica, calcoliamo l immagini di singoli vttori dlla bas l rapprsntiamo in componnti risptto alla bas stssa, com vttori di R 4 : () (,,,); () (,,,); ( ) (,,,); ( ) (,,, ) La matric risulta prtanto A, con dt A Il rango di A è prciò 4, pr il torma dlla nullità rango di pagina AL7, rapprsnta la dimnsion di Im, mntr il corango risulta rapprsnta la dimnsion di kr Dirtta consguna di ciò, è ch kr ; Im R [] { }

3 iv) Si costruiscano i sottospai (U) (V) si stabilisca s sono uno complmnto dirtto pr l altro Ci risulta comodo avr già scritto, al punto prcdnt la matric di (U) {(p()) p() U} {(a b c ) a, b, c R} {a() b( ) c( )} <(), ( ), ( )> <,, > dim (U) proprndom (V) {(p()) p() V} {(a b ) a, b R} <(), ( )> <, > V dim (V) {a() b( )} proprndom Ricordiamo ch (U) (V) sono l uno complmnto dirtto dll altro quando la loro somma gnra l intro spaio la loro intrsion si riduc al solo vttor nullo: (U) (V) R [] (U) (V) R [] (U) (V) { } Possiamo ossrvar ch la sconda condiion cad in quanto dim ( U ) dim ( V ) 5 4 dim R [], il ch implica, pr la ormula di Grassman, ch dim((u) (V)) Possiamo in altrnativa ossrvar ch anch la sconda condiion cad in quanto si nota ch c è un vttor di bas,, comun ad ntrambi i sottospai Prciò (U) (V) non sono in somma dirtta

4 ) Si considri l ndomorismo : R R tal ch, s B (,, ) è la bas canonica, si abbia: ( ), ( ) -, (- ) i) Si scriva com agisc l ndomorismo sul gnrico vttor v (,, ) di R si costruisca la matric di risptto alla bas canonica Vdiamo innanitutto com agisc l ndomorismo sui vttori dlla bas canonica: ; Siamo prtanto in grado di scrivr la matric di risptto alla bas canonica: M Vdiamo ora com agisc l ndomorismo sul gnrico vttor di R (considriamolo vttor colonna) Risulta M Prtanto la union : R R,,,, ii) Si costruiscano i sottospai Im Kr ; pr ciascuno di ssi si dtrminino una bas la dimnsion Pr il torma nullità rango ragioniamo sul rango dlla matric M dt M 4 rg M Il rango di M rapprsnta la dimnsion dll immagin di : rg M dim(im) Il corango (corg M : dim(r ) rg M) rapprsnta la dimnsion dl nuclo di : corg M dim(kr) Prciò dim(im) Im R bas pr Im è la bas canonica di R E dim(kr) kr, ch non ammtt bas

5 OSSERVAZIONE S il rango dlla matric non oss stato (i Im kr non si ossro ridotti rispttivamnt all intro spaio al vttor nullo) avrmmo dovuto, scondo la diniion, costruirli Pr Im avrmmo considrato l immagin di singoli vttori dlla bas canonica avrmmo tolto qullo/i lgato/i Pr il nuclo, a- vrmmo risolto un sistma linar omogno ch, oltr al vttor nullo, avrbb ammsso autosoluioni iii) Si stabilisca s l ndomorismo è diagonaliabil; in caso di risposta positiva, si diagonalii Prima cosa da ar è studiar il polinomio carattristico p char () : dt (M I) 4 Esso ammtt soluioni distint, ognuna con moltplicità algbrica : ; ; Ess, pr il torma di pagina E, sono gli autovalori di Ammttndo tr autovalori distinti, pr la consguna dl II critrio di diagonaliabilità (pagina E7), è diagonaliabil Dtrminiamo il primo autospaio V( ) V : {v R (v) v v}, ch è lo spaio dll soluioni dl sistma (M I)v : Pr cui l autospaio risulta V Dtrminiamo il scondo autospaio V( ) V

6 Pr cui l autospaio risulta V Dtrminiamo il tro autospaio V( ) V Pr cui l autospaio risulta V OSSERVAZIONE Avndo dovuto procdr con la diagonaliaion, possiamo vriicar lo stsso, pur non ssndo ncssario in qusto caso, ch la moltplicità algbrica dgli autovalori è ugual alla moltplicità gomtrica Qust ultima inatti è, pr la diniion di pagina E, la dimnsion dl rlativo autospaio, ch abbiamo vriicato ssr in tutti tr i casi ugual a L ndomorismo è diagonaliato, inatti la matric D è ugual alla matric A MA, con D A V V V tali ch Soluioni a cura di Michl Boloni