I Bonus di Fisica Nucleare e Subnucleare 1 - AA 2018/2019

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1 I Bonus di Fisica uclar Subnuclar 1 - AA 018/ April 019 OME E COGOME: CAALE: 1 Un acclrator di lttroni positroni di 10 GV di nrgia ciascuno, i cui impulsi sono dirtti lungo l ass z nl sistma di rifrimnto dl laboratorio formano un angolo di 180 fra loro, produc bosoni di Higgs bosoni Z tramit il procsso + + H + Z Il boson di Higgs è una particlla di spin zro massa m H 15 GV, mntr lo Z ha una massa di 90 GV h c 1) Uno sprimntator crca vnti in cui lo Z dcad tramit il procsso Z + +, mntr il boson di Higgs dcad, attravrso il procsso a cascata H X + X, X µ + + µ, X + +, in du ipottich particll di spin zro, X, di massa m X vita mdia propria τ X, ntramb incognit, la cui sistnza è prdtta da alcun tori di nuova fisica L particll X dcadono a loro volta in lttroni muoni In uno di qusti vnti, lo sprimntator ricostruisc l tracc di du coppi lttron-positron di una coppia muon-antimuon I loro quadrimpulsi, misurati nl sistma di rifrimnto dl laboratorio, valgono p 1) µ E, p x, p y, p z ) 150, 79, 54, 115), p ) µ p 1) p ) p 3) p 4) 43, 331, 50, 59), 697, 33, 611, 54), 308, 1, 168, 13), 474, 184, 366, 40), 348, 334, 83, 50), dov nrgi impulsi sono sprssi in GV sono misurati con una prcision di 100 MV a Dopo avr idntificato l particll provninti dal dcadimnto dll du X, stimar la massa m X b L tracc dll lttron dl positron ch vngono dal dcadimnto di X iniziano in un punto comun, distant 10 mm dal punto in cui è stato prodotto H Calcolar la vita mdia propria τ X

2 c A ch angolo sono mss l particll X nl sistma di rifrimnto in cui l H è frmo, risptto alla dirzion z? d Qual è la sparazion angolar nl sistma dl laboratorio fra l lttron il positron provninti dal dcadimnto dlla X, in qusto spcifico vnto? Si considri ora il gnrico procsso + + H + Z X + X + Z µ + + µ + + +, assumndo ch la massa di X sia qulla trovata al punto 1 Dopo avr calcolato l nrgia massima ch può avr X nl sistma dl laboratorio, si dtrmini l angolo di aprtura minimo ncssario pr risolvr l tracc dll lttron dl positron provninti dal dcadimnto dlla X Soluzion: a Idntifichiamo innanzitutto qual coppia di impulsi corrispond alla coppia + dal dcadimnto dllo Z Pr farlo, calcoliamo la massa invariant dll vari coppi di particll: m µ1µ m 1 m 1 3 m 1 4 m 3 m 4 m GV, 708 GV, 1005 GV, 90 GV, 155 GV, 567 GV, 606 GV, concludiamo ch gli lttroni 1 d 4 sono qulli provninti dal dcadimnto dllo Z, ch m X 15 GV b A causa dlla dilatazion di tmpi, si ha ch 10 mm β X γ X cτ X p X cτ X p 1 + p 4 77 GV cτ X m X 15 GV cτ X 5cτ X, τ X m X 1 cm 5 30 cm/ns ns 7 ps c l sistma dl cntro di massa di H, l du particll X sono mss ad un angolo π fra loro l laboratorio, l X ch dcad in µ + µ ha quadrimpulso mntr H ha quadrimpulso p H p ) p X p ) + p 3) + p 3) 784, 409, 533, 373), + p 1) + µ p) 1356, 01, 57, 01), µ ovvro si muov lungo la dirzion y con 53 GV di impulso Spostiamoci nl sistma dl cntro di massa di X d sprimiamo l impulso in coordinat sfrich: ) E,X) γ H E X) β H p X), p,x) x p X) x p,x) sin θ cos φ, y p,x) y γ H p X) y β H E X)) p,x) sin θ sin φ, p,x) z p X) z p,x) cos θ, Pag

3 pr cui θ asin p X) x + E H) p X) m H y ph) E H) E X) ) ) p X) x + E H) p X) m H y ph) E E X) + H) p z X) 091 rad d Considriamo il sistma 3 : la massa invariant dlla coppia val, usando l idntità cos ξ 1 sin ξ il fatto ch m p, m X E ) + E 3) p ) + p 3) E ) E 3) cos α, 3 ) α, 3 asin m X E ) E 3) La razion + + HZ avvin a s E 40 GV, E ) E 3) sin α, m X E X il sistma dl laboratorio coincid con qullo dl cntro di massa l impulso total nllo stato inizial è nullo) Troviamo innanzitutto l nrgia con cui vin msso H: usando il fatto ch i moduli dgli impulsi di H Z, p, sono uguali, abbiamo ch s E H + E Z p H + p Z E H + E Z) + 0 E H + E Z + E H E Z m Z + p ) + m H + p ) + E H s E H ) m Z + m H + p + E H s m H + p ) m Z m H + E H s, E H s + m H m Z 135 GV s Spostiamoci ora nl sistma di rifrimnto in cui H è frmo Poiché l particll X hanno la stssa massa, nl sistma di cntro di massa i loro impulsi hanno lo stsso modulo, l loro nrgi saranno uguali pari a EX 1 EX m H 65 GV Assumiamo ch θ sia l angolo, risptto alla dirzion di volo di H, a cui una dll du X diciamo X 1 è mssa nl cntro di massa l rifrimnto dl laboratorio, la sua nrgia val E X1 γ H E X1 + β H p X 1 cos θ ) E H m H m H + p ) H m H E H 4 m X cos θ E H + p H cos θ 1 mx m H La risoluzion angolar dl rivlator dv ssr dll ordin di grandzza dll angolo di aprtura minimo fra lttron positron, ch poiché m p X val α +, ) min m X E X1, Pag 3

4 Il valor massimo di E X1 val pr cui E H + p H 1 mx EX max m H 1 9 GV, αµ +, µ ) min 03 L ossrvazioni cosmologich dll ultimo scolo mostrano com l univrso si comporrbb in gran part di particll di matria oscura, χ, ch non intragiscono lttromagnticamnt con la matria ordinaria, ch si muovono risptto ad un ossrvator sulla Trra con vlocità v 00 km/s c Una sprimntatric vuol costruir un sprimnto ch ossrvi la razion χ + χ +, dov la particlla χ, di massa ignota, diffond sul nuclo dgli atomi di cui è composto il rivlator La stratgia sprimntal è qulla di misurar l nrgia di rinculo dl nuclo tramit procssi di scintillazion ionizzazion da qusto indotti su altri atomi dl rivlator a La sprimntatric vuol rivlar particll di massa m χ 100 GV Assumndo ch il nuclo nllo stato inizial sia frmo, si ricavi l sprssion dll nrgia massima di rinculo dl nuclo nl rifrimnto dl laboratorio, svolgndo il calcolo in approssimazion non-rlativistica d sprimndo il risultato in funzion dlla massa ridotta dl sistma χ, µ m χm m χ + m b Qual è la massa dl nuclo ch dovrbb scglir la sprimntatric, pr costruir il suo rivlator, in modo da ottnr l nrgia massima di rinculo dl nuclo più alta possibil? Quanto val qust nrgia? c S la dnsità numro di χ nll univrso è di 3 particll pr dm 3, la szion d urto dl procsso χ + χ + val µ σ A, B dov A cm, B 5 GV m è la massa dl nuclo, quant intrazioni ci si asptta ch avvngano in un anno pr un rivlator di 1000 kg di massa, dl matrial idntificato al punto prcdnt? Soluzion: a Poiché v c, nl limit classico la consrvazion di nrgia impulso si scriv, indicando con p p gli impulsi dll vari particll prima dopo lo scattring, p χ + p p χ + 0 p χ + p, p χ p χ + p m χ m χ m La sprimntatric misura solamnt il rinculo dl nuclo, quindi usiamo la consrvazion dll impulso pr rimpiazzar p χ ch è ignoto) nlla consrvazion dll nrgia: p χ m χ p χ p ) m χ + p m p χ + p p χp cos θ m χ m χ m χ + p, m Pag 4

5 dov θ è l angolo fra la dirzion di volo dlla particlla di matria oscura χ nllo stato inizial qulla dl nuclo nllo stato final sgu ch p ) p m m χ µ p χp cos θ, m χ dov si è dfinita la massa ridotta dl sistma χ nuclon, µ m χ m /m χ + m ) Si ha quindi ch p µp χ cos θ m χ µv cos θ, prciò l nrgia cintica dl nuclo val E p µ v cos θ m m Il suo valor massimo dopo l urto è E max µ v m b Trovar il nuclo miglior quival, da un punto di vista cinmatico, a massimizzar E max scglindo opportunamnt m : de n max d v m dm m m χ m +m χ dm d m m χ m +m χ dm 0, ch si vrifica quando il numrator dlla drivata si annulla, cioè quando m χm + m χ m m χm χ + m ) 0, ovvro pr m m χ 100 GV L nrgia massima a qul punto varrà 100 GV 100 GV E max 100 GV+100 GV 00 km/s km/s kv 100 GV c Il numro di intrazioni pr anno in un rivlator R di massa M R è dato da dov t 1 anno d dt t, A d dt σ d χ dt n Rd σ d χ dt ρ A R d σφ χ M R, A R A R dov A è il numro di Avogadro, A R, ρ R M R sono massa molar, dnsità massa total dl rivlator, d lo spssor attravrsato dal fascio di particll di matria oscura, il cui flusso è dato dal prodotto dlla dnsità numro di matria oscura pr la sua vlocità: φ χ n χ v 3 dm 3 00 km/s cm s 1, la szion d urto pr A R 100 val σ cm Prciò, un rivlator da una tonnllata di massa ossrvrbb in un anno vnti σn χ v A A R M R t 11 Pag 5