Capitolo 13 Interazione radiazione-materia: i fotoni

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1 Capitolo 13 Intrazion radiazion-matria: i fotoni 13.1 Intrazion di fotoni con la matria I fotoni intragiscono con la matria attravrso tr fftti : fotolttrico (ph) compton (C) produzion di coppi (pp). Pr ognuno di qusti fftti si dfinisc una szion d urto microscopica σ ph, σ C, σ pp. 13. L Efftto fotolttrico E il procsso di intrazion di un quanto gamma con gli lttroni lgati. In qusto procsso il foton si annichila la sua intra nrgia vin trasfrita all lttron. L lttron vin allora spulso dall atomo con una nrgia cintica: T E - B n, dov E è l nrgia dl foton B n rapprsnta l nrgia di lgam dll lttron nlla shll atomica n-sima. Ovviamnt, pr E < B K, l fftto fotolttrico è possibil solo su lttroni dll shll L, M,.. non dlla shll K. Si ha così una sri di salti nlla curva ch rapprsnta la probabilità di intrazion, corrispondnti all nrgia di lgam dll diffrnti orbit (figura 13.1). Fig 13.1 szion d urto fotolttrica in vari matriali 173

2 Qust nrgi sono dat approssimativamnt dalla lgg di Mosly: ( Z σn ) En Rhc, dov Rhc 13.6 V, Z è il numro atomico, n è il numro quantico n principal σ n la costant di schrmo (val 3 pr lo strato K, 5 pr lo strato L). La vacanza cratasi nll shll di partnza vin rimpita da lttroni dll shll più strn quindi l fftto fotolttrico è smpr accompagnato dalla mission di raggi X tipici dll atomo brsaglio. La szion d urto fotolttrica dipnd fortmnt da Z dall nrgia dl foton E : il procsso è tanto più probabil quanto maggior è n m Z quanto minor è E. Si può scrivr: σ Z E, dov n m Diffusion Thomson Compton Nll fftto fotolttrico è ssnzial ch l lttron sia lgato. Tuttavia, anch un lttron libro nl campo lttromagntico variabil associato al foton è posto in oscillazion irradia com un oscillator. La radiazion appar sotto forma di raggi gamma diffusi. Si dv a J.J.Thomson una toria classica di qusto fftto: considriamo un onda piana sinusoidal ch si propaga in dirzion z, con il vttor < E > lttrico polarizzato lungo x di intnsità I 0 c. Un lttron nl campo di 4π un onda sinusoidal subisc una forza data da: E E 0 sin(ωt), ω ssndo la frqunza E dll onda, acquistrà una acclrazion a 0 sin( ωt). Si sa dalla toria m lttromagntica ch una carica lttrica soggtta ad una acclrazion irraggia una potnza mdia data da: < W > < a > 3 3 c Nl nostro caso quindi, sostitundo sapndo ch <sin (ωt) > ½, la potnza mdia irraggiata risulta: 4 4 E0 8π W I m c 3 m c 3 mc < > < E > qusta potnza è sottratta al fascio primario possiamo quindi dir: < W > 8π 8π σ T r 0 I0 3 mc cm 3 dov σ T rapprsnta la szion d urto Thomson. r 0 mc cm è chiamato raggio classico dll lttron. In qusta approssimazion la szion d urto non dipnd dalla nrgia dl foton incidnt. La szion d urto diffrnzial (distribuzion dσt ( ϑ) r0 angolar) di fotoni diffusi risulta ssr: ( 1 + cos ϑ) dω 174

3 Fig 13. szion d urto Compton ( Thomson) Una trattazion più complta fornisc una szion d urto ch dipnd dall nrgia tnd alla szion d urto Thomson E 0 (vdi figura 13.). La distribuzion angolar, com calcolato da Klin-Nishina, è data dalla sgunt sprssion: dσ T dω ( ϑ) r0 ( 1 + cos ϑ) E dov: α m c 1 + α 1 ( 1 cos ϑ) 1 + α ( 1 cos ϑ) ϑ ( 1 + α 1 cos ϑ ) ( 1 + cos ) ( ) Fig 13.3 distribuzion angolar nll fftto Compton 175

4 In figura 13.3 è rapprsntata la distribuzion angolar dl foton diffuso in un diagramma polar: i numri accanto all curv rapprsntano l nrgia dl foton incidnt, si vd ch il foton è diffuso ad angoli tanto più in avanti quanto maggior è l nrgia dl foton incidnt. La dipndnza dlla szion d urto Compton da Z da E è dl tipo: σ C Z E -1. Quanto all nrgia dl foton diffuso, qusta dipnd dall angolo di diffusion si calcola considrando l urto tra foton d lttron compltamnt lastico. Utilizzando il formalismo di 4-vttori diffusion lastica di fotoni da part di lttroni libri (si trascura cioè l nrgia di lgam lttron-atomo), si ha: p + p p + p (p p ) (p - p ) (p p ) E /c - p + E /c p - E E /c + p p cosθ -E E /c (1-cosθ) in quanto pr i fotoni p E/c. (p - p ) E /c p + E /c p - mc E m c 4 - mc E (ssndo l lttron in quit: p 0 E mc ) Ed inoltr, dalla consrvazion dll nrgia: E + mc E + E, ossia: E E - E + mc Sostitundo: -E E /c (1-cosθ) m c 4 mc E mc (E - E ) Da cui: E' 1 + ( 1 cos ϑ) mc ch rapprsnta l nrgia dl foton diffuso in funzion dll angolo di scattring ϑ. E α m c Fig 13.4 szion d urto Compton in funzion di nrgia d angolo di diffusion 176

5 max pr ϑ 0: E E E min 0 m c E 'min max pr ϑ π: mc mc E E E La probabilità di mission ad un crto angolo ϑ risptto alla dirzion dl foton incidnt è illustrata in figura 13.4, dov: α m c E 13.4 Produzion di coppi Pr fotoni di rlativamnt alta nrgia sist un altra forma di intrazion con la matria: il procsso di crazion di coppi. In qusto procsso il foton si annichila matrializza una coppia lttron-positron: naturalmnt qusto è un procsso a soglia, in quanto l nrgia dl foton dv ssr almno pari alla somma dll mass dll particll crat: E > m 1.0 MV. Il procssi di produzion di coppi non può avvnir nl vuoto, ma richid la prsnza di un nuclo o di un lttron. Infatti, pr la consrvazion dl 4-momnto, un foton non può cdr contmporanamnt nrgia d impulso ad una coppia di particll in quanto dovrbb ssr: p p 1 + p (p ) (p 1 + p ) 0 m 1 c 4 + m c 4 + E 1 E /c p 1 p m 1 c 4 + m c 4 + E 1 E /c 4 + p 1 p > 0 Infatti il 4-impulso di particll dotat di massa è smpr una quantità positiva. Fig 13.3 szion d urto di produzion di coppi in vari matriali 177

6 L sprssion dlla szion d urto di produzion di coppi è abbastanza complicata: qui dirmo soltanto ch ssa ha un andamnto dl tipo: σ pp Z ln(e +cost). La figura 13.3 n illutra l andamnto in funzion dll nrgia di fotoni dl numro atomico dl matrial Cofficint di attnuazion linar massico Oltr alla szion d urto microscopica σ ph, σ C, σ pp, pr scopi pratici si dfinisc una szion d urto macroscopica (cofficint di attnuazion) ph, C, pp. σ sono lgati, pr ognuno di tr procssi, dalla rlazion: Nσ, dov N rapprsnta il numro di brsagli (atomi) pr unità di volum. La szion d urto σ rapprsnta un ara si misura in cm oppur in barn (1 barn 10-4 cm ). Il cofficint di attnuazion rapprsnta la probabilità di intrazion pr unità di prcorso, ha com dimnsioni l invrso di una lunghzza si misura in cm -1. Naturalmnt la szion d urto total è data dalla somma dll tr szioni d urto: σ σ ph + σ C + σ pp il cofficint di attnuazion total risulta ssr: ph + C + pp. Quando un fascio di fotoni pntra in un mzzo, a causa dll intrazioni con il mzzo stsso l intnsità dl fascio dcrsc sponnzialmnt. Sia infatti di il numro di fotoni ch intragiscono nl tratto di matrial dx ch quindi vngono sottratti al fascio originario. Ovviamnt: di -Idx, da cui intgrando: I x ( x ) I 0, dov I(x) rapprsnta il numro di fotoni ancora prsnti alla profondità x, ssndo I 0 il numro di fotoni inizial. Accanto al cofficint di attnuazion linar, com nl caso dl potr frnant, si prfrisc misurar gli spssori di matrial in g/cm, utilizzando lo spssor massico τ ρ x. Pr ognuno di tr fftti (indicati gnricamnt con il pdic i )possiamo scrivr: N0 i N σ i ρ σi A da cui ricaviamo ph ρ N 0 A σ ph C ρ N 0 A σ C pp ρ N 0 A In particolar si può notar ch il cofficint di attnuazion massico pr l fftto Compton dipnd molto poco dal matrial: infatti, poichè abbiamo visto ch la szion d urto ha l andamnto dl tipo: σ C Z E -1, avrmo: C N0 N0Z N0 σc sparisc la dipndnza dal matrial. ρ A A Nl caso di composti o miscl, analogamnt a quanto già visto nl caso dl potr frnant, avrmo: p i, dov rapprsnta la frazion massa dll lmnto i- ρ i ρ i niai simo. S il composto è una molcola, si ha ovviamnt: pi dov n i rapprsnta il A numro di atomi dlla spci i-sima contnuti nlla molcola, A i il loro pso atomico A il pso molcolar. σ pp 178

7 tab 13.1 numro atomico Z fficac di alcuni composti organici tab 13. composizion di alcuni matriali organici 13.6 Cammino libro mdio Rapprsnta il prcorso ffttuato in mdia da un foton prima di intragir. La probabilità di intragir tra x x+dx è data da: dx -x Infatti -x rapprsnta la probabilità di non avr intragito fino alla profondità x, mntr dx è la probabilità di intragir nl succssivo tratto dx. S chiamiamo λ il libro cammino mdio, si ha quindi (pr dfinizion di valor mdio): x 1 λ x p( x) dx x ( dx)

8 13.7 Strato mivalnt Rapprsnta lo spssor di matrial ch dimzza l intnsità dl fascio incidnt. S 1 chiamiamo S 1/ tal spssor, si ha: N( S ) N0 N0 xp( S ) quindi: 1 / 1 / ln S 1 / λ ln ln10 Si dfinisc allo strsso modo lo strato dcivalnt: S 1 / 10 λ ln10 Nll figur è riportato il grafico dl cofficint di attnuazion massico in ossigno ram (fig. 13.4) in piombo d alluminio (fig. 13.5). Nll stss figur sono anch rapprsntati i cofficinti massici parziali di vari fftti fotolttrico, Compton produzion di coppi. Fig cofficint di attnuazion massico in ossigno ram 180

9 Fig cofficint di attnuazion massico in alluminio piombo 13.8 Cofficinti di assorbimnto. Spsso, spci in problmi di dosimtria di radioprotzion, ha intrss valutar l nrgia ch i fotoni, nll loro intrazioni con il mzzo, dpositano in sso. In tutti tr i procssi il foton cd nrgia ad un lttron, il qual a sua volta la dpositrà nl mzzo attravrso i procssi di ionizzazion /o brmsstrahlung. Nll fftto fotolttrico nlla produzion di coppi il foton si annichila, sia l lttron ch la coppia lttron-positron hanno un rang limitato cdono quindi localmnt l nrgia ricvuta dal foton. Divrso è il caso in cui avvnga un fftto Compton, prch in qusto caso part dll nrgia dl foton primario vin cduta al foton duffuso quindi dpositata non localmnt. I cofficinti di assorbimnto di nrgia, dnominati n, sono dfiniti attravrso i corrispondnti cofficinti di attnuazion 181

10 moltiplicati pr la frazion di nrgia cduta agli lttroni sotto forma di nrgia cintica ( quindi dissipata localmnt). Avrmo quindi: E E B in quanto E n ph ph ph ph >> B E E m n pp pp ph pp in quanto, nl rang di nrgia in cui domina la produzion di coppi, E >> m ' E E. In qusto caso invc n C C ph n C è smpr snsibilmnt minor di C. Naturalmnt, anch nl caso di cofficinti di assorbimnto ssi potranno ssr sia linari ch massici. In tablla 13.3 è riportato il cofficint di attnuazion massico pr fotoni di nrgia tra 100 kv 10 MV in vari lmnti composti. 18

11 In tablla 13.4 è riportato il cofficint di assorbimnto massico pr fotoni di nrgia tra 100 kv 10 MV in vari lmnti composti. Esrcizio 1 Calcolar il cofficint di attnuazion massico pr l ossido di Uranio (UO ) pr fotoni da 10 MV. La dnsità dllo UO è 10 g/cm cm /g cm /g ρ U ρ O p U p O pu + po cm /g ρ ρ ρ 183 UO prtanto: UO U UO ρ UO 0.48 cm -1 ρ 1 λ UO.08 cm O UO

12 Esrcizio Un fascio paralllo di fotoni da MV di intnsità di flusso (flunza) Φ 10 6 cm - s -1 incid su uno schrmo di piombo di spssor 10 cm. Calcolar l intnsità di flusso di fotoni ch hanno intragito. Alla profondità x il numro di fotoni ch non hanno ancora intragito è data dalla solita lgg sponnzial: N(x) N 0 -x. Il numro N di fotoni ch hanno intragito sarà prtanto dato dalla diffrnz: N N 0 - N(x) N 0 (1 - -x ) in qusto caso abbiamo: /ρ cm /g ρ 11.3 g/cm 3 dai dati si ricava 0.51 cm -1 quindi x 5.1 Sostitundo: N N 0 (1 - -x ) 10 6 (1-5.1 ) 10 6 ( ) Esrcizio 3 Calcolar il libro cammino mdio di fotoni di nrgia 0.01 MV, 0.1 MV, 1 MV 10 MV in aria, acqua, muscolo, osso calcstruzzo piombo. 1 1 λ ρ ρ aria E /ρ (cm /g) ρ (g/cm 3 ) λ (cm) 10 kv kv MV MV acqua E /ρ (cm /g) ρ (g/cm 3 ) λ (cm) 10 kv kv MV MV muscolo E /ρ (cm /g) ρ (g/cm 3 ) λ (cm) 10 kv kv MV MV

13 osso E /ρ (cm /g) ρ (g/cm 3 ) λ (cm) 10 kv kv MV MV calcstruzzo E /ρ (cm /g) ρ (g/cm 3 ) λ (cm) 10 kv kv MV MV piombo E /ρ (cm /g) ρ (g/cm 3 ) λ (cm.3) 10 kv kv MV MV Esrcizio 4 Si supponga di avr du fasci di fotoni, ntrambi di intnsità I 10 7 s -1, avnti nrgi di 0.5 MV di 10 MV. Calcolar pr i du fasci i rispttivi spssori di Al, F, Pb calcstruzzo ch riducono l intnsità dl fascio primario di un fattor 100 (cioè I 10 5 s -1 ). Si supponga di avr una sorgnt di 60 Co, ch mtt pr ogni dcadimnto du fotoni di rispttiv nrgi E MV d E 1.33 MV. Pr gli stssi matriali calcolar lo spssor ch riduc l intnsità di fotoni di un fattor A qusto proposito, ssndo l nrgi di du fotoni abbastanza simili, possiamo considrar il loro valor mdio (E 1.5 MV) ai fini dll attnuazion ni matriali. L attnuazion di fotoni, qualsiasi sia la loro nrgia, è data dalla rlazion: N(x) N 0 -x Lo spssor x è allora dato da: 1 N0.31 N0.31 N0 x ln log10 log10 N( x) N( x) ρ N( x) ρ 185 Al E /ρ (cm /g) ρ (g/cm 3 ) N 0 /N(x) x (cm) 0.5 MV MV

14 1.5 MV ( 60 Co) F E /ρ (cm /g) ρ (g/cm 3 ) N 0 /N(x) x (cm) 0.5 MV MV MV ( 60 Co) Pb E /ρ (cm /g) ρ (g/cm 3 ) N 0 /N(x) x (cm) 0.5 MV MV MV ( 60 Co) calcstruzzo E /ρ (cm /g) ρ (g/cm 3 ) N 0 /N(x) x (cm) 0.5 MV MV MV ( 60 Co) Esrcizio 5 La szion d urto dll fftto fotolttrico nl piombo pr fotoni da E 0.6 MV val circa 18 barn. Valutar il valor dlla szion d urto nll Uranio alla stssa nrgia. Sappiamo ch la szion d urto fotolttrica in funzion dl numro atomico dl matrial dll nrgia dl foton ha un andamnto dl tipo: m σ Z n E, dov n m prtanto sarà: Z U 9 σu σ Pb Z Pb 8 ( ) 8 30 barn Esrcizio 6 Un foton di nrgia E MV è diffuso a ϑ 30 pr fftto Compton. Calcolar: 1) l nrgia dl foton diffuso; ) l nrgia di rinculo dll lttron; 3) l angolo a cui rincula l lttron. E' 1.31 MV o 1 + ( 1 cos ϑ) 1 + ( 1 cos30 ) m Pr la consrvazion dll nrgia: T E - E MV Si tratta di un lttron rlativistico: la sua quantità di moto risulta: ( T m ) p T MV 186

15 P p ϑ ϕ Fig 13.4 il diagramma di momnti nll fftto Compton P p p + p ch proittata dà l du rlazioni: p p cos ϑ + p cos ϕ p sin ϑ p sin ϕ ' p dall quali si ricava: 1.31 o ϕ arcsin sin ϑ arcsin sin p Esrcizio 7 Calcolar il cofficint di attnuazion massico nl vtro (SiO, ρ.1 g/cm 3 ) pr fotoni di E 3 MV d il rlativo libro cammino mdio cm /g cm /g ρ Si ρ O 8 8 p Si p O pu + po cm /g ρ ρ ρ SiO prtanto: Si SO ρ SiO cm -1 ; ρ O SiO 1 λ SiO cm SiO Esrcizio 8 Un fascio di fotoni di 1 cm di raggio di nrgia E 0.8 MV intnsità di flusso Φ cm - s -1 incid su una lastra di frro di spssor cm (ρ 7.86 g/cm 3 ). Calcolar il numro di fotoni ch intragiscono nl frro pr scondo la potnza prduta dal fascio. /ρ cm /g ; cm

16 L intnsità inizial dl fascio è: N 0 Φ π r s -1. Il numro di fotoni ch intragiscono è: N int N 0 (1 -x ) ( ) ( ) s -1 Pr calcolar invc l nrgia dpositata si usa il cofficint di assorbimnto n, ch pr fotoni di 0.8 MV nl frro val: n /ρ cm /g ; n cm -1. Prtanto: nx W dp E N int N0 ( 1 ) ( ) MV/s Convrtndo l nrgia in joul si ottin: W dp 0.03 Watt 3 mwatt. Esrcizio 9 Calcolar la minima nrgia di un foton diffuso pr fftto Compton s la sua nrgia inizial val 0.1, 1, MV. Dalla formula : E' 1 + ( 1 cos ϑ) mc L nrgia minima è in corrispondnza di una diffusion a ϑ 180 : min mc E' m c m c dalla formula si vd ch pr E >> m si ha ch E min m c /. In particolar, pr i valori dll srcizio: E (MV) E min (MV)