( ) = 8x 1 + x 2 + 8x 3 con i vincoli x k! 0 ( 1 " k " 3) e

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1 Elmnti di Analisi Matmatica Ricrca Oprativa prova dl 5 gnnaio 06 ) Discutr il sgunt problma di Programmazion Linar: Trovar il massimo di p,, = con i vincoli k 0 ( " k " ) " # + + = % = 5 (può ssr util notar ch, posto A = 0 " # 0 %, risulta A = A A + A B = A + A + A ) Svolgimnto. Siccom la prima rlazion è in forma di disuguaglianza, introduciamo la variabil di scarto 0 riscriviamo il sistma nlla forma = 5 " # + + = cioè j A j = B j= dov gli A j sono l colonn dlla matric di cofficinti B la colonna di trmni noti. Sgundo l indicazion fornita scgliamo com bas di A * =, l insim B = { A, A, A }. Si costruisc allora la prima tablla dl simplsso com sgu: A A A A B v = c v = c = 0 0 v = c v = c = v = c v = c = z c ( z c ) ( z c ) ( z) z c Siccom z c < 0 almno uno dgli, è positivo, bisogna oprar la trasformazion pivotal facndo ntrar nlla bas il vttor A al posto di uno di qulli prsnti. Il critrio di uscita impon di calcolar ", = ", =. Siccom il minor di du è ", =, sc il vttor A v = A. La trasformazion pivotal avvin oprando sull righ dlla matric dlla tablla in modo ch l colonn dlla bas canonica figurino, nll ordin, in corrispondnza di A, A, A. Con smplici calcoli si ottin la nuova tallla dl simplsso rlativa alla bas { } : B = A, A, A A A A A B v = c v = c = v = c v = c = v = c v = c = ( z c ) ( z c ) ( z c ) ( z c ) z

2 Siccom adsso tutti gli z j c j sono 0, l algoritmo è trminato; la funzion obittivo ha massimo nlla rgion ammissibil, il massimo val z = 6 d è assunto pr (,,, ) =,0,,. ) Sia f ( ) = +. a) Dimostrar ch f è adatta pr dfinir una distribuzion T = T f di tipo funzion. b) Dscrivr la distribuzion T, drivata di T in D (). Svolgimnto. a) La funzion è dfinita continua in ; Ciò è vro prché f è limitata, ssndo { } ; bisogna soltanto mostrar ch f è localmnt sommabil. f ( ) = = sgn + quindi f ( ) in tutti i punti dl suo dominio. (Essndo infinitsima dll ordin di pr ±", f è in fftti sommabil in, ma ciò non è qui rilvant) b) f è continua in ; { } ha du singolarità di prima spci in = =, con salto di ampizza D () è rispttivamnt ; quindi la drivata di T f in cioè, pr ogni funzion tst, ( T f )," = f # ( )" ( ) d " ( T f ) = T f " #( +) + #( ") + " = % ( +) " sgn d " + ". ) Un tizio ricv 000 in prstito da una banca, da rstituir in unica soluzion dopo du anni al tasso % annuo. Al momnto di pagar, non avndo il dnaro pr stingur il dbito, il dbitor chid il dnaro di cui ha bisogno un usuraio, ch gli prsta quanto occorr pr ripagar la banca, al tasso % mnsil. Dopo un altro anno, pr sua fortuna, il dbitor risc a saldar il conto con l usuraio, stingundo ogni dbito. a) Quanto ha pagato il nostro pr stingur il dbito con l usuraio? b) Quanto val il tasso mdio annuo pr il dbitor, cioè, qual tasso annuo avrbb prodotto dopo tr anni il montant ch il nostro ha pagato pr stingur il dbito? Svolgimnto. a) L importo dovuto alla banca dopo du anni è 000 (,0) = 08,60 ; qusto importo dv ssr capitalizzato pr altri msi al tasso mnsil %, producndo un montant ugual a 08,60 (,0) = 5,0. Qusto è l importo pagato a saldo.

3 b) Il tasso i crcato dv soddisfar la rlazion 000 ( + i) = 5,0, ossia ( + i) =,5, i =,5 = 0,55 cioè 5,5%. ) Dimostrar ch: a) non sist alcun 0 tal ch = sn. b) (più difficil) non sist alcun 0 tal ch = sn. Svolgimnto. a) Sia f = sn. Allora f ( 0) = f ( ) = " cos è 0 pr ogni 0, prché mntr =, i valori di f ( ) sono positivi pr ogni cos. Prciò f è crscnt in 0,+ [ [. 0,+" [ [, siccom f 0 b) Sia g( ) = sn. Pr ogni > 0, pr il Torma di Lagrang sist t ] 0, [ tal ch g( ) g( 0) = " g ( t)# = ( t cost)# = ottniamo >. Ciò assicura ch g( ) 0 " #[ 0,] ; in particolar g > 0. Inoltr, pr = " cos # " > 0 ; quindi g è strttamnt crscnt in [,+ [, siccom > 0, g assum soltanto valori positivi. qust ultima sprssion è > prché t > cost ; quindi, tnndo prsnt ch g 0 ch pr ogni > 0, g si ossrva ch g g Vdiamo anch una lgant soluzion altrnativa, ch mi è stata suggrita da una studntssa (Dbora D.T.) La rtta tangnt a y = in ( 0,) ha quazion: y = +. La rtta tangnt a y = sn nl punto di ascissa è parallla alla rtta tangnt all sponnzial, ha quazion y = " +. Siccom " + <, qust ultima rtta sta sotto alla prcdnt. Nll intrvallo [ 0, ] la funzion è convssa, mntr sn è concava; prciò sn " # + < + Pr > la disuguaglianza sn < è ovvia, ssndo sn > >. 5) Vrificar in bas alla dfinizion di limit ch lim ln =. Svolgimnto. Bisogna mostrar ch, dtta f ( ) =, si ha ch ln " > 0 #U intorno di tal ch ( Dom. ( f )%U { } f ( ) < "). L applicazion dl Torma di Lagrang prmtt di concludr rapidamnt: è f f ( ) = f ( ) f = f " ln " ( ) = ; supponiamo pr smpio, ln ( c) # pr un c tra d ; [ ] (ch è un intorno di ), Allora f ( ln # ) " ln quindi

4 f ( ) = f ( ) f = f " ( c) # ln ln # ; qust ultima sprssion è < s % " ln #ln ", + ln #ln " ( ; quindi un intorno U di con l carattristich dsidrat è U = ln "#ln, + ln "#ln % ( [, ]. Si potrbb prò dsidrar di svolgr la vrifica snza far uso dl calcolo diffrnzial (nll applicazion di Lagrang). Qusto risc ancora abbastanza facilmnt. Convin ancora limitar la sclta di a un intrvallo stabilito, pnsiamo ancora, [ ]. Allora ln " ln ln + ln = ln + ln " ln ln + ln ln ora facciamo in modo ch sia, sia ln risultino minori di una quantità positiva arbitraria, sia. ln < " s # ln < + % ln > " < " s ] " #, + # [ ; cioè # < + % > + val a dir ( ) ", + dov si nota ch anch qust ultimo intrvallo è un intorno di. Prciò, s [,]" ] #, + [ " % #, + (, allora ln < + ln " ; bastrà allora scglir = ln + ". 6) Srgio, amministrator dlgato di una grand azinda, ha dato l dimissioni ha ricvuto una buonuscita di 50 milioni, ha l opportunità di invstir il dnaro frazionandolo com prfrisc tra du divrsi prodotti finanziari dlla durata di anno, ch produrranno, trascorso l anno: il primo, un intrss crto dl % sul capital invstito, cioè divntranno,0 il scondo, un incrmnto dl 0% con probabilità 0,8; una prdita dl 0% con probabilità 0,. a) Stabilir in qual di du prodotti convin invstir l intro capital, in bas al critrio di prfrnza dl massimo valor attso. = b) Srgio valuta l utilità dl patrimonio con la funzion u 0. Calcolar in qual proporzion gli convin suddividr la sua buonuscita tra i du divrsi invstimnti, al fin di rndr massima la utilità attsa dll intro patrimonio disponibil tra un anno. Svolgimnto. a) Sia E l vnto scnario favorvol corrispondnt all incrmnto di valor dl 0% dl prodotto finanziario rischioso, E l vnto contrario. Sappiamo P( E) = 0,8. La buonuscita di Srgio si sarà ra un anno rivalutata nl modo indicato dalla sgunt tablla, scondo ch Srgio assuma la dcision d (invstimnto sicuro) o d (invstimnto rischioso): d d prob. E ,8 E 5 0 0, mdi 5 5 Scondo il critrio di sclta dl valor attso convin impigar il dnaro nll invstimnto rischioso. b) Qui, oltr a prscrivr la valutazion mdiant funzion utilità, si concd maggior flssibilità alla dcision, la qual può variar con continuità impigando una part dl capital (sia ) nll invstimnto sicuro il rimannt 50 nll invstimnto rischioso ; sia d tal dcision, con Ora calcoliamo gli importi finali poi l rispttiv utilità, corrispondnti alla dcision d, nl caso si vrifichi E nl caso si vrifichi E. * +

5 S si vrifica E allora l importo final a disposizion sarà,0 + ( 50 " ), = 55 " 0,08 la corrispondnt utilità val = u 55 0,08 5 = 0,0085, ,08 S si vrifica E allora l importo final a disposizion sarà,0 + ( 50 " )0,8 = 0 + 0, la corrispondnt utilità val La utilità attsa è prtanto g( ) = 0,8 " 0,008"5,5 Calcoliamo la drivata. = u 0 + 0, = 0, , + 0, ( " "0,0" ) = " 0,8 "5,5 0,008 " 0, " "0,0. g ( ) = "0,8 #0,008 # "5,5 # 0, , #0,0 # " # "0,0 = "0,006 # "5,5 # 0, ,00 # " # "0,0 g ( ) > 0 " # # 0,0 > 6 # 5,5 # 0,008 " 0,0 < 6,5 " 0,0 <,5 + ln 6 " " < % 6( ln ) * + 7,5 quindi 7,5 milioni è l importo da invstir nl prodotto sicuro, la part rimannt a rischio pr rndr massima la utilità attsa dl patrimonio ch si ottrrà. Una variant al tsto dl problma potrbb prvdr l applicazion dll utilità soltanto all incrmnto dl capital invstito, ossia alla variazion risptto al valor inizial di 50 milioni; si trovrbb una divrsa ripartizion dll quot, con un ragionamnto analogo.