FUNZIONI. Dominio: il dominio di una funzione è l insieme delle x in cui una funzione è definita.

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1 FUNZIONI Dominio: il dominio di una funzion è l insim dll in cui una funzion è dfinita. Funzioni Fratt: una funzion si dic fratta quando compar la al dnominator Pr calcolar il dominio di una funzion fratta basta porr il dnominator divrso da zro. Esmpio: 7 f( ) 1 dominio 1 0 6, 6 6, Funzioni irrazionali: una funzion si dic irrazional quando compar la sotto il sgno di radic. irrazionali possono ssr di indic pari o di indic dispari Pr calcolar il dominio di una funzion irrazional di indic pari basta porr il radicando maggior o ugual di zro pari radicando radicando 0. Pr calcolar il dominio di una funzion irrazional di indic dispari non si dv imporr alcuna condizion sul radicando (il radicando di una radic di indic dispari può ssr sia ngativo ch positivo). Esmpi: 4 f ( ) , 7,1 7, f ( ) 9 8 7, f( ) , 1 4, f( ) f( ) Funzioni sponnziali: una funzion si dic sponnzial s la compar all sponnt.

2 Una funzion sponnzial dl tipo f ( ), 5 è smpr dfinita, prtanto il suo dominio sarà. S all sponnt dlla funzion sponnzial troviamo una funzion fratta o irrazional si dv tnr conto dll condizioni dl dominio rlativ. Ad smpio: 5 1 f ( ) ha una funzion fratta com sponnt. Prtanto, la condizion da imporr sarà quindi il dominio sarà, 1 1,. Funzioni logaritmich: una funzion si dic logaritmica s la compar nll argomnto dl logaritmo. Pr calcolar il dominio di una funzion logaritmica bisogna porr l argomnto maggior di zro (il logaritmo di numri ngativi non sist) f poi si prndono i valori strni quindi: ( ) ln , Esmpio:,,. Intrszioni: L intrszioni di una funzion con gli assi sono i punti in cui la funzion tocca gli assi cartsiani. Intrszioni ass : pr calcolar l intrszioni con l ass basta porr la funzion ugual a zro (in quanto tutti i punti ch stanno sull ass hanno la coordinata y ugual a zro), cioè bisogna porr f( ) 0. Esmpi: ( ) ( ) , 4 f f 3 3. prtanto l intrszioni di f() con l ass saranno:,0 4,0 f ( ) 5 0 f ( ) prtanto l intrszion con l ass di f() sarà: 4,0 4 4 ( ) f f ( ) 0 0 mai. Prtanto f() non ha intrszioni con l ass. f f quindi l intrszion di f() con l ass è: ln 5, ( ) ( ) 0 0 ln ln 5 ln ln 5 ln(8) 0 f ( ) ln 8 f ( ) 0 ln Quindi l intrszion con l ass sarà:,0.

3 f ( ) ln f ( ) 0 ln(5 0) 4 0 ln(5 0) 4 ln(5 0) Quindi l intrszion con l ass sarà: ,0 5. Intrszioni ass y: pr calcolar l intrszioni con l ass y bisogna porr =0 (tutti i punti ch si trovano sull ass y hanno la coordinata =0) sostituir al posto dlla zro nlla funzion. Esmpi: f ( ) f (0) f (0) 7 quindi l intrszion con l ass y sarà: , quindi l intrszion con l ass y sarà: f ( ) f (0) ( ) ln 7 10 (0) ln( ) ln(10) 0, 4 f f quindi l intrszion sarà: 0,ln10. f ( ) 10 f (0) impossibil (la radic quadrata di un numro ngativo non sist.. Sgno: pr studiar il sgno di una funzion bisogna porr la funzion maggior di zro individuar gli intrvalli in cui la stssa è positiva (o ngativa): f( ) 0. Esmpi: valori strni f ( ) f ( ) ( ) quindi facndo il prodotto di sgni ottniamo: -4 3 Da cui, riportando tutto sul piano cartsiano, si ottin:

4 1 1 ( ) f 0 smpr (la funzion sponnzial è smpr positiva) 7 7 f ( ) f ( ) 0 0 D 5 5 smpr positiva nl suo dominio) (Una funzion radic quadrata è

5 f ( ) ln(5 15) ln(5 15) ln(5 15) 0

6 ASINTOTI Gli asintoti sono dll rtt (immaginari) a cui la funzion si avvicina quando una dll coordinat tnd ad infinito. Asintoti vrticali Pr calcolar gli asintoti vrticali bisogna calcolar i limiti pr ch tnd ai punti in cui la funzion NON è dfinita d ottnr com risultato infinito (s il risultato dl limit è un numro, l asintoto vrtical NON sist). Nl caso dll asintoto vrtical è la coordinata y a tndr ad infinito. Esmpi: 8 f( ) 6 lim f( ) 0 È una funzion fratta ch ha com dominio,6 6,. Vrifichiamo ora s la funzion ha asintoti vrticali: lim lim prtanto f() ha asintoto vrtical di quazion 6 Nl grafico:

7 Asintoti orizzontali Pr il calcolo dgli asintoti orizzontali bisogna calcolar i limiti pr ch tnd ad infinito (agli infiniti pr cui ha snso dtrminar il comportamnto dlla funzion) d ottnr un numro (s il risultato è infinito NON sistono asintoti orizzontali). Nl caso dll asintoto orizzontal è la coordinata a tndr ad infinito. lim f ( ) n( numro) Esmpi: f( ) 4 16 ha com dominio, 1 1,1 1, Pr dtrminar gli asintoti orizzontali: lim ssndo il risultato un numro finito, sist l asintoto orizzontal di lim quazion. Nl grafico: y Asintoti obliqui L asintoto obliquo potrbb sistr s NON sist l asintoto orizzontal. Nl caso in cui sist l asintoto orizzontal siamo sicuri ch NON sist l asintoto obliquo. L asintoto obliquo ha quazion: y m q. Com dtrminar m q: f( ) m lim numro,0 q lim f ( ) m numro

8 DERIVATA PRIMA La drivata prima srv a dtrminar gli intrvalli di crscnza dcrscnza di una funzion. Una funzion è crscnt s, vicvrsa è dcrscnt s (quindi una funzion f '( ) 0 f '( ) 0 è crscnt dov la sua drivata prima è positiva, mntr è dcrscnt dov la sua drivata è ngativa). Pr calcolar i punti di massimo minimo di una funzion bisogna partir dal calcolo dlla sua drivata. I punti di massimo sono i punti in cui una funzion da crscnt divnta dcrscnt. I punti di minimo sono punti in cui una funzion da dcrscnt divnta crscnt. Esmpio: f( ) f '( ) la cui drivata è: 33 Pr calcolar gli intrvalli di crscnza dcrscnza poi gli vntuali punti di massimo minimo bisogna porr la drivata prima maggior di zro: Quindi , 3 int f '( ) 0 33 f '( ) 0 valori rni smpr positivo nl do minio cioè: 1 3 da cui si dduc ch: 1 1 punto di minimo 3 punto di massimo Pr trovar la coordinata y di punti di massimo minimo basta sostituir la coordinata nlla funzion di partnza (trovar cioè l immagin): Punto di minimo: 1, f(1) f(1) 4 1, , f(3) f(3) 3, Punto di massimo:

9 FUNZIONI ELEMENTARI y 1 y y 3

10 y y 3 1 y lim f( ) 0 lim f( ) 0 lim f( ) 0 lim f( ) 0

11 y 1 lim f( ) lim f( ) 0 lim f( ) lim f( ) 0 lim f( ) 0 lim f( ) lim f( ) 0 lim f( ) 0 y lim f( ) 0 lim f( ) lim f( ) lim f( ) y lim f( ) lim f( ) 0

12 y ln lim f ( ) non sist lim f( ) lim f( ) ln 0