1) La probabilità di ciascun evento elementare è non negativa. 2) La somma delle probabilità di tutti gli eventi elementari vale 1.

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1 CAPITOLO SECONDO CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Spazi di probabilità, vnti smplici d vnti composti Indichiamo con S lo spazio dgli vnti. Esso è un insim, i cui lmnti sono dtti vnti. Nl lancio di un dado, lo spazio dgli vnti S è costituito dai si vnti, 2,, 4, 5, 6 corrispondnti all uscita di ciascuna dll si facc: k = sc il numro k. La sclta di S è arbitraria, dipnd dagli scopi ch ci proponiamo nlla nostra dscrizion. Smpr nl caso dl lancio di un dado, potrmmo ssr intrssati solo all uscita di un numro pari o di un numro dispari, allora assumrmmo lo spazio S costituito solo dai du vnti = sc un numro pari (0 o 2 o 4) 2 = sc un numro dispari ( o o 5). Oppur potrmmo ssr intrssati solo all uscita dll uno o dl si quindi allo spazio S formato dai tr vnti = sc l uno, 2 = sc il si, = non sc né l uno né il si. Quando si samina il lancio di du mont, di solito lo spazio S dgli vnti è costituito da quattro vnti : TT, TC, CT, CC. S siamo intrssati soltanto al numro di tst uscit, nulla vita di considrar lo spazio S 2 formato dai tr vnti = non sc alcuna tsta, 2 = sc una tsta, = scono du tst. In uno spazio S di probabilità, ad ogni vnto lmntar è associata una probabilità: tal attribuzion è sguita srvndosi di una dll tr dfinizioni dlla probabilità (classica, frquntista, soggttiva) introdott nl capitolo prcdnt, ma è dtrminata, in ultima analisi, smpr soggttivamnt. S si ricorr alla dfinizion classica è prché si ritin (soggttivamnt) ch i casi possibili siano ugualmnt possibili, s si impiga qulla frquntista, la valutazion quantitativa è soggttivamnt vincolata al numro di prov, all modalità dlla loro scuzion o alla fiducia sui dati a disposizion. L du condizioni ch dvono ssr soddisfatt sono: - ) La probabilità di ciascun vnto lmntar è non ngativa. 2) La somma dll probabilità di tutti gli vnti val. - Esmpio. Nl caso dl lancio di una monta lo spazio S è costituito dai du vnti = sc tsta 2 = sc croc. S ritniamo ch la monta sia buona, si può assumr la dfinizion classica: vnti 2 probabilità 0,5 0,5 S si hanno motivi di ritnr ch la monta non sia buona, ffttuati mill lanci, si ottngono circa 00 tst, appar natural assumr il sgunt spazio: vnti 2 probabilità 0, 0,7 S si scommtt su croc si ritin di ssr particolarmnt sfortunati, si può assumr il sgunt spazio: vnti 2 probabilità 0,9 0, Solo l sprinza può far dcidr, pr una data monta, qual spazio dscriva mglio gli siti di possibili lanci. Esmpio 2. Domani si gioca la partita di calcio Italia-Svizzra pr la qualificazion ai campionati dl mondo. Considriamo lo spazio S costituito dai tr vnti : = vinc l Italia 2 = l du squadr parggiano = vinc la Svizzra Mimma, non comptnt in fatto di calcio, associa ai tr vnti la stssa probabilità:

2 vnti 2 probabilità Carlo, avndo a disposizion un annuario aggiornato, sa ch ni prcdnti incontri, l Italia ha vinto 2 volt, ha parggiato 8 volt prso solo 2 volt. Applica allora la dfinizion frquntista: vnti 2 probabilità Giovanni si documnta sullo stato di forma di giocatori ch scndranno in campo, sull arbitro, sullo stato dl trrno di gioco così via, rputa ch la probabilità di vittoria dll Italia sia si volt qulla dlla Svizzra (ossia p( ) = 6p( )) ch la probabilità di un parggio sia tripla dlla probabilità di vittoria dlla Svizzra (ossia p( 2 ) = p( )). Dato ch p( ) + p( 2 ) + p( ) =, si ha 6p( ) + p( ) + p( ) =, da cui si ottin p( ) = 0 quindi p( ) = 6 0 = 5 p( 2) = Il suo spazio è: 0 vnti 2 probabilità Esmpio. Si considri il numro di figli maschi nll famigli avnti du figli. Lo spazio S è costituito dai tr vnti : = nssun figlio maschio 2 = un figlio maschio = du figli maschi S si attribuisc ai tr vnti la stssa probabilità, si ha: vnti 2 probabilità Distinguiamo ora il primo dal scondo figlio. Si hanno quattro possibilità: ntramb l figli fmmin (F F), prima figlia fmmina scondo figlio maschio (F M), primo figlio maschio sconda figlia fmmina (M F), ntramb i figli maschi (M M). S assumiamo ch i quattro casi siano ugualmnt possibili, dato ch du di ssi sono favorvoli a 2, p( 2 ) risulta doppia di p( ) p( ) lo spazio S è: vnti 2 probabilità 4 Qusto spazio coincid con qullo rlativo all uscita di du tst lanciando du volt una monta buona. Il primo di du spazi corrispond invc all intrprtazion dl matmatico D Almbrt, smbra molto discutibil. Nl caso dl lancio dlla monta il scondo spazio appar più corrtto dl primo. Cosa si può dir nl caso in sam? In primo luogo, assimilar il ssso di un nascituro al lancio di una monta costituisc snza dubbio una forzatura. Appar più ragionvol procurarsi di dati sull frqunz dll nascit maschili fmminili; in fftti l nascit maschili suprano lggrmnt qull fmminili

3 Attribuir probabilità /2 alla nascita di un maschio val solo in prima approssimazion. In scondo luogo, anch assumndo quiprobabili la nascita di un maschio o di una fmmina, non è affatto dtto ch, com accad nl caso dlla monta, il ssso dl scondo figlio non sia influnzato da qullo dl primo. Anch qui si potrbb riscontrar sprimntalmnt nll coppi una prdisposizion a gnrar figli di uno di du sssi, pr cui, s una coppia ha già avuto un primo figlio maschio, è più probabil ch anch il scondo lo sia ( lo stsso pr l fmmin). Quindi, solo procurandosi di dati si può introdurr uno spazio di probabilità ch rispcchi fdlmnt la situazion ral. Supponiamo ch da un indagin risulti ch, ni 2 di casi, il ssso dl scondo figlio è ugual a qullo dl primo. S, in prima approssimazion, ipotizziamo ch siano quiprobabili la nascita di un maschio o di una fmmina com primo figlio, dat 00 coppi con du figli, 50 avranno il primo figlio maschio di ss = 00 avranno ntramb i figli maschi. Analogamnt 00 famigli avranno ntramb l figli fmmin, quindi l rstanti 00 avranno un figlio maschio una figlia fmmina. Ebbn, in qusto caso il primo spazio sarbb più adguato dl scondo a dscrivr il fnomno in sam. Dfinizion. Si dic vnto composto un qualsiasi sottoinsim dllo spazio dgli vnti S contnnt almno du vnti. Con il trmin vnto snza attributi intndiamo un qualsiasi sottoinsim di S, quindi tanto un vnto lmntar, quanto un vnto composto. In particolar, il sottoinsim vuoto corrispond all vnto impossibil l intro spazio S all vnto crto. Dato ch S è, com ni casi finora considrati, un insim finito, possiamo ricorrr anch alla rapprsntazion con diagrammi di Eulro-Vnn: B S A In ssa sono rapprsntati lo spazio S costituito dagli otto vnti, 2,..., 8 (S = {, 2,, 4, 5, 6, 7, 8 }) gli vnti composti A = { 2, 5 } B = { 5, 4, 6, 7 }. Una volta fissat l probabilità dgli vnti, sono automaticamnt dtrminat l probabilità dgli vnti composti: La probabilità di un vnto composto è ugual alla somma dll probabilità dgli vnti ch lo compongono. Ad smpio, con rifrimnto allo spazio S in figura: p(a) = p( 2 ) + p( 5 ) p(b) = p( 5 ) + p( 4 ) + p( 6 ) + p( 7 ) Esmpio 4. Gli amici dl bar Sport dcidono di organizzar una partita di calcio scapoli contro ammogliati. Vincrà la squadra ch pr prima avrà sgnato tr rti. I possibili siti, con la stima dll rispttiv probabilità, sono riportati nlla tablla sgunt: A strtto rigor, andrbb distinto l vnto lmntar, ch è un lmnto di S, {} ch è il sottoinsim di S ch ha com unico lmnto. Dato ch non vi è pricolo di confusion, idntifichiamo con {}, in modo ch anch gli vnti rintrino tra i sottoinsimi di S.

4 vnti puntggio probabilità 0, 0,2 0,2 0, 0, 0, Dtrminar l probabilità di sgunti vnti composti: a) A = vincono gli scapoli b) B = la squadra prdnt sgna almno un gol c) C = vincono gli scapoli o la squadra prdnt sgna almno un gol d) D = vincono gli scapoli la squadra prdnt sgna almno un gol ) E = la gara si conclud con un parggio f) F = la gara si conclud con la vittoria di una dll du squadr a) La vittoria dgli scapoli si ha in corrispondnza dgli vnti, 2 pr cui p(a) = p( ) + p( 2 ) + p( ) = 0, + 0,2 + 0,2 = 0,7. b) La squadra prdnt sgna almno un gol in corrispondnza dgli vnti 2,, 4 5 ; quindi: p(b) = p( 2 ) + p( ) + p( 4 ) + p( 5 ) = 0,2 + 0,2 + 0, + 0, = 0,6. A S 2 4 B 5 6 c) L vnto C = vincono gli scapoli o la squadra prdnt sgna almno un gol corrispond ad A B si ralizza in corrispondnza dgli vnti da a 5 ; quindi p(c) = p(a B) = p( ) + p( 2 ) + p( ) + p( 4 ) + p( 5 ) = 0, + 0,2 + 0,2 + 0, + 0, = 0,9. d) L vnto D = vincono gli scapoli la squadra prdnt sgna almno un gol corrispond ad A B si ralizza in corrispondnza dgli vnti 2 ; prtanto p(d) = p(a B) = p( 2 ) + p( ) = 0,2 + 0,2 = 0,4. ) L vnto E, dat l modalità dlla gara, non si può ralizzar quindi è impossibil (E = ). Si ha quindi p(e) = 0. f) L vnto F si ralizza in corrispondnza di tutti gli vnti, quindi è crto p(f) =. 2 Probabilità total probabilità dll vnto contrario A) Dati du vnti A B sottoinsimi di uno spazio S, l vnto union A B è costituito dagli vnti ch compaiono in A oppur in B (o in ntrambi). Val il sgunt: Torma dlla probabilità total: p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) A B S 4

5 Pr dimostrarlo basta ossrvar ch: p(a B) è la somma dll probabilità dgli vnti ch compongono A oppur B. p(a) + p(b) è la stssa somma, dov prò l probabilità dgli vnti ch sono sia in A ch in B, ossia in A B, sono contat du volt. In particolar, s gli vnti A B sono incompatibili, ovvro s non hanno vnti in comun (quindi, il vrificarsi dll uno sclud il vrificarsi dll altro), allora A B =, si ha vidntmnt: Torma dlla probabilità total pr vnti incompatibili: p(a B) = p(a) + p(b). A B S Qust ultima formula si stnd immdiatamnt al caso di più vnti a du a du incompatibili (con intrszion vuota). Ad smpio, s A, B C sono tr vnti tali ch A B = A C = B C =, allora p(a B C) = p(a) + p(b) + p(c). Esmpio. Un urna contin vnti pallin numrat da a 20. Si calcoli la probabilità dll vnto C = la pallina stratta ha un numro multiplo di 2 oppur ha un numro multiplo di 5. I vnti vnti associati all vnti pallin hanno tutti probabilità 20. Gli vnti ch costituiscono C sono dodici corrispondono all pallin 2, 4, 5, 6, 8, 0, 2, 4, 5, 6, 8, 20. Prtanto p(c) = = 5. Allo stsso risultato si prvin pnsando C = A B dov: A = sc un numro multiplo di 2 = = {2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8, 20} con p(a) = 0 20 = 2. B = sc un numro multiplo di 5 = {5, 0, 5, 20}, con p(b) = 4 20 = 5. Dato ch A B = {0, 20} p(a B) = 2 20 = 0, si ha p(a B) = = 6 0 = 5. Esmpio 2. Dtrminar la probabilità dll vnto sc un numro minor di o un numro maggior di 4 rlativamnt al dado squstrato ad un biscazzir, pr il qual, indicando con k l vnto sc il numro k, l probabilità risultano: vnti probabilità 0,25 0,7 0,25 0,2 0,6 0,05 Posto: A = sc un numro minor di B = sc un numro maggior di 4, si ha p(a) = 0,25 + 0,7 = 0,42 p(b) = 0,6 + 0,05 = 0,2. Dato ch A B sono incompatibili, si ha p(a B) = p(a) + p(b) = 0,42 + 0,2 = 0,6. B) Dato un vnto A, si dic vnto contrario ad A l vnto ch si vrifica quando non si vrifica A, ossia l vnto A complmntar di A. 5

6 A A S Torma dlla probabilità dll vnto contrario: p( A ) = p(a). Dato ch A A sono vnti incompatibili (A A = ), la loro union è l intro spazio S (A A = S), ossia l vnto crto, pr il torma dlla probabilità total si ha: = p(s) = p(a A ) = p(a) + p( A ), da cui: p( A ) = p(a) o anch p(a) = p( A ) Esmpio. Un urna contin 58 pallin di cui 99 ross, 7 vrdi, 25 azzurr, 64 bianch l rimannti giall. Calcolar la probabilità ch, strando una pallina, ssa non sia rossa. La soluzion più rapida consist nll ossrvar, snza sguir calcoli, ch la probabilità dll vnto A = sc una pallina rossa è 99. Quindi la probabilità di A = non sc una 58 pallina rossa è p( A ) = = Esmpio 4. Trovar la probabilità ch, lanciando du dadi, si ottnga com somma dll facc almno quattro. Dato ch un puntggio maggior o ugual di quattro si può ottnr in molti modi, convin pnsar l vnto com contrario a A = si ottin un puntggio infrior a quattro. Gli vnti favorvoli ad A sono l tr coppi (, ), (, 2), (2, ) pr cui: p(a) = 6 = la probabilità richista è p( A ) = 2 2 = 2. Probabilità composta La rgola dlla probabilità composta è, pr l su numros applicazioni, la più important dl calcolo dll probabilità. D altra part è ncssario far su di ssa alcun considrazioni alquanto complss. Prtanto, ci limitrmo in un primo momnto ad nunciarla d illustrarla con alcuni smpi, rimandando al sguito dl paragrafo la sua prcisazion la sua giustificazion. Rgola dlla probabilità composta Siano A B du vnti. Indichiamo con A B l vnto ch si vrifica s soltanto s si vrificano sia A sia B. S A B sono indipndnti, cioè il vrificarsi dll uno non influisc sulla probabilità dll altro, la probabilità dll vnto A B è ugual al prodotto dll probabilità di A B: p(a B) = p(a). p(b) S i du vnti sono dipndnti, cioè il vrificarsi dll uno influisc sulla probabilità dll altro, si può applicar la stssa rgola, purché con p(b) si intnda la probabilità di B nll ipotsi ch A si sia vrificato. Esmpio. Considriamo: una monta truccata: p(t) è stimata con 0, p(c) con 0,7. una partita di calcio: i tr siti, X, 2 sono stimati rispttivamnt con 0,5; 0,4 0,. Qual è la probabilità ch lanciando la monta vnga tsta la partita si concluda con un parggio? Pr la rgola dlla probabilità composta, ssndo i du vnti vidntmnt indipndnti p(t X) = p(t). p(x) = 0,. 0,4 = 0,2. 6

7 Esmpio 2. In un urna vi sono du pallin vrdi cinqu ross. Estraggo una pallina dall urna la mtto da part. Estraggo una sconda pallina. Qual è la probabilità ch la prima pallina sia rossa la sconda sia vrd? Posto A = la prima pallina stratta è rossa, allora p(a) = 5 7. Sia B = la sconda pallina stratta è vrd (dopo ch è stata stratta una prima pallina qusta è risultata rossa). Poiché nll urna sono rimast si pallin, du vrdi quattro ross, allora p(b) = 2 6 =. Pr la rgola dlla probabilità composta p(a B) = p(a). p(b) = 5 7. = 5 2. La rgola è valida anch s gli vnti sono più di du: p(a B C...) = p(a). p(b). p(c).... dov p(b) è la probabilità di B nll ipotsi ch A si sia vrificato, p(c) è la probabilità di C nll ipotsi ch A B si siano vrificati, cc. Esmpio. Si straggono cinqu cart da un mazzo da quaranta. L cart via via stratt non vngono rimmss nl mazzo. Qual è la probabilità ch l prim tr siano assi l ultim du siano figur? La probabilità ch la prima carta stratta sia un asso è 4 40 = 0. La probabilità ch la sconda carta stratta sia un asso, nll ipotsi ch la prima stratta sia un asso, è 9 =. La probabilità ch la trza carta stratta sia un asso, nll ipotsi ch siano già stati stratti du assi, è 2 8 = 9. La probabilità ch la quarta carta stratta sia una figura, nll ipotsi ch siano già stati stratti tr assi, è 2 7. La probabilità ch la quinta carta stratta sia una figura, nll ipotsi ch siano già stati stratti tr assi una figura, è. Pr la rgola dlla probabilità composta, la probabilità dll vnto 6 in sam è: , Chiariamo ora alcuni punti rlativi alla rgola dlla probabilità composta. Riprndiamo in sam l Esmpio. Considriamo: una monta truccata: p(t) è stimata con 0, p(c) con 0,7. una partita di calcio: i tr siti, X, 2 sono stimati rispttivamnt con 0,5; 0,4 0,. Qual è la probabilità ch lanciando la monta vnga tsta la partita si concluda con un parggio? L vnto sc tsta, ch abbiamo indicato con T, appartin ad uno spazio di vnti, chiamiamolo S, formato dai du vnti T = sc tsta C = sc croc : S T C L vnto la partita si chiud con un parggio, ch abbiamo indicato con X, appartin ad uno spazio di vnti compltamnt divrso, chiamiamolo S 2, formato da tr vnti 7

8 : = vinc la squadra di casa ; X = la partita si conclud con un parggio ; 2 = vinc la squadra in trasfrta : X 2 S 2 L vnto di cui crchiamo la probabilità, ch abbiamo prima indicato con T X ( lanciando la monta vin tsta la partita si conclud con un parggio ) non appartin vidntmnt né a S né a S 2. Esso appartin invc al prodotto cartsiano S S 2 di du insimi: S S 2 = {(T, ), (T, X), (T, 2), (C, ), (C, X), (C, 2)} d è l vnto lmntar ch nlla rapprsntazion cartsiana, è dnotato con (T, X). Prché allora in prcdnza l abbiamo chiamato T X? In fftti abbiamo compiuto un abuso di linguaggio la scrittura corrtta sarbb (T S 2 ) (S X) (({T} S 2 ) (S {X}) ) Infatti, l vnto lanciando la monta sc tsta la partita si conclud con un parggio, è rlativo allo spazio S S 2 d è l intrszion di du vnti: T S 2 = lanciando la monta sc tsta la partita si conclud con un qualsiasi risultato : S X = il lancio dlla monta ha un qualsiasi sito la partita si conclud con un parggio. 8

9 Chiarito a qual spazio di vnti appartin T X, ossia S S 2, rsta da giustificar il fatto ch p(t X) = p(t). p(x). Ora, mntr S S 2 sono spazi di probabilità, cioè insimi di vnti a ciascuno di quali è assgnata una crta probabilità, pr il momnto S S 2 è soltanto un insim ai cui lmnti dobbiamo ancora assgnar una probabilità. Ciò può avvnir sulla bas dll sgunti considrazioni. ) La probabilità dll vnto (di S S 2 ) lanciando la monta sc tsta la partita si conclud con un qualsiasi risultato dv ssr ugual alla probabilità dll vnto (di S ) sc tsta : p(t, ) + p(t, X) + p(t, 2) = p(t). 2) Poiché l sito dl lancio dlla monta non influnza in alcun modo il risultato dlla partita, l probabilità di tr vnti (T, ), (T, X), (T, 2) dvono ssr proporzionali all probabilità dgli vnti, X, 2: p(t, ) : p() = p(t, X) : p(x) = p(t, 2) : p(2). L du condizioni si soddisfano imponndo ch sia: p(t, ) = p(t). p() = 0,. 0,5 = 0,5 p(t, X) = p(t). p(x) = 0,. 0,4 = 0,2 p(t, 2) = p(t). p(2) = 0,. 0, = 0,0 Con considrazioni prfttamnt analogh si conclud ch dv ssr: p(c, ) = p(c). p() = 0,7. 0,5 = 0,5 p(c, X) = p(c). p(x) = 0,7. 0,4 = 0,28 p(c, 2) = p(c). p(2) = 0,7. 0, = 0,07 In dfinitiva, la probabilità di un vnto lmntar dllo spazio prodotto cartsiano S S 2 è il prodotto dll probabilità di du vnti componnti, il primo in S il scondo in S 2. Esaminiamo ora, considrando l Esmpio 2, il caso in cui fra i du spazi S S 2 vi sia corrlazion: il vrificarsi di un crto vnto, piuttosto ch di un altro, dl primo spazio influnza la probabilità dgli vnti dl scondo. Esmpio 2. In un urna vi sono du pallin vrdi cinqu ross. Estraggo una pallina dall urna la mtto da part. Estraggo una sconda pallina. Qual è la probabilità ch la prima pallina sia rossa la sconda sia vrd? Com in prcdnza si part dalla considrazion di du spazi di vnti. Il primo, ch chiamiamo S, è formato dai du vnti : v = la prima pallina stratta è vrd ; p(v ) = 2 7 r = la prima pallina stratta è rossa ; p(r ) = 5 7. Anch il scondo, ch chiamiamo S 2, è formato da du vnti : v 2 = la sconda pallina stratta è vrd r 2 = la sconda pallina stratta è rossa p(v 2 ) = s si è vrificato v s si è vrificato r p(r 2 ) = s si è vrificato v s si è vrificato r L vnto di cui stiamo crcando la probabilità, ch possiamo indicar con (r, v 2 ), non appartin né a S né a S 2 ma al prodotto cartsiano S S 2 di du insimi: S S 2 = {(v, v 2 ), (v, r 2 ), (r, v 2 ), (r, r 2 )} 9

10 S S 2 è pr il momnto soltanto un insim, ai cui lmnti dobbiamo ancora associar una probabilità. Ragionando com nll smpio prcdnt, si conclud ch dv ssr: p(v, v 2 ) = p(v ). p(v 2 ) = = 2 p(v, r 2 ) = p(v ). p(r 2 ) = = 5 2 dov con p(v 2 ) p(r 2 ) si dvono intndr l probabilità di v 2 di r 2 nll ipotsi ch sia vrificata v ; p(r, v 2 ) = p(r ). p(v 2 ) = = 5 2 p(r, r 2 ) = p(r ). p(r 2 ) = = 0 2 dov con p(v 2 ) p(r 2 ) si dvono intndr l probabilità di v 2 di r 2 nll ipotsi ch sia vrificata r. 4 Problmi più complssi di calcolo dll probabilità Com già dtto, l rgol dlla probabilità total dll vnto contrario acquistano importanza pratica solo s associat alla rgola dlla probabilità composta. Esaminiamo alcuni problmi, un po più complssi di qulli affrontati finora, in cui ciò si vrifica. Esmpio. Sono dat du urn. La prima contin pallin bianch 5 nr, mntr la sconda contin 2 pallin bianch nr. Si stra una carta da un mazzo da quaranta. S vin una carta di cuori si stra una pallina dalla prima urna, altrimnti la si stra dalla sconda. Qual è la probabilità di strarr una pallina bianca? Aiutiamoci con un diagramma ad albro: i quattro rami rapprsntano i possibili prcorsi fra loro incompatibili, in ciascun tratto, riportiamo la rispttiva probabilità: 0

11 mazzo di cart carta di cuori 4 4 carta non di cuori I urna II urna pallina bianca pallina nra pallina bianca pallina nra Pr la rgola dlla probabilità composta, la probabilità ch vnga stratta una pallina bianca dalla prima urna è. 4 8 =. Analogamnt, la probabilità ch vnga stratta una pallina 2 bianca dalla sconda urna è =. Pr la rgola dlla probabilità total la probabilità 0 richista, ch si ottnga una pallina bianca dalla prima o dalla sconda urna, è: = Esmpio 2. Un urna contin 0 pallin vrdi 7 pallin ross. Si straggono succssivamnt du pallin, snza rimttr la prima nll urna. Qual è la probabilità ch siano: a) dllo stsso color; b) di color divrso; c) almno una rossa? Procdiamo com nll smpio prcdnt costrundo un diagramma ad albro: i tratti in alto corrispondono alla prima pallina stratta, qulli in basso alla sconda. L probabilità in qusti ultimi sono dtrminat supponndo ch l vnto in alto si sia vrificato: V R prima strazion V R V R sconda strazion

12 Ad smpio, considrato il ramo a sinistra (VV), nl primo tratto figura la probabilità 0 7 ch 9 la prima pallina stratta sia vrd, nl scondo la probabilità ch la sconda pallina sia 6 vrd nll ipotsi ch la prima sia vrd (dll 6 pallin ancora nll urna, solo 9 sono vrdi). Così, nl ramo (RV), nl primo tratto figura la probabilità 7 ch la prima pallina stratta sia 7 rossa, nl scondo la probabilità 0 ch la sconda stratta sia vrd nll ipotsi ch la prima 6 pallina sia rossa (tra l 6 pallin rimast vi sono tutt 0 l pallin vrdi). a) Pr la rgola dlla probabilità composta, la probabilità ch ntramb l pallin siano vrdi, ossia ch si vrifichi l vnto VV, è = Analogamnt, la probabilità ch ntramb l pallin siano ross, ossia ch si vrifichi l vnto RR, risulta = 2 6. Quindi, la probabilità dll vnto l pallin sono dllo stsso color, ossia ntramb vrdi o ntramb ross, pr la rgola dlla probabilità total, è = 66 6 = 68. b) Pr calcolar la probabilità dll vnto l pallin sono di color divrso, anziché sommar la probabilità ch la prima sia vrd la sconda rossa con qulla ch la prima sia rossa la sconda vrd, possiamo sfruttar quanto ottnuto in a) applicar la rgola dlla probabilità dll vnto contrario; infatti l vnto l pallin sono di color divrso è contrario di l pallin sono dllo stsso color, quindi la sua probabilità è 68 = c) La probabilità dll vnto almno una pallina è rossa è la somma dll probabilità di tr vnti VR, RV, RR. Più rapidamnt si può calcolar la probabilità dll vnto contrario a VV ( l pallin sono ntramb vrdi ): 45 6 = 9 6. Esmpio. Qual è la probabilità ch, dat quattro prson, almno du siano nat nllo stsso giorno dlla sttimana? Il calcolo dirtto si prsnta alquanto complsso, dato ch l vnto E = dat quattro prson, almno du sono nat nllo stsso giorno dlla sttimana si può ralizzar in molti modi (quando l prson sono nat tutt quattro nllo stsso giorno dlla sttimana, o quando tr di ss o du sono nat nllo stsso giorno dlla sttimana). È più facil calcolar la probabilità dll vnto contrario E : dat quattro prson, ss sono nat in quattro giorni divrsi dlla sttimana. Indipndntmnt dal giorno dlla sttimana in cui è nata la prima prsona, la probabilità ch la sconda prsona non sia nata nllo stsso giorno dlla prima è 6. La probabilità ch la 7 trza prsona sia nata in un giorno dlla sttimana divrso dall prim du è 5. Infin, la 7 probabilità ch la quarta prsona sia nata in un giorno dlla sttimana divrso dall prim tr è 4 7. L vnto E è composto dai tr prcdnti quindi: p( E ) = = In dfinitiva p(e) = p( E ) = 20 4 = ,65. 2

13 Esmpio 4. La probabilità ch un automobilista abbia in un giorno un incidnt, anch liv com l ammaccatura di un paraurti, è. Qual è la probabilità ch, ni prossimi giorni, gli abbia almno un incidnt? Dtto E l vnto ni prossimi 000 giorni l automobilista avrà almno un incidnt, l vnto E, assai più smplic, è ni prossimi 000 giorni l automobilista non avrà alcun incidnt. Evidntmnt E = E E 2... E000, dov E k è l vnto fra k giorni l automobilista non avrà alcun incidnt. Pr la rgola dlla probabilità dll vnto contrario: p(e k ) = 000 = = 0,999, pr la rgola dlla probabilità composta: p( E ) = p(e E 2... E000) = p(e ). p(e 2 )..... p( E 000 ) = 0, ,677. Applicando ancora la rgola dlla probabilità dll vnto contrario, si ha infin: p(e) = p( E ) 0,62. 5 Probabilità condizionata indipndnza In molt circostanz, dopo avr introdotto uno spazio S di probabilità, si ricvono ultriori informazioni ch rndono inattndibili l probabilità assgnat agli vnti richidono sia una modifica di S, sia una nuova dtrminazion dll probabilità. Esmpio. Considriamo lo spazio S rlativo a un dado non truccato: vnti probabilità dov k è l vnto sc il numro k. S si vin a sapr ch, lanciando il dado, si è vrificato l vnto E = è uscito un numro dispari, automaticamnt vngono azzrat l probabilità dgli vnti 2, 4, 6. Appar allora natural limitar lo spazio S agli vnti,, 5, continuando ad attribuir ad ssi la stssa probabilità, considrar al posto dl prcdnt spazio S il sgunt: vnti 5 probabilità È quindi ad smpio la probabilità ch sca, supposto ch sia uscito un numro dispari. Si noti ch il valor si ottin dividndo la probabilità prcdnt, ossia, pr p(e) = p( è 6 uscito un numro dispari ) = 2. Esmpio 2. Uno scommttitor attribuisc ai quattro cavalli A, B, C, D impgnati in una corsa l sgunti probabilità di vittoria: vnti vinc A vinc B vinc C vinc D probabilità 0,4 0,2 0, 0, Prima dlla corsa vin a sapr ch A si è azzoppato. Prtanto, gli sclud la possibilità di vittoria di A riduc lo spazio a E = {vinc B, vinc C, vinc D}. L tr nuov probabilità dgli vnti vinc B, vinc C, vinc D si possono ottnr dividndo pr p(e) = 0,2 + 0, + 0, = 0,6, ossia pr la probabilità inizial dll vnto E =

14 {vinc B, vinc C, vinc D} ch si è vrificato, l probabilità assgnat nllo spazio inizial agli vnti rimasti: p(vinc B) = 0,2 0,6 = p(vinc C) = 0, 0,6 = 2 p(vinc D) = 0, 0,6 = 6 In tal modo, infatti, l nuov probabilità risultano proporzionali a qull iniziali la loro somma 0,2 0,6 + 0, 0,6 + 0, è vidntmnt ugual a. 0,6 Il nuovo spazio è allora: vnti vinc B vinc C vinc D probabilità 2 6 In gnral, quando è dato uno spazio S = {, 2,,..., n } si vin a sapr ch si è ralizzato un crto vnto E costituito dagli vnti, 2,..., k, non vngono più prsi in considrazion gli altri vnti si costruisc un nuovo spazio S : vnti 2... k probabilità p( ) p( 2 )... p( k ) in modo ch l nuov probabilità p( ), p( 2 ),..., p( k ): ) abbiano somma 2) siano proporzionali alla probabilità ch gli vnti, 2,..., k avvano nllo spazio S. Lo spazio S è dtto spazio condizionato ad E l nuov probabilità sono dtt anch ss condizionat ad E. L probabilità condizionat ad E si possono facilmnt ottnr con la sgunt rgola: L probabilità dgli vnti nllo spazio S si ottngono dividndo l rispttiv probabilità nllo spazio S pr la probabilità di E calcolata nllo spazio S. Infatti, com si è illustrato nll Esmpio 2, con qusta rgola si ottngono di valori proporzionali a qulli originari (i quali vngono divisi tutti pr p(e)) la cui somma è, trattandosi di frazioni avnti tutt lo stsso dnominator p(e) com somma di numratori proprio p(e). Si può ora facilmnt stndr il discorso dagli vnti a qulli composti. Sia dato uno spazio S di probabilità sia A un vnto rlativo a tal spazio (ossia un sottoinsim di S). Supponiamo ch un vnto B si sia ralizzato. Ciò vidntmnt altra la probabilità di A: gli vnti di A ch non appartngono a B assumono probabilità nulla, mntr gli vnti di A ch appartngono a B (ossia qulli in A B) assumono la probabilità condizionata a B. La nuova probabilità di A è dtta probabilità di A condizionata a B si indica p(a/b). S si ossrva ch vngono prsi in considrazion solo gli vnti di A B si ricorda ch l probabilità condizionat a B si ottngono dividndo qull iniziali pr p(b), p(a B) rsta giustificata la sgunt formula: p(a/b) = p(b) nlla qual p(a B) p(b) sono calcolat nllo spazio di probabilità S. Dalla formula prcdnt, moltiplicando ambo i mmbri pr p(b) lggndo da dstra a sinistra, si ottin: p(a B) = p(b). p(a/b) 4

15 ossia la probabilità di A B, l vnto ch si ralizza quando si vrificano sia A, sia B, è ugual al prodotto dlla probabilità di B dlla probabilità di A supposto ch si sia vrificato B. Si tratta di una formulazion dlla rgola dlla probabilità composta nlla qual intrvin la probabilità condizionata. È natural affrmar ch A è indipndnt da B s solo s p(a/b) = p(a) ossia s il vrificarsi di B non fa cambiar la probabilità di A. S A è indipndnt da B, sostitundo p(a/b) con p(a) nlla formula prcdnt, si ottin: p(a B) = p(b). p(a). Si dimostra facilmnt ch, vicvrsa, s val qust ultima uguaglianza, gli vnti sono indipndnti. A proposito dll analogia tra qust formul qull rlativ alla probabilità composta è bn rilvar ch ora stiamo considrando vnti A B dllo stsso spazio S, mntr nl si trattava di vnti rlativi a spazi di probabilità diffrnti. In altri trmini, l ultima formula non srv a calcolar p(a B), ch si ottin facilmnt sommando l proprità dgli vnti ch appartngono a A B, ma a stabilir s A B sono o non sono indipndnti. Esmpio. Si lanciano tr mont buon. Si considrino i du vnti: A = si ottin al massimo una tsta B = si ottngono sia tst ch croci. Stabilir s A B sono indipndnti. Gli vnti sono otto TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC ciascuno ha probabilità 8. Si ha: A = {TCC, CTC, CCT, CCC} p(a) = 4 8 = 2. B = {TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT} p(b) = 6 8 = 4. A B = {TCC, CTC, CCT} p(a B) = 8. Dato ch 8 =. 2 4 val p(a B) = p(a). p(b) si può concludr ch i du vnti sono indipndnti. Esmpio 4. Riptr il prcdnt Esmpio, ma rlativo al lancio di du sol mont. Gli vnti sono quattro TT, TC, CT, CC ciascuno ha probabilità 4. Si ha: A = {TC, CT, CC} p(a) = 4. B = {TC, CT} p(b) = 2 4 = 2. A B = {TC, CT} p(a B) = 2 4 = 2. Dato ch p(a B) = = p(a). p(b) i du vnti A B sono dipndnti. Qusti ultimi du smpi illustrano quanto affrmato in prcdnza: il fatto ch nl primo A B siano indipndnti, mntr non lo sono nl scondo, indica ch l indipndnza di du vnti dllo stsso spazio può ssr stabilita solo a postriori, val a dir dopo avr sguito i calcoli. 6. Applicazioni dl calcolo combinatorio al calcolo dll probabilità A) La monta l urna ) Si lancia cinqu volt una monta buona. Qual è la probabilità ch scano tr tst? 5

16 I casi possibili sono l disposizioni con riptizion di du lmnti T, C a cinqu a cinqu: D 2,5 =2 5 = 2. I casi favorvoli sono l combinazioni di cinqu lanci a tr a tr: C 5, = 0. La probabilità richista è 0 2 = 0,25. ) Si lancia cinqu volt una monta truccata, pr la qual p(t) = 0,6 p(c) = 0,4. Qual è la probabilità ch scano tr tst? In qusto caso non si può applicar la dfinizion classica di probabilità in quanto gli vnti non sono ugualmnt possibili; ad smpio, dato ch l uscita di tsta è più probabil di qulla di croc, l uscita di cinqu tst è più probabil di qulla di cinqu croci. Procdiamo allora con i tormi dl calcolo dll probabilità. Considriamo una squnza favorvol qual T C T T C, ossia tsta al primo lancio, croc al scondo, tsta al trzo, tsta al quarto croc al quinto. Essndo l sito di ciascun lancio indipndnt da qullo dgli altri, pr il torma dlla probabilità composta, la probabilità ch sca la squnza T C T T C è: 0,6. 0,4. 0,6. 0,6. 0,4 = 0,6. 0,4 2. La probabilità ch sca un altra qualsiasi squnza con tr tst du croci è smpr 0,6. 0,4 2 : cambia solo l ordin di tr fattori 0,6 di du fattori 0,4. Tutt l squnz di qusto tipo hanno la stssa probabilità sono in numro di C 5,. Pr il torma dll probabilità totali la probabilità dll vnto scono tr tst è la somma dll probabilità dll uscita dll singol squnz, cioè C. 5, 0,6. 0,4 2 0,5. ) Un urna contin si pallin ross quattro vrdi. Si straggono cinqu pallin, rimmttndo ogni volta la pallina stratta nll urna. Qual è la probabilità ch il risultato rispcchi la composizion dll urna, ossia ch scano tr pallin ross du vrdi? La probabilità di strarr una pallina rossa è 0,6, qulla di strarr una pallina vrd è 0,4 qust probabilità sono l stss ad ognuna dll succssiv strazioni (dato ch ogni volta si rimtt nll urna la pallina stratta). Il procdimnto è lo stsso di qullo rlativo alla monta truccata saminato al punto ), pr cui la probabilità richista è: C. 5, 0,6. 0,4 2 0,5. ) Un urna contin si pallin ross quattro vrdi. Si straggono cinqu pallin, snza rimttr la pallina stratta nll urna. Qual è la probabilità ch il risultato rispcchi la composizion dll urna, ossia ch scano tr pallin ross du vrdi? Il numro di casi possibili è dato dall combinazioni dll dici pallin a cinqu a cinqu: C 0,5 = 252. I casi favorvoli sono qulli in cui a una trna di pallin ross (ch sono in numro di C 6, ) si associa una coppia di pallin vrdi (ch sono in numro di C 4,2 ). Pr il principio di moltiplicazion, il numro di casi favorvoli è C. 6, C 4,2 = 20. La probabilità richista è ,48. Si noti ch, snza rimmission, la probabilità ch sia rispcchiata la composizion dll urna, ossia 0,48, è alquanto più lvata risptto al caso prcdnt, con la rimmission dlla pallina stratta nll urna, in cui la probabilità è 0,5. Prtanto, s si vuol conoscr la composizion di un urna strandon un campion, è più convnint procdr snza rimmission. B) Lo scopon scintifico Nllo scopon scintifico si usa un mazzo da quaranta cart si danno dici cart a ciascuno di quattro giocatori. Calcolar la probabilità ch un giocator sia srvito in modo da avr: a) tutti i stt; b) sattamnt un stt; 6

17 c) sattamnt un stt, du assi tr figur; d) tutt l cart dall asso al r (ossia un asso, un du, un tr,..., una donna, un r). Evidntmnt non conta l ordin con cui il giocator ricv l cart. I casi possibili sono tutti i possibili raggruppamnti dll quaranta cart a dici a dici: C 40,0 = a) S il giocator ha tutti i stt, l rimannti si cart sono sclt fra l trntasi cart dl mazzo ch non sono stt. I casi favorvoli all vnto sono quindi C 6,6 = La probabilità richista è ,002. b) Il stt può ssr sclto in 4 modi; l altr nov cart vanno sclt fra l trntasi dl mazzo ch non sono stt, ciò può ssr fatto in C 6,9 modi. I casi favorvoli all vnto sono quindi 4. C 6,9 = La probabilità richista è ,444. c) L possibili sclt dll unico stt sono 4, dlla coppia di assi sono C 4,2, dll tr figur sono C 2,. Infin, pr l rstanti quattro cart, ch vanno prs fra l vnti dl mazzo ch non sono né stt, né assi, né figur, sono C 20,4. Pr il principio di moltiplicazion, il numro di casi favorvoli è: 4. C. 4,2 C. 2, C 20,4 = Prtanto, la probabilità richista è ,0. d) Abbiamo quattro sclt pr l asso, quattro sclt pr il du,..., quattro sclt pr il r. I casi possibili sono = La probabilità richista è ,00. C) Il gioco dl lotto Nl gioco dl lotto si straggono cinqu numri da un urna ch contin i numri da a 90, non conta l ordin di strazion. Il giocator punta una crta somma sull uscita di un dato numro, o di du (ambo), o di tr (trno), o di quattro (quatrna), o di cinqu (cinquina). L strazioni avvngono du volt alla sttimana in dici sdi, dtt ruot, situat nll maggiori città italian. Il giocator può puntar sulla singola ruota, ad smpio qulla di Gnova, allora contranno solo i numri stratti in qulla sd, oppur su più ruot. In qust ultimo caso la somma puntata vin distribuita in proporzion all ruot sclt: giocar 0 su tutt l dici ruot è com sguir dici giocat da su ciascuna ruota; giocar 0 su Napoli, Gnova Palrmo è com sguir tr giocat da 0 sull ruot dll tr città. Possiamo quindi limitarci a considrar la singola ruota. Cominciamo a rispondr all sgunti domand: a) Quant sono l possibili cinquin stratt? b) Quant sono l cinquin contnnti un numro fissato? c) Quant sono l cinquin contnnti un ambo fissato? d) Quant sono l cinquin contnnti un trno fissato? ) Quant sono l cinquin contnnti una data quatrna? a) Dato ch non importa l ordin di numri stratti, l possibili cinquin sono l combinazioni di 90 numri a cinqu a cinqu C 90,5 = = b) L cinquin contnnti un numro dato si ottngono accostando quattro di rimannti 89 numri al numro dato, quindi sono tant quant l combinazioni di 89 lmnti a quattro a quattro C 89,4 = =

18 c) L cinquin contnnti un dato ambo si ottngono accostando tr di rimannti numri ai du numri dati, quindi sono C 88, = = d) Analogamnt, l cinquin contnnti un dato trno sono C 87,2 = =.74. ) L cinquin contnnti una data quatrna sono vidntmnt 86. Supponiamo ora ch un giocator punti la somma P sull uscita di un dato numro. La probabilità ch il numro sca è vidntmnt 5 90 = (d è anch il rapporto tra il numro 8 dll cinquin ch contngono il dato numro, cioè C 89,4, qullo di tutt l cinquin, cioè C 90,5 ). S il gioco foss quo, in caso di uscita dl numro giocato, il giocator dovrbb ricvr la somma S tal ch: S. = P, da cui S = 8P. In raltà lo Stato paga,22p, pr cui il gioco 8 non è quo. Mdiamnt, su 8 giocat di qusto tipo, lo Stato incassa 8P paga,22p all unico giocator su 8 ch vinc. Può quindi contar su un util di 6,768P, pari al 6, ,6% dll giocat. Supponiamo ora ch il giocator punti la somma P sull uscita di un dato ambo giocando du numri 2. La probabilità di vincita è il rapporto tra il numro di casi favorvoli, ossia l C 88, cinquin ch contngono il dato ambo, il numro C90,5 di tutt l possibili cinquin, cioè, pr quanto visto in prcdnza, 0,025. Si può comunqu calcolar tal rapporto sgundo prima l smplificazioni: C 88, = C 90, = = 400,5 0,025. S il gioco foss quo, lo Stato dovrbb pagar a chi vinc la somma di 400,5P; in raltà paga 250P quindi può contar su un util di circa il 7,6% dll giocat. Così la probabilità ch sca un trno è C 87,2.74 C 90,5 = 0, , pr cui s il gioco foss quo lo Stato dovrbb pagar a chi azzcca un trno giocando tr numri la somma.748p; in raltà paga 4.250P, con un util di circa il 64% dll giocat. Infin, lo Stato paga P P pr la quatrna pr la cinquina rispttivamnt, il suo util raggiung l 84% il 98% dll giocat. Ossrvazion. Sui numri in ritardo. Sotto la spinta di mass mdia è invalso l uso da part di molti giocatori di puntar sui numri in ritardo : s un numro non vin stratto su una crta ruota da molt sttiman, su di sso si concntrano l puntat di giocatori. È snsato un simil modo di agir? Basta un attimo di riflssion pr capir ch tal stratgia non ha alcun fondamnto razional. Ad ogni strazion la probabilità di uscita di un numro è smpr /8, anch s qul numro non sc da parcchi sttiman. L quivoco sorg dal fatto ch l vnto un numro dato non uscirà nll prossim n strazioni ha probabilità ch divin smpr più piccola al crscr di n. 2 S il giocator punta la somma P sull ambo giocando tr numri, ad smpio , è com s giocass P/ su ciascuno di tr ambi possibili, ossia 4-47, 4-88, S il giocator punta la somma P sull ambo giocando quattro numri, è com s giocass P/6 su ciascuno di si ambi possibili, così via. 8

19 Infatti, la probabilità ch un numro non sia stratto nlla prossima strazion è 7, ch non sia stratto nll prossim du strazioni è, pr il torma dlla probabilità composta, 8 n 7, in gnral, ch non sia stratto nll prossim n strazioni è. Dato ch, pr n = 2, ,506, pr n =, 7 0,4756, si può concludr ch la probabilità ch il 8 8 numro sca nll prossim strazioni è maggior di qulla ch non sca. S si prndono in sam squnz più lungh di strazioni, la probabilità ch il numro sca divin molto lvata: ad smpio, la probabilità ch il numro sca nll prossim 50 strazioni è circa 0,94, ch sca nll prossim 00 è circa 0,9967. Quando un numro è in ritardo da 00 strazioni, significa ch si è vrificato un vnto a bassa probabilità, pari a 0,00. Ciò prò non vuol affatto dir ch alla cntounsima strazion l uscita di qul numro sia più probabil di /8: la ruota non ha mmoria, ad ogni strazion i numri sono tutti quiprobabili il passato non conta. S il numro non è uscito in 00 strazioni, qusto ormai è un fatto: un conto è dir un numro non sc in 0 strazioni (la probabilità è circa 0,00) bn altro dir un numro non sc in 0 strazioni, sapndo ch non è uscito nll prim 00 (la probabilità è 7 8 0,9444). E qulli ch hanno vinto gross somm con tal tattica? La raltà è ch la loro vincita è dovuta alla loro prsvranza nl giocar ( alla possibilità conomica di sostnrla) non al numro prsclto. La probabilità è la stssa anch si cambia il numro ad ogni strazion! 9

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