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1 CAPITOLO SECONDO CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - ESERCIZI I.) Anna, Batric Carla fanno una gara di corsa. Stimo ch Anna Carla siano ugualmnt vloci ch Batric abbia probabilità doppia dll altr du di vincr la gara. Qual probabilità attribuisco alla vittoria di ciascuna? [R. 0,5; 0,5; 0,5] ) Ugo Mario si sfidano a dama. Dtrminar la probabilità di ciascuno di tr vnti lmntari: vinc Ugo, parggio, vinc Mario sulla bas dll sgunti informazioni: a) nll ultim 6 partit vi sono stati 9 vittori di Ugo, 5 parggi vittori di Mario; b) mi è indiffrnt ricvr 0 s vinc Ugo, oppur 0 in caso di parggio, oppur 60 s vinc Mario. [R. a) 0,565; 0,35; 0,5; b) 0,6; 0,3; 0,] 3) In una partita di calcio, l probabilità di tr vnti: la squadra di casa vinc, o parggia, o prd sono stimat rispttivamnt con 0,5, 0,3 0,. Avvicinandoci al ritrovo di tifosi locali vdiamo sposta la bandira dlla squadra di casa, il ch accad quando ssa non ha prso. Com valutiamo adsso l probabilità di tr vnti? [R. 0,65; 0,375; 0] 4) Uno spazio è costituito da tr vnti lmntari,, 3. Quali dll sgunti assgnazioni di probabilità costituiscono uno spazio probabilistico? a) p( ) = 0,4 p( ) = 0,5 p( 3 ) = 0, b) p( ) =,6 p( ) = 0, p( 3 ) = 4 c) p( ) = 0,4375 p( ) = 0,875 p( 3 ) = 0,375 d) p( ) = p( ) = p( 3 ) = [R. c) d)] 5) Un dado è truccato in modo ch l facc 4 6 abbiano probabilità doppia dll altr quattro ch sono quiprobabili. Costruir lo spazio probabilistico adguato agli siti dl lancio dl dado calcolar la probabilità di ottnr: a) un numro dispari; b) un numro maggior di 3. [R. 0,375; 0,65] 6) Lo spazio S è costituito da stt vnti lmntari con p( ) = p( ) = p( 3 ) = p( 4 ) = 0, p( 5 ) = p( 6 ) = p( 7 ) = 0,. A B S 7 Dtrminar l probabilità dgli vnti composti A, B, A B, A B. [R. 0,5; 0,4; 0,6; 0,3] 7) Anna, Batric Carla si sfidano a corsa. Indicando l ragazz con l iniziali dl loro nom, l probabilità di possibili ordini di arrivo sono così stimat: posto posto 3 posto probabilità A B C 8% A C B 9% B A C 40% 4

2 B C A 0% C A B % C B A % Calcolar la probabilità ch: a) Batric vinca; b) Batric arrivi sconda; c) Carla arrivi prima di Anna; d) Anna non arrivi ultima. [R. a) 60%; b) 9%; c) 33%; d) 69%].) Un urna contin vnti pallin numrat da a 0. Si stra una pallina. Calcolar la probabilità ch il numro sortggiato sia: a) multiplo di 4 o di 5 b) multiplo di 5 o di 7 [R. 0,4; 0,3] ) Si stra una carta da un mazzo da quaranta. Calcolar la probabilità ch sca: a) una carta di cuori o una figura; b) un asso o una figura. [R. 0,475; 0,4] 3) Si lanciano du dadi. Qual è la probabilità ch scano du numri uguali o la cui somma sia si? [R. 5 8 ] 4) Su 65 alunni di un istituto 5 sono iscritti al cntro sportivo 50 sguono un corso di informatica. Calcolar la probabilità ch un alunno sia iscritto al cntro sportivo o al corso di informatica nll sgunti ipotsi: a) nssun alunno svolg ntramb l attività; b) 75 alunni l svolgono ntramb. [R. a) 0,6; b) 0,48] 5) In bas a rilvazioni statistich stimo con la probabilità ch un 000 automobilista abbia un giorno un incidnt, anch liv. Pr calcolar la probabilità dll vnto E = ni prossimi 000 giorni l autista avrà almno un incidnt, ragiono così: poiché E = E E... E 000 dov E k è l vnto fra k giorni l automobilista avrà un incidnt, pr il torma dlla probabilità total p(e) = p(e ) + p(e ) p(e 000 ) = =. Il risultato è palsmnt contrario al buon snso all intuizion. Prché il ragionamnto sposto è rrato? 6) Calcolar la probabilità di ottnr almno una tsta lanciando una monta: a) tr volt; b) quattro volt. [R. a) 0,875; b) 0,9375] 7) Lancio cinqu volt una monta. Qual è la probabilità ch scano almno du croci. [R. 0,85] 8) Calcolar la probabilità di ottnr com somma di numri usciti almno cinqu lanciando: a) du dadi; b) tr dadi. [R. a) 5 53 ; b) 6 54 ] 9) Dtrminar la probabilità di un vnto dato a 7 contro 9. (Avv.: Nl linguaggio dgli scommttitori l sprssion 7 contro 9 significa ch, su 6 casi, 7 sono favorvoli all vnto 9 all vnto contrario). [R. 0,4375] 0) Pr il prossimo campionato mondial di calcio, la vittoria dl Brasil è data a contro 4 qulla dll Italia a contro 7. Calcolar la probabilità ch una dll du squadr vinca il prossimo mondial. [R. 0,35] 3.) Si straggono du cart da un mazzo da quaranta. Calcolar la probabilità ch siano: a) du figur; b) du assi; c) la prima un asso la sconda una figura; d) la prima una figura la sconda un asso. [R. a) 30 ; b) 30 ); c) 65 ; d) 65 ]

3 ) Riptr l srcizio prcdnt nll ipotsi ch la prima carta stratta vnga rimssa nl mazzo. [R. a) 0,09; b) 0,0; c) 0,03; d) 0,03] 3) In un urna vi sono 7 pallin bianch 3 nr. Si straggono du pallin. Qual è la probabilità ch siano ntramb nr? E la prima nra la sconda bianca? [R ; ] 4) Riptr l srcizio prcdnt nll ipotsi ch la prima pallina stratta vnga rimssa nll urna. [R ; ] 5) In un urna vi sono n pallin nr una bianca. Si straggono du pallin: qual è la probabilità ch siano ntramb nr? Pr qual valor di n tal probabilità val 0,9? [R. n n+ ; 9] 6) Si straggono tr cart da un mazzo da quaranta. Calcolar la probabilità di ottnr: a) tr figur; b) nll ordin: un asso, un stt, una figura. [R. a) 494 ; b) 4 35 ] 7) In un urna vi sono du pallin bianch tr nr. Si straggono tr pallin. Calcolar la probabilità ch siano: a) tutt nr; b) la prima bianca l altr nr. [R. a) 0,; b) 0,] 8) Si lancia otto volt una monta. Qual è la probabilità ch scano tutt tst? [R. circa 0,0039] 9) Quant volt bisogna lanciar una monta affinché la probabilità di ottnr tutt tst sia infrior a 0 6? [R. 0] 0) Qual è la probabilità con una schdina giocata a caso: a) di far 3; b) di non indovinar alcun risultato? [R. a) ; b ) ] ) Quattro amici, uscndo piuttosto alticci da un bar, indossano a caso i cappotti. Qual è la probabilità ch ognuno prnda il suo? [R. 4 ] ) Du giocatori di pari abilità disputano una sri di partit. Vincrà chi pr primo avrà totalizzato quattro vincit. Quando il primo giocator sta conducndo pr tr a zro dcidono di sospndr il gioco dividr la posta, ch è di 64 uro, proporzionalmnt alla probabilità di vittoria di ciascun giocator. Com va ripartita la posta? (Avv.: Convin calcolar la probabilità di vittoria dl scondo giocator). [R. 60 uro al primo giocator 4 al scondo] 4.) Un urna contin stt pallin bianch tr nr. Si straggono du pallin. Calcolar la probabilità ch siano: a) di color divrso; b) dllo stsso color; c) almno una nra. [R. a) 7 5 ; b) 8 5 ; c ) 8 5 ] ) Riptr l srcizio prcdnt nll ipotsi ch la prima pallina stratta vnga rimssa nll urna. [R. a) 0,4; b) 0,58; c) 0,5] 3

4 3) Un urna contin tr pallin bianch, quattro nr, du ross. Si straggono du pallin. Calcolar la probabilità ch siano: a) una rossa una di un altro color; b) dllo stsso color; c) di color divrso. [R. a) 7 8 ; b) 5 3 ; c) 8 8 ] 4) Un urna contin a pallin azzurr, b pallin bianch, c pallin clsti. Si straggono du pallin, rimttndo la prima stratta nll urna. Calcolar la probabilità ch siano: a) dllo stsso color; b) di color divrso. [R. a) a + b + c (ab+ ac+ bc) b) (a+ b+ c) (a+ b+ c) ] 5) Da ciascuno di du mazzi da quaranta si stra una carta. Qual è la probabilità ch almno una dll du cart sia una figura? [R. 0,5] 6) Sono dat du urn. La prima contin 4 pallin bianch nra, la sconda bianca nr. Si prnd una carta da un mazzo da quaranta. S è una figura si stra una pallina dalla prima urna, altrimnti dalla sconda. Qual è la probabilità di ottnr una pallina nra? [R ] 7) Una popolazion è formata da si lmnti. Du di ssi prsntano la carattristica A quattro la carattristica B (ad smpio, su si prson du sono maschi quattro fmmin; su si pallin du sono bianch quattro nr, così via). Sclti a caso tr lmnti, qual è la probabilità ch tal campion rispcchi sattamnt la composizion dlla popolazion, cioè ch un lmnto prsnti la carattristica A du prsntino la carattristica B? [R. 0,6] 8) In una fabbrica vi sono tr macchin automatich. L probabilità ch richidano in un ora l intrvnto di un opraio sono rispttivamnt 0,, 0,4 0,5. Dir qual è la probabilità ch in un ora l opraio dbba intrvnir: a) su nssuna macchina; b) su almno una macchina. [R. a) 0,4; b) 0,76] 9) Claudia sfida Viola a tnnis a ping-pong. Ambdu l gar si concludranno con una vittoria o con una sconfitta, snza parggio. La probabilità ch Claudia vinca a tnnis è 0,3, ch vinca a ping-pong è 0,8. Calcolar la probabilità ch Claudia vinca: a) sattamnt una gara; b) almno una gara. [R. a) 0,6; b) 0,86] 0) La probabilità ch una prsona di 5 anni giunga in vita all tà 75 è 0,57 pr una donna 0,5 pr un uomo. Du vnticinqunni si sposano. Qual è la probabilità ch giunga in vita all tà 75: a) uno solo di du; b) nssuno di du; c) almno uno di du? [R. a) 0,497; b) 0,064; c) 0,7936] ) Una cuoca, non troppo sprta, prpara il pranzo. Vi è la probabilità 5 ch la minstra risulti salata, ch risulti insipida, 6 ch l arrosto si bruci. Qual è la probabilità ch il pranzo risca bn? [R. 4 ] ) In una class formata da stt ragazzi nov ragazz si sortggiano tr prson da mandar in gita prmio. Qual è la probabilità ch il gruppo: a) sia formato da du maschi una fmmina; b) comprnda almno un maschio? [R. a) 0,3375; b) 0,85] 4

5 3) Si straggono du cart da un mazzo da quaranta. Calcolar la probabilità di ottnr, nll ordin, una figura una carta di cuori. [R. 0,075] 4) Compilando una schdina a caso, qual è la probabilità di indovinar almno un risultato? [R ] 5) Qual è la probabilità ch, su quattro prson, almno du fstggino il complanno lo stsso ms? (Trascurar il fatto ch l nascit possono ssr più frqunti in crti msi piuttosto ch in altri). [R ] 6) Dtrminar qual è il minimo valor di n pr cui è suprior a 0,5 la probabilità ch, su n prson, almno du compiano gli anni lo stsso giorno. [R. 3] 7) Dimostrar ch, lanciando du volt una monta truccata, la probabilità ch si prsntino du facc uguali supra la probabilità ch si prsntino du facc divrs. (Avv.: Dtt p la probabilità ch sca tsta q qulla ch sca croc, ci si riconduc alla disuguaglianza (p q) > 0, smpr vra pr p q). 8) «Siano A B du vnti incompatibili indipndnti. Sapndo ch p(a B) = 0,7 p(a B) = 0,, dtrminar p(a) p(b). [R. p(a) = 0,3 p(b) = 0,4 oppur p(a) = 0,4 p(b) = 0,3]». Qual rror è contnuto nl tsto di qusto srcizio? 9) Inizio a giocar a battaglia naval. Dopo avr sparato a caso il primo colpo, s apprndo dall avvrsario ch è andato a sgno, crco col scondo colpo di colpir di nuovo la nav individuata. Nlla situazion: qual probabilità ho di affondar la nav più piccola con i primi du colpi. [R ] 0) Du giocatori di pari abilità disputano una sri di partit. Vincrà chi pr primo avrà totalizzato quattro vincit. Quando il primo giocator sta conducndo pr a, dcidono d intrrompr la partita dividr la posta, ch è di 64 uro, proporzionalmnt alla probabilità di vittoria di ciascun giocator. Com va ripartita la posta? (Avv.: Aiutarsi con il sgunt schma calcolar la probabilità di vittoria dl scondo giocator, tnndo prsnt ch sul - ntrambi i giocatori hanno la stssa probabilità di vittoria: 5

6 vinc il primo giocator vinc il scondo giocator vinc il scondo giocator [R. 44 uro al primo giocator 0 al scondo] 5.) Costruir lo spazio di probabilità rlativo al lancio di un dado, condizionato all vnto sc un numro minor di 5. ) Un dado truccato ha la sgunt distribuzion di probabilità: vnti sc sc sc 3 sc 4 sc 5 sc 6 lmntari probabilità 0, 0,04 0, 0,06 0,5 0, Costruir lo spazio di probabilità condizionato all vnto è uscito un numro dispari. [R. scono l o il 3 o il 5 rispttivamnt con probabilità 0,5; 0,5; 0,65] 3) Si lanciano quattro mont. Costruir lo spazio di probabilità rlativo al numro di tst uscit condizionato all vnto è uscita tsta nlla prima monta. [R.,, 3, 4 tst rispttivamnt con probabilità 0,5; 0,375; 0,375; 0,5] 4) Pr una partita di calcio, l probabilità di tr vnti, X, sono stimat rispttivamnt con 0,4; 0,36; 0,4. Costruir lo spazio di probabilità condizionata all vnto non c è stato un parggio. [R. con probabilità 0,65 con probabilità 0,375] 5) Si lanciano du dadi. Gli vnti è uscito almno un la somma di numri usciti è 6 sono indipndnti? [R. no] 6) Si lanciano du dadi. Gli vnti col primo dado è uscito un numro pari la somma di du numri usciti è 7 sono indipndnti? [R. sì] 7) Fra gli studnti di un istituto, il 6% ha dbito formativo in italiano il 5% in matmatica. Dir s i du vnti sono indipndnti nll ipotsi ch la prcntual dgli studnti con dbito formativo in ntramb l matri sia: a) il 0%; b) il 4%. [R. a) no; b) sì] 8) Si stra una carta da un mazzo da quaranta. Gli vnti sc una carta di picch sc una figura sono indipndnti? [R. sì] 6

7 9) Si straggono du cart da un mazzo da quaranta. Gli vnti scono du cart di picch scono du figur sono indipndnti? [R. no] 6.) Si lancia dodici volt una monta. Calcolar la probabilità ch scano cinqu, oppur si, oppur stt tst. [R ] ) Si lancia vnti volt una monta. Calcolar la probabilità ch il numro dll tst sia suprior a quattro infrior a sdici. (Avv.: Dtrminar prima la probabilità dll vnto contrario). [R. circa 0,988] 3) In un urna vi sono quattro pallin bianch du nr. Si straggono quattro pallin. Qual è la probabilità ch siano du bianch du nr? E s si rimtt ogni volta la pallina stratta nll urna? [R. 5 ; 8 7 ] 4) In un urna vi sono cinqu pallin bianch cinqu nr. Si straggono si pallin. Qual è la probabilità ch siano tr bianch tr nr? E s si rimtt ogni volta la pallina stratta nll urna? [R. 0 ; 5 6 ] 5) In un urna vi sono cinqu pallin bianch cinqu nr. Estraggo cinqu pallin. Qual è la probabilità ch siano tr di un color du dll altro? [R ] 6) Si sprimnta su otto pazinti l fficacia di un farmaco, ottnndo i sgunti risultati: guariti non guariti hanno assunto il 3 farmaco non hanno assunto 3 il farmaco Qual è la probabilità ch l fficacia dl farmaco sia solo apparnt, sia stata ottnuta pr puro caso? (Avv.: È com strarr quattro pallin da un urna ch n contin quattro bianch quattro nr, d ottnrn almno tr bianch) [R. 7 70, troppo lvata pr potr considrar fficac il farmaco] 7) Un satllit trasmtt sgnali in codic binario {0, }. La probabilità ch un sgnal vnga intrprtato corrttamnt è 0,8 ( di consgunza è 0, la probabilità ch vnga intrprtato in modo rrato, cioè s è 0 0 s è ). Ogni sgnal è riptuto cinqu volt a trra è intrprtato a maggioranza (cioè oppur 0 a sconda di com è la maggioranza di sgnali). Qual è la probabilità ch il sgnal cosi riptuto vnga intrprtato in modo rrato? [R. 0,0579] 8) Lanciando tr dadi, scommttndo sulla somma di numri usciti, convin puntar sul nov o sul dici? [R. sul dici; l du probabilità sono ] 9) Du giocatori di pari abilità disputano una sri di cinqu partit, ognuna dll quali si concludrà ncssariamnt con una vittoria. Qual è la probabilità ch la gara trmini con un solo punto di distacco dl vincitor sul prdnt? [R. 0,65] 0) In uno scatolon sono posti, alla rinfusa, cinqu paia di scarp. Scgliamo a caso quattro scarp. Qual è la probabilità di ottnr: a) du paia di scarp; b) nssun paio di scarp; c) sattamnt un paio di scarp; d) almno un paio di scarp? 7

8 (Avv.: Una volta risposto ad a) b), si può rispondr facilmnt a c) ricordando il torma dlla probabilità dll vnto contrario; d) è l vnto contrario a b) pr cui...). [R. ; 8 ; 4 7 ; 3 ] ) Si prson si distribuiscono a caso in tr scompartimnti di una vttura frroviaria. Qual è la probabilità ch si dispongano: a) tutt in un solo scompartimnto; b) du pr scompartimnto; c) tr, du una pr scompartimnto? (Avv.: Indicati con a, b, c i tr scompartimnti, ad smpio la squnza a a b a b c significa... pr cui i casi possibili sono...) [R. 43 ; 0 8 ; 40 8 ] ) Si prndono quattro cart da un mazzo da quaranta. Qual è la probabilità ch: a) nssuna sia una figura; b) sattamnt una sia una figura; c) sattamnt du siano figur; d) almno tr siano figur? [R. a) 0,4; b) 0,430; c) 0,73; d) 0,073 circa] 3) Si prndono quattro cart da un mazzo da quaranta. Qual è la probabilità ch siano: a) tutt di sm divrso; b) du di cuori du di fiori; c) du di un sm du di un altro? [R. circa 0,09; 0,0; 0,33] 4) Gioco a pokr con tr amici con 3 cart: 7, 8, 9, 0, J, Q, R, A. Qual è la probabilità ch ricva srvito: a) una scala ral; b) un pokr; c) color (tutt l cart dllo stsso sm); d) un full; ) un tris? [R. a) ; b) 899 ; c) 899 ; d) ); ) ] RISPOSTE AD ALCUNI ESERCIZI 4.) Può smbrar corrtta la soluzion = ottnuta moltiplicando l 3 probabilità ch la minstra non sia salata, ch la minstra non sia insipida ch l arrosto non sia bruciato. Essa è tuttavia rrata. Ci si può convincr di qusto fatto ossrvando ch, s la minstra risultass salata con probabilità insipida con probabilità, allora la probabilità ch la minstra vada bn sarbb vidntmnt 0, non =. L rror consist nl supporr i du vnti indipndnti. Invc, s la 4 minstra non è salata, la probabilità ch non sia insipida diminuisc. La soluzion corrtta si ottin ossrvando ch la probabilità ch la minstra sia salata o insipida è 5 + = 7 7, quindi la probabilità ch la minstra vada bn risulta 0 0 = 3 0. La probabilità richista è prtanto: = ) Supponiamo ch l prson siano (n = ). La prima è nata in un crto giorno. La probabilità ch la sconda non sia nata in qul giorno (non si considrano anni bisstili) 8

9 è 364 0,9976, quindi ch abbiano lo stsso complanno è 0,9976 = 0, Supponiamo ora ch l prson siano 3 (n = 3). La probabilità ch du qualsiasi di ss non abbiano lo stsso complanno è ,998, quindi ch almno du 365 abbiamo lo stsso complanno è circa 0,998 = 0,008. In gnral, la probabilità ch di n prson du non abbiamo stsso complanno è n+ ( ) 365 n. Al crscr di n tal probabilità diminuisc val circa 0,543 pr n = 0,497 pr n = 3. Quindi, pr n =, la probabilità ch du prson abbiano lo stsso complanno è circa 0,543 = 0,4757, pr n = 3, è circa 0,497 = 0,5073, ossia maggior di 0,5. In altr parol, prs a caso 3 prson, è più probabil ch almno du abbiano lo stsso complanno piuttosto ch il contrario. A titolo di curiosità, tal probabilità sal a circa 0,7063 pr n = 30, a 0,89 pr n = 40, a 0,9703 pr n = 50. Qusto smpio è considrato un paradosso dlla probabilità: dal punto di vista intuitivo, non smbra accttabil ch bastino 3 prson pr rndr maggior di 0,5 la probabilità ch almno du di ss siano nat nllo stsso giorno. Ciò driva dal fatto ch è raro incontrar prson ch fstggino il complanno nl nostro stsso giorno. Bisogna tuttavia tnr distinto il problma di trovar fra n prson du ch siano nat lo stsso giorno qullo di trovar una prsona ch sia nata nllo stsso giorno di una sclta fra l n. In qusto scondo caso, la probabilità ch, sclta una di n prson, l n 364 altr siano nat in giorni divrsi da ssa è quindi ch v n sia almno una 365 con lo stsso complanno di qulla sclta è 364 n. Anch qust ultimo valor 365 crsc con n, ma molto più lntamnt. Pr n = 50 è circa 0,58, pr n = 80 è circa 5 divnta maggior di solo pr n = 54. Inoltr, pr n = 366 è circa tnd a solo 3 al tndr di n all infinito (nl caso prcdnt è pr n = 366). 4.8) S du vnti sono incompatibili, allora sono dipndnti; il ralizzarsi di uno di du rnd nulla la probabilità dll altro. 4.0) Calcoliamo la probabilità di vittoria dl scondo giocator quando il puntggio è - in favor dl primo giocator. Dopo un altra partita, con probabilità il puntggio passa sul 3- con probabilità sul -. Nl primo caso, com mrg dal diagramma ad albro, la probabilità di vittoria dl scondo giocator è, mntr nl scondo, 8 ssndo i giocatori in parità, è. In dfinitiva, la probabilità di vittoria dl scondo giocator è 8 + = 5. Qulla dl primo è quindi la posta va ripartita in 6 6 parti proporzionali a 5. Problmi com qusto hanno avuto un ruolo important nlla storia dlla toria dlla probabilità. Erano dtti problmi dlla suddivision dlla posta consistvano appunto nllo stabilir com du giocatori, in caso di intrruzion di una partita, dovssro spartirsi la posta. Nlla sua soluzion si cimntarono con siti dludnti molti 9

10 matmatici (tra cui Luca Pacioli, Niccolò Tartaglia, Grolamo Cardano): solo i fondatori dl calcolo dll probabilità, Blais Pascal Pirr d Frmat, lo risolsro in modo soddisfacnt. C 6.),5 +C,6 +C,7. ( ) 6.) C 0,0 +C 0, +C 0, +C 0,3 +C 0, ) 6.4) C 4, C, C 6,4 ( C 5,3 ) C 0,6 C 4, 3 C 6, ) C 5,3 C 5, C 0,5. 6.6) C 4,4 +4 C 4,3. C 8,4 6.7) 0, , 4 0,8+C 5, 0, 3 0,8. 6.8) La risoluzion di qusto srcizio ha l su radici nlla pristoria dl calcolo dll probabilità com protagonista Galilo Galili. Alcuni giocatori gli avvano posto il sgunt qusito rlativo alla probabilità di ottnr un crto puntggio lanciando tr dadi. Essi si rano accorti ch il 9 ra svantaggiato risptto al 0, ma non sapvano rndrsn ragion prché sia il 9 sia il 0 potvano ssr ottnuti con 6 possibilità: pr il 9: pr il 0: Il punto è, com ossrva Galilo, ch i casi con tr siti divrsi, com --6, si possono ralizzar in si modi (++6, +6+, ++6, +6+, 6++, 6++), i casi con du siti uguali, com -4-4, in tr modi (+4+4, 4++4, 4+4+) i casi con tr siti uguali, com 3-3-3, in un modo solo (3+3+3). Di 6 possibili siti v n sono 5 favorvoli al 9 7 favorvoli al ) C 5,3 +C 5, 5 = 0, ) Indichiamo con A, A, B, B, C, C, D, D, E, E l dici scarp. N straiamo 4. I casi possibili sono C 0,4 = 0 a) L combinazioni ch contngono sattamnt du paia di scarp: A A B B,A A C C,... D D E E sono C 5, = 0, pr cui la probabilità è 0 0 =. b) Pr dtrminar l combinazioni ch non contngono alcuna coppia, scgliamo 4 tra A, B, C, D, E, ciò può ssr fatto in 5 modi. Poi mttiamo gli indici in tutti i modi possibili:,,,;,,,;,,,;...,,, ch sono 6. I casi favorvoli sono 5. 6 = 80, pr cui la probabilità è 8. 0

11 c) + 8 = 4 7. d) = 3. Al punto b) si può rispondr più rapidamnt con la rgola dlla probabilità composta. Scglir la prima scarpa qualsiasi, la sconda di un paio divrso dalla prima, la trza di un paio divrso dall prim du la quarta di un paio divrso dall prim tr ha probabilità = 8. 6.) Indicati con a, b, c i tr scompartimnti, la squnza a a b a b c significa prima prsona in a, sconda in a, trza in b, quarta in a, quinta in b ssta in c. I casi possibili sono quant l squnz, ossia l disposizioni con riptizion di 3 oggtti a 6 a 6 = 3 6 = 79. a) I casi favorvoli sono vidntmnt 3, pr cui la probabilità è 43. b) I casi favorvoli sono C 6, C 4,, pr cui la probabilità è 0 8. c) I casi favorvoli sono C 6,3 C 3, 3!, pr cui la probabilità è ) a) C 8,4 ; b) C 8,3 ; c) C, C 8, ; d) 8 C,3 + C,4 C 40,4 C 40,4 C 40,4 C 40,4 C 40,4 la somma di quanto ottnuto in a), b) c). ch è ugual a 6.3) a) 04 C 40,4 0,09. b) C 0, C 0, C 40,4 0,0. c) C 4, C 0, C 0, C 40,4 0, ) I casi possibili sono C 3,5 = a) Pr ciascun sm l scal rali sono 5, pr cui la probabilità è = b) Un pokr si ottin accostando a quattro 7, o a quattro 8, o a quattro 9,... (8 8 8 possibilità) una dll rstanti 8 cart; la probabilità è = C c) 8, = 899. d) Un full si ottin scglindo un tris qualsiasi (8. 4 possibilità) una coppia di altro valor (7. 6 possibilità), pr cui la probabilità è = ) Pr avr srvito un tris d assi, i casi favorvoli si ottngono scglindo un tris d assi (4 possibilità) du cart fra l rimannti 8, ossia C 8, = 378. Pr scludr il caso dl full, bisogna ch l du cart non formino una coppia. Ciò riduc i casi a 336. La probabilità è = 6. Pr passar al caso di un tris qualsiasi, basta 899 moltiplicar pr 8 la probabilità è

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