0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = a x si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y.

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2 INTRODUZIONE Ossrviamo, in primo luogo, ch l funzioni sponnziali sono dlla forma a con a costant positiva divrsa da (il caso a è banal pr cui non sarà oggtto dl nostro studio). Si possono allora vrificar i sgunti du casi (si raccomanda di analizzar i du casi paralllamnt di ffttuarn la lttura in snso vrtical): I CASO II CASO < a < a > In ntrambi i casi la funzion a si può studiar pr punti constatar ch ssa prsnta i sgunti andamnti È facil vrificar ch: Poiché l funzioni sponnziali, com si vinc dai du grafici prcdnti, sono dfinit su tutto l ass ral, il loro campo di sistnza coincid con il campo di sistnza dll sponnt a A (, ) a A (, ) L funzioni non prsntano intrszioni con l ass dll L funzioni sono smpr positiv indipndntmnt dal loro sponnt lim a + lim a ( è un asintoto orizzontal sinistro) lim a + lim a ( è un asintoto orizzontal dstro) La funzion è smpr dcrscnt La funzion è smpr crscnt La rgola di drivazion dll funzioni sponnziali vrrà illustrata ngli smpi ch sguono Ossrviamo, infin, ch, nl nostro studio, ci occuprmo sclusivamnt dll funzioni sponnziali avnti pr bas il numro di Npro >.

3 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzion data è sponnzial d il suo sponnt è un polinomio, ssa risulta dfinita su tutto l ass ral, cioè: C.E. { R: < < + } INTERSEZIONI CON GLI ASSI. Pr dtrminar l intrszion dlla funzion con gli assi cartsiani occorr risolvr, com di consuto, i sgunti du sistmi:,36 mai A, è il punto di intrszion dlla funzion con l ass prché, com si vinc dai du grafici sopra riportati, l funzioni sponnziali, indipndntmnt dall sponnt, non intrscano mai l ass dll SEGNO DELLA FUNZIONE. Anch in qusto caso, pr lo studio dl sgno dlla funzion, occorr risolvr la disquazion: > N sgu: > > smpr prché, com si vinc dai du grafici introduttivi, l funzioni sponnziali, indipndntmnt dai loro sponnti dall loro basi, sono smpr situat al di sopra dll ass. N sgu: LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Calcoliamo ora i limiti dlla funzion sponnzial assgnata ricordando l rgol riportat nlla nota introduttiva. Risulta, prtanto: ( ) ( lim lim ) lim lim ( ) lim( ) lim( ) + lim lim + ( ) N sgu ch, pr ±, la + : dunqu la funzion non ha asintoti orizzontali. STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Ricordando ch: f ( ) f ( ) ( ) '( ) D f si ottin: ( ) ( ) ( ) D D > 3

4 Pr dtrminar i punti di massimi di minimo dlla funzion, bisogna smpr risolvr la disquazion: D() > cioè: > > > > > smpr N sgu ch la drivata prima è positiva pr >, cioè: Dcrscnza Crscnza Pr, valor in cui la drivata prima si annulla, la funzion prsnta un minimo m.,36 Dunqu m, è il punto di minimo, ovvro m A. Ossrvazioni.. Ogni funzion sponnzial è dfinita dov è dfinito il suo sponnt.. L funzioni sponnziali sono smpr positiv. 3. Nllo studio dlla drivata prima è sufficint andar a studiar la drivata dll sponnt. IL GRAFICO. Unndo tutt l informazioni ottnut, si avrà il sgunt grafico dlla funzion: m m, 4

5 3 + CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzion data è ancora sponnzial d il suo sponnt è un polinomio, ssa risulta dfinita su tutto l ass ral, cioè: C.E. { R: < < + } INTERSEZIONI CON GLI ASSI ,7 + 3 A (, ) è il punto di intrszion dlla funzion con l ass non ci sono intrszioni con l ass dll mai SEGNO DELLA FUNZIONE. Anch in qusto caso, pr lo studio dl sgno dlla funzion, occorr risolvr la disquazion: > N sgu: > 3 + > smpr prché è una funzion sponnzial, cioè: > LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: ( ) ( ) ( ) lim + lim lim lim ( ) ( ) ( ) lim + lim + lim lim N sgu ch, pr, la : dunqu la rtta, ovvro l ass, è un Asintoto Orizzontal sinistro (la funzion, cioè ci tnd solo da sinistra). A.O.S.: STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Si ha: ( ) ( ) ( ) D D da cui: > > 3 + > ( èun quadrato) smpr smpr ( èuna funzion sponnzial) 5

6 N sgu ch la drivata prima è smpr positiva, cioè la funzion è smpr crscnt ovvro non ha né massimi né minimi: Crscnza IL GRAFICO. Unndo tutt l informazioni ottnut, si avrà il sgunt grafico dlla funzion: A 6

7 + CAMPO DI ESISTENZA. Anch qusta funzion è sponnzial ma il suo sponnt è una frazion, motivo pr cui ssa risulta dfinita su tutto l ass ral trann ch ni punti in cui il dnominator dlla frazion si annulla, cioè: C.E. { R: + } { R: } { R: < <, < < + } N sgu subito ch la rtta è un asintoto vrtical pr la funzion assgnata. A.V.: INTERSEZIONI CON GLI ASSI SEGNO DELLA FUNZIONE. Si ha: mai A (,) è il punto di intrszion dlla funzion con l ass non ci sono intrszioni con l ass dll > + > smpr in quanto si tratta di una funzion sponnzial, cioè: LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: + lim lim lim lim + lim lim > lim lim N sgu ch, pr ±, la : dunqu la rtta è un Asintoto Orizzontal sia dstro ch sinistro (la funzion, cioè ci tnd sia da dstra ch da sinistra). A.O.: STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Si ottin: + + D D ( ) ( ) ( ) ( )

8 da cui: + > + smpr ( in quanto funzion sponnzial) > ( + ) > smpr ( in quanto il dnominator èun quadrato) ( + ) N sgu ch la drivata prima è smpr positiva, cioè la funzion è smpr crscnt (chiaramnt all intrno dl campo di sistnza), ovvro non sistono né massimi né minimi Crscnza IL GRAFICO. Unndo tutt l informazioni ottnut d ossrvando ch pr la funzion prsnta un buco in quanto non è dfinita, si avrà il sgunt grafico: - 8

9 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché si tratta ancora di una funzion sponnzial con sponnt frazionario, si ha: C.E. { R: } { R: } { R: < <, < < + } N sgu subito ch la rtta, ovvro l ass dll, è un asintoto vrtical pr la funzion assgnata. A.V.: INTERSEZIONI CON GLI ASSI. Si ossrvi in primo luogo ch non ci possono ssr intrszioni con l ass, in quanto tal rtta è un asintoto vrtical pr la funzion ch, quindi, non è dfinita pr. È inutil, prtanto, risolvr il primo di du soliti sistmi!!! Inoltr, ssndo una funzion sponnzial, ssa non ha nanch intrszion con l ass dll. Dunqu la funzion data non intrsca nssuno di du assi cartsiani. SEGNO DELLA FUNZIONE. Si ha: > > smpr in quanto si tratta di una funzion sponnzial, cioè: LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: > lim lim lim lim + lim lim lim lim lim lim N sgu ch, pr ±, la : dunqu la rtta è un Asintoto Orizzontal sia dstro ch sinistro (la funzion, cioè ci tnd sia da dstra ch da sinistra). A.O.: STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Si ottin: ( ) + + D D

10 da cui: smpr ( in quanto funzion sponnzial) + > > > < ( ) < > 4 4 > smpr smpr smpr ( in quantofunzion sponnzial) < < smpr cioè: Dcrscnza m Crscnza M Dcrscnza Ossrviamo innanzitutto ch il minimo non sist prché in abbiamo già dtto ch la funzion non è dfinita. Prtanto si ha: Dunqu 4,8 M 4, è il punto di Massimo pr la funzion. IL GRAFICO. Unndo tutt l informazioni ottnut, si avrà il sgunt grafico dlla funzion: M

11 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché si tratta ancora di una funzion sponnzial con sponnt frazionario, si ha: C.E. { R: } { R: } { R: < <, < < + } N sgu subito ch la rtta è un asintoto vrtical pr la funzion assgnata. A.V.: INTERSEZIONI CON GLI ASSI. SEGNO DELLA FUNZIONE. Si ha: > A (,) è il punto di intrszion dlla funzion con l ass non ci sono intrszioni con l ass dll mai > smpr in quanto si tratta di una funzion sponnzial, cioè: > LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: lim ( ) lim lim lim lim lim ( ) lim lim lim lim N sgu ch, pr, la : dunqu la rtta, ovvro l ass, è un Asintoto Orizzontal sinistro (la funzion, cioè ci tnd solo da sinistra). A.O.S.: STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Si ottin: ( ) D D ( ) ( ) ( )

12 da cui: smpr ( in quantofunzionsponnzial) > > ( > ( ) ) > > ( ) ( ) > smpr smpr ( in quantofunzion sponnzial) <, > smpr cioè: Crscnza M Dcrscnza m Crscnza 4 54,6 Dunqu, M (,) minimo. 4 A è il punto di Massimo pr la funzion d m (, ) è il suo punto di IL GRAFICO. Unndo tutt l informazioni ottnut, si avrà il sgunt grafico dlla funzion: 4 m M

13 + CAMPO DI ESISTENZA. Poiché si tratta ancora di una funzion sponnzial, avnt pr sponnt un polinomio, moltiplicata pr un altro polinomio, si ha: C.E. { R: < < + } INTERSEZIONI CON GLI ASSI A (,) O A (,) O + mai è il punto di intrszion dlla funzion con l ass è il punto di intrszion dlla funzion con l ass Dunqu l unico punto di intrszion dlla funzion con gli assi cartsiani è proprio l origin. SEGNO DELLA FUNZIONE. Si ha: > + > > + > smpr ( in quantoun quadrato) smpr ( in quantofunzionsponnzial) LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: lim lim lim + ( ) ( + ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( + ) ( ) ( ) + lim lim lim + + fi Snza addntrarci troppo ni calcoli di limiti, ricordiamo smplicmnt ch, pr ±, l sponnziali tndono a zro più vlocmnt di tutt l potnz ch, a loro volta, tndono a zro più vlocmnt dll logaritmich. N sgu, allora, ch il limit pr + è pari al valor dlla funzion più vloc, ovvro, nl caso spcifico, dll sponnzial. Dunqu: ( ) lim lim > Prtanto, pr +, la : dunqu la rtta è un Asintoto Orizzontal dstro (la funzion, cioè ci tnd solo da dstra mntr a sinistra tnd ad infinito). A.O.D.:

14 STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Ricordando ch: D f ( ) g ( ) D f ( ) g( ) + f ( ) D g( ) si ottin: ( ) + ( ) ( ) D da cui: + ( ) > + > > smpr ( in quantofunzionsponnzial) ( ) < cioè: smpr ( in quantofunzionsponnzial) < smpr ( in quantofunzionsponnzial) < < Dcrscnza m Crscnza M Dcrscnza A O Dunqu, m (,) O è il punto di minimo pr la funzion d (,4) Massimo. IL GRAFICO. Unndo tutt l informazioni ottnut, si avrà il sgunt grafico dlla funzion: M è il suo punto di 4 M 4

15 + CAMPO DI ESISTENZA. Qusta volta siamo di front ad una funzion sponnzial, avnt pr sponnt smpr un polinomio, ma la funzion stssa è moltiplicata pr una frazion, motivo pr cui risulta dfinita su tutto l ass ral trann ch ni punti in cui il dnominator dlla frazion si annulla, cioè: C.E. { R: } { R: < <, < < + } N sgu subito ch la rtta, ovvro l ass, è un asintoto vrtical pr la funzion assgnata. A.V.: INTERSEZIONI CON GLI ASSI. Ossrviamo in primo luogo ch non ci possono ssr intrszioni con l ass, in quanto tal rtta è un asintoto vrtical pr la funzion ch, quindi, non è dfinita pr. È inutil, prtanto, risolvr il primo di du soliti sistmi!!! mai mai A (,) è il punto di intrszion dlla funzion con l ass SEGNO DELLA FUNZIONE. Si ha: + + > + > > > > > smpr > > smpr ( in quantofunzionsponnzial) > < > LIMITI AGLI ESTREMI DEL CAMPO DI ESISTENZA. Risulta: ( ) lim lim lim lim ( ) ( ) + ( ) lim lim lim lim ( ) ( )

16 Prtanto, pr +, la : dunqu la rtta è un Asintoto Orizzontal dstro (la funzion, cioè ci tnd solo da dstra mntr a sinistra tnd ad infinito). A.O.D.: STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA. Risulta: + ( + ) + + D ( ) ( + ) da cui: > smpr ( in quantofunzionsponnzial) > > > > smpr ( in quantofunzionsponnzial) smpr + + < mai ( < ) smpr ( in quantoè un quadrato) smpr cioè: Dcrscnza Dunqu la funzion è smpr dcrscnt, ovvro non ci sono né massimi né minimi. IL GRAFICO. Unndo tutt l informazioni ottnut, si avrà il sgunt grafico dlla funzion: A 6

17 ESERCIZI PROPOSTI Studiar l sgunti funzioni sponnziali: ( ) ( ) + ( )