Soluzione. Un punto generico ha coordinate ( x, y) Per cui. Le coordinate del centro sono allora

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1 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola Soluzion Un punto gnrico ha coordinat, pr cui si ha: PO PA Pr cui PO PA [ ] L coordinat dl cntro sono allora O,, è R. C, d il raggio, visto ch la circonfrnza passa pr

2 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola Calcolo punto B: ± Pr cui, B La tangnt alla circonfrnza nl punto, B avrà quazion Ora pr il calcolo dl cofficint angolar si possono sguir du strad, ch ostrro ntrab. La pria si basa sulla risoluzion dl sista E sulla succssiva iposizion dlla condizion di tangnza, cioè discriinant nullo. Risolvndo si ha: Ora iponndo si ha: L altro odo di procdr, piu splic d intuitivo, è di utilizzar l drivat, ricordando ch il cofficint angolar dlla tangnt è il valor dlla drivata nll ascissa dl punto di tangnza. In tal caso prò va splicitata pria la circonfrnza co una noral funzion, cioè dobbiao

3 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola sprirla co f. Risulta chiaro ch in tal caso si ha: ± In tal caso, dovndo calcolar la tangnt in un punto ch si trova nl prio quadrant, allora va considrata la sicirconfrnza ch si trova nl prio quadrant di quazion drivata è ', pr cui il cofficint angolar sarà f '. Il risultato trovato è idntico al prcdnt, a privo di tanti calcoli. L quazion dlla tangnt sarà allora: la cui Considriao la figura sottostant: A noi intrssa calcolar o l angolo OB ˆ C o il suo supplntar, cioè qullo acuto tra i du. Innanzitutto in tal caso ossrviao ch il triangolo OBC è isoscl.

4 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola Infatti OB BC, pr cui OBC ˆ BOˆ C Ma la rtta OB ha quazion pr cui ˆ B OC arctan pr cui ˆ O BC cioè OB ˆ C è ottuso. Pr cui l angolo acuto richisto sarà La cubica di quazion a b c d passa pr l origin O, qusto iplica d Inoltr passa pr B, qusto coporta a b c a b c. La prsnza dl flsso a tangnt orizzontal in, coporta altr du condizioni: f ' f '' a b c c a b b b Quindi la cubica avrà quazion a Qusta funzion è dfinita i tutto R, incontra l ass dll asciss dll ordinat nl suo flsso,, è positiva in,, è crscnt in,,. Il suo grafico è il sgunt:

5 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola 5 L ara richista è prtanto: d AREA

6 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola Soluzion Studiao la funzion Doinio: la funzion è dfinita in tutto R. Intrszion ass dll asciss: ; Intrszion ass dll ordinat: ; Positività: > > > > ; Atoti vrticali: visto il doinio non sistono atoti vrticali; Atoti orizzontali: [ ] [ ] li, li pr cui la rtta è atoto orizzontal; Atoti obliqui: [ ] [ ] li, li pr cui non sistono atoti obliqui; Crscnza dcrscnza: flsso dl è l'ascissa ln ' ' ln ' ± > > >

7 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola pr cui ln è l ascissa Inoltr '' ln > dl inio rlativo. Il grafico è sotto prsntato: Calcolo punto A: 5 ln 5 A [ ln 5, 5 ] 5 5 La tangnt alla curva di quazion nll origin, ha quazion con ' pr cui la tangnt ha quazion. La tangnt alla curva di quazion in [ ln 5, 5 ] ln 5 5 con ' ln ln 5 5. A ha quazion quazion pr cui la tangnt ha quazion 7

8 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola Si considri la figura sottostant pr il calcolo dll ara: Il punto ad ascissa ln ha ordinata pari a l ara richista è pari a: ln S [ ] d ln

9 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola

10 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola Soluzion Bisogna calcolar il liit sgunt: cos li Esso può ssr scritto nl odo sgunt: cos li cos li cos li Ora distinguiao i liiti dstro istro: cos li, cos li pr cui il liit cos li val cos li. Un altro odo pr calcolarlo è sfruttar gli sviluppi di Talor: cos 5 o o pr cui sostitundo tralasciando gli o-piccolo si ha: li li li cos li cos li Ora distinguiao i liiti dstro istro:

11 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola li, li Pr cui anch in tal caso abbiao ottnuto il risultato prcdnt. Un ultrior via è qulla di applicar D l Hospital, ch lasciao al lttor. La funzion arctan ha co doinio tan tan. Considriao ora il sgunt sista ch risolv la disquazion suddtta: tan Si considri la figura sgunt: La disquazion è soddisfatta allora nll intrvallo [ ], ni sgunti intrvalli:, 7 5,,

12 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola Il valor dio di una funzion f Nl nostro caso si ha: V M [ tan ] in un intrvallo [ b] V M f d b a b a a, è pr dfinizion cos tan d d d cos cos La funzion, è continua drivabil in tutto R d in particolar nll intrvallo [,] pr cui ad ssa è applicabil il tora di Lagrang, cioè c ', : f c f f Ora cui solo 5 f c, f, f ' c pr cui si dv risolvr l quazion c è accttabil prché intrno all intrvallo [,]. c c ± di La diostrazion la ffttuiao pr via trigonotrica Si considri la figura sgunt ch rapprsnta la gotria dl probla.:

13 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola Ora: CH CO OH OH OB α r cosα CH r [ cosα ] HB r α r OH f α CH AB CH HB r [ cosα ] r α r[ cosα α ] Ora i liiti gotrici ipongono α,. Pr calcolar il assio dlla funzion calcoliao l drivat, pria sconda: f ' α r[ α cosα ] r cosα [ tanα ] Ora in α, si ha r cosα pr cui arctan f ' α r cosα [ tanα ] tanα α. Inoltr f '' α r [ cosα α ] r cosα tanα arctan f '' r tan α tanα r 7 < tanα pr cui il valor ch assiizza la soa dll altzza dl doppio dlla bas è arctan α. Considriao la figura sottostant:

14 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola La risposta prsntata dalla traccia è falsa dal onto ch l'insi di punti nllo spazio quidistanti da A B, distinti, è il piano prpndicolar, nl punto dio M dl sgnto AB, al sgnto stsso AB. Infatti dalla figura soprastant si vinc ch s P è un punto di tal piano, ssndo PA PB l ipotnus di du triangoli rttangoli PMA PMB, d ssndo MAMB, si ha PAPB. Ora bisogna ostrar ch i punti di tal piano p sono gli unici. Cioè supponiao pr assurdo ch sista un punto Q appartnnt ad un piano p diffrnt da p tal ch QAQB. Allora il triangolo QAB sarà isoscl su AB QM sarà prpndicolar in M alla rtta AB; a in tal odo sistrbbro du piani prpndicolari ad una rtta nllo stsso punto, cosa qusta ipossibil. Pr cui sist uno d un solo piano i cui punti sono quidistanti da du punti distinti. Un ultrior odo pr diostrar quanto dtto, in anira no analitica più intuitiv, è ricordar ch in un piano α contnnt du punti distinti A B il luogo di punti quidistanti da A B è l ass dl sgnto. Ora s si fa ruotar qusto piano α contnnt A B in odo da considrar gli infiniti piani passanti pr A B, l ass dl sgnto dscrivrà l intro piano α. Pr cui pr ogni punto P dl piano α val PAPB co vidnziato dalla figura sottostant. 7 Dobbiao discutr la continuità drivabilità dlla funzion arctan f nl punto. Innanzitutto vdiao la continuità:

15 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola li arctan li arctan arctan li Quindi la funzion è continua in. arctan li * arctan * Vdiao ora la drivabilità calcolando la drivata pria pr : Ora arctan * arctan * arctan ' liarctan liarctan arctan arctan Quindi li f ' non sist pr cui la funzion è continua a non è drivabil in ; in particolar in prsnta un punto angoloso. Si considri la figura sgunt: 5

16 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola L ara da calcolar è S d 5 La funzion f ha co doinio,,. Vdiao gli atoti: Atoti vrticali: li, atoto vrtical dstro istro; li, pr cui è Atoti orizzontali: orizzontali; li, li Atoti obliqui: hanno quazion gnrica q : pr cui non sistono atoti li li, li li q li li, q li li pr cui la rtta è atoto obliqui dstro istro. La disquazion ha snso innanzitutto s condizioni qust ipost dalla dfinizion di cofficint binoial. Ora è un intro positivo poi s 5! 5! > >!!!! 5 > 5 > [ ] >

17 Sssion suppltiva LS_ORD 7 Soluzion di D Rosa Nicola Bisogna risolvr allora il sista sgunt: La disquazion > > intro positivo la risolviao, ponndo tutti i fattori,, ntrabi aggiori od uguali a zro poi vrifichro dov è soddisfatto il sgno dlla disquazion stssa. In qusto odo > è vrificata pr il sista da risolvr è < <, >, pr cui < <, > > intro positivo intro positivo pr cui a partir dai nuri intri positivi aggiori od uguali a 5 la disquazion è spr soddisfatta. 7